9. ←↑→ 9. TENSOR NAPRĘŻEŃ W BIEGUNOWYM UKŁADZIE

9.TENSOR NAPRĘŻEŃ W BIEGUNOWYM UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH
1

9.
9. TENSOR NAPRĘŻEŃ W BIEGUNOWYM UKŁADZIE WSPÓRZĘDNYCH
–
–
Na rysunku 9.1 przedstawiono element ulegający przemieszczeniu:
u – czyli przemieszczeniu radialnemu mierzonemu wzdłuż promienia
v – czyli przemieszczeniu liniowemu inaczej obwodowemu
Y
v
∂u
u
d
∂
v
∂v
dr
∂r
∂v
d
∂
u
v
∂u
dr
∂r
r
d
u

X
Rys.9.1.Element ulegający przemieszczeniu.
Naszym zadaniem jest wyznaczenie składowych tensora odkształcenia przedstawiającego się
następująco:
[
=
r  r 
 r 
]
(9.1)
gdzie:
εr- odkształcenie radialne
εφ- odkształcenie obrotowe
εφr, εrφ- odkształcenie kątowe związane z kątem odkształcenia γ
Z rysunku wynikają równania Cauchy'ego łączące odkształcenia z przemieszczeniami::
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
9.TENSOR NAPRĘŻEŃ W BIEGUNOWYM UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH
=


∂u
⋅dr −u
∂r
∂u
=
dr
∂r
(9.2)
∂v
⋅dr −v
∂r
 ru ⋅d −r⋅d −v 1 ∂ v u

= ⋅

dr
r ∂ r
d
(9.3)
r =
v

2
u

Przy wyznaczeniu pozostałych składowych tensora odkształcenia skorzystamy z zależności 2εrφ = γrφ
gdzie:
1 ∂u ∂v v
r = ⋅
 −
r ∂ ∂r r
(9.4)
Ostatecznie odkształcenie kątowe ma postać:
r  =

1
1 1 ∂u ∂v v
r  =
⋅
 −
2
2 r ∂ ∂r r

(9.5)
Wykonując na funkcjach odkształceń operacje różniczkowania można uzyskać równanie
nierozdzielności odkształceń w postaci:
∂ 2 
∂ r2


∂ 2 r 
2 ∂  1 ∂ r
1 ∂ r 

⋅
−
⋅
=2
 2⋅
2
2
r⋅∂ r ∂  r ∂ 
r ∂ r ∂ r r ∂ r
∂ 2 r

(9.6)
Związki fizyczne w płaskim stanie naprężenia i odkształcenia w układzie współrzędnych
biegunowych (uzyskuje się je analogicznie jak dla współrzędnych prostokątnych):
-płaski stan naprężeń (PSO):
r =
1
  −   
E r
(9.7)
 =
1
  − r 
E 
(9.8)
1

E r
(9.9)
r =
1
[  1−   r −  ]
E
(9.10)
 =
1
[  1−   −  r ]
E
(9.11)
r =
-płaski stan odkształceń (PSN):
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
9.TENSOR NAPRĘŻEŃ W BIEGUNOWYM UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH
r =
1

E r
3
(9.12)
Zastosowanie funkcji naprężeń:
Szukamy funkcji F(r,φ)=Φ(r,φ) spełniającej warunek:
2
∇ F =0
(9.13)
Spróbujmy zapisać powyższy warunek we współrzędnych biegunowych. Wiemy, że we
współrzędnych prostokątnych laplasjan to suma:
∂2  ∂2 
∇ = 2  2
∂x
∂y
2
a
oraz
 
∂2 
∂ ∂
=
2
∂x ∂x
∂x
∂2 
i
∂ ∂ ∂r ∂ ∂
= ⋅ 
⋅
∂ x ∂ r ∂ x ∂ ∂ x
∂y
i
2
=
(9.14)
 
∂ ∂
∂y ∂y
(9.15)
∂ ∂ ∂r ∂ ∂
= ⋅ 
⋅
∂ y ∂r ∂ y ∂ ∂ y
(9.16)
Korzystając z związków między współrzędnymi biegunowymi a współrzędnymi prostokątnymi
(Rys. 9.2.):
Y
y
r
φ
x
X
Rys. 9.2. Układ współrzędnych biegunowych i prostokątnych
2
2
r =x  y
2
⇔
=arctg
r=  x  y
2
2
y
x
(9.17)
(9.18)
cos =
x
r
⇔
x=rcos 
(9.19)
sin =
y
r
⇔
y=rsin 
(9.20)
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
9.TENSOR NAPRĘŻEŃ W BIEGUNOWYM UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH
4
Zatem:
∂r ∂
  x 2 y 2 = 2 x 2 = 2 2 x 2 2 = x =cos 
=
∂x ∂x
 x  y  r cos r sin  r


∂ ∂
y
=
arctg =−
∂x ∂x
x
y
 
x 2 1
2
y
x2
=−
(9.21)
y
y −sin 
=− 2 =
2
r
x y
r
2
(9.22)
∂r
∂
  x 2 y 2 = 2 y 2 = 2 2 y 2 2 = y =sin 
=
∂y ∂y
 x  y  r cos r sin  r

(9.23)

∂ ∂
y
x cos 
=
arctg = 2 =
∂y ∂y
x
r
r
(9.24)
Wartości różniczek uzyskane po zamianie współrzędnych prostokątnych na współrzędne biegunowe
podstawmy do wzorów (9.16):
 
 
∂ ∂
∂  sin 
=
cos −
∂ x ∂r
r
∂
(9.25)
∂ ∂
∂  cos 
=
sin 
∂ y ∂r
r
∂
(9.26)
Więc:
[
[
 ]
(9.27)
 ]
(9.28)
∂2  ∂ ∂ 
∂  sin 
=
cos −
2
r
∂
∂ x ∂ x ∂r
∂2  ∂ ∂ 
∂  cos 
=
sin 
2
r
∂
∂ y ∂ y ∂r
Po zsumowaniu wyznaczonych wielkości i wykonaniu odpowiednich przekształceń otrzymujemy:
∂2 
∂2 
∂2 
∂x
∂y
∂r

2
=
2

2
2
1 ∂ 1 ∂ 
 2
r ∂ r r ∂ 2
(9.29)
Otrzymana wielkość to Laplasjan funkcji Φ wyrażony we współrzędnych biegunowych:

2
∂ 1 ∂  1 ∂ 
∇ =


∂ r 2 r ∂ r r 2 ∂ 2
2

(9.30)
Sposób rozwiązywania zadań w płaskim stanie odkształceń i płaskim stanie naprężeń jest identyczny
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
9.TENSOR NAPRĘŻEŃ W BIEGUNOWYM UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH
5
jak w przypadku współrzędnych prostokątnych.
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater