Egzamin z Matematyki Dyskretnej Info

Nazwisko i imię: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nr indeksu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Egzamin z Matematyki Dyskretnej
Informatyka, studia dzienne magisterskie, 29 czerwca 2004
1. Podać zasadę indukcji matematycznej. Niech ciąg Fn będzie zdefiniowany
w następujący
√
1+ 5
sposób: F0 = 0, F1 = 1 i dla n > 2, Fn = Fn−1 + Fn−2 . Niech ponadto φ = 2 . Udowodnić, że
dla dowolnej liczby całkowitej nieujemnej n zachodzą nierówności
φn−2 6 Fn 6 φn−1 .
2. Niech A(1) = 1, a dla n > 2 niech A(n) = 2 · A(d n3 e). Oblicz
20
P
A(n) oraz A(3n )?
n=1
3. Co to jest funkcja tworząca ciągu. Ciąg rekurencyjny określamy wzorami: a0 = a1 = 1,
an = an−1 + 2an−2 + (−1)n , dla n > 2. Wyznacz funkcję tworzącą tego ciągu.
4. Niech Fn oznacza n-ty wyraz ciągu Fibonacciego, tzn. F0 = 0, F1 = 1 i dla n > 2 Fn =
Fn−1 + Fn−2 . Znajdź liczby całkowite x i y takie, że x · F12 + y · F9 = N W D(F12 , F9 ).
5. Co to jest permutacja? Ile jest wszystkich permutacji zbioru X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, które w
rozkładzie na iloczyn cykli rozłącznych mają dokładnie dwa cykle i to różnej długości. Dla każdej
takiej permutacji f określ najmniejszą liczbę naturalną n, że f n jest permutacją tożsamościową.
Nazwisko i imię: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nr indeksu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Egzamin z Matematyki Dyskretnej
Informatyka, studia dzienne magisterskie, 29 czerwca 2004
1. Co to jest równanie charakterystyczne ciągu zadanego rekurencyjnie. Korzystając z równania
charakterystycznego podaj jawny wzór na n-ty wyraz ciągu zadanego wzorami a0 = 1 = a1 , a dla
100
P
.
n > 2, an = an−1 − an−2 . Oblicz
n=0
2. Wyznacz funkcję tworzącą ciągu {gn }n>0 określonego rekurencyjnie wzorami: g0 = 1, gn =
gn−1 + 2gn−2 + 3gn−3 + · · · + ng0 dla n > 0.
3. Niech B(1) = 1, a dla n > 2 niech B(n) = 3 · B(b n2 c). Oblicz
20
P
B(n) oraz B(2n )?
n=1
4. Podaj szufladkową zasadę Dirichleta. W sześcianie S, którego krawędź ma długość 7 wybrano
344 punkty. Udowodnić, że można znaleźć taki sześcian o boku 1 zawarty w sześcianie S, który
zawiera co najmniej 2 z tych 344 punktów?
5. Jakie permutacje nazywamy cyklami? Niech X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Ile jest różnych
podziałów zbioru X na 4 bloki, których liczebności są parami różne.
6. Sformułuj lemat o uścisku dłoni. Podaj przykład dwóch nieizomorficznych grafów regularnych
stopnia 3, oba o ośmiu wierzchołkach.
7. Co to są grafy Hamiltona. Podaj twierdzenie Diraca. Niech G = (V, E) będzie grafem, którego
wierzchołkami są wszystkie 3-elementowe podzbiory zbioru X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; jeśli A, B są
podzbiorami zbioru X takimi, że A, B ∈ V , to AB jest krawędzią grafu (AB ∈ E) wtedy i tylko
wtedy, gdy A ∩ B = ∅. Oblicz |V | i |E| i zbadaj, czy jest to graf Eulera.
8. Jakie grafy nazywamy drzewami, a jakie lasami? Ile jest różnych oznakowanych drzew o zbiorze
wierzchołków {1, 2, . . . , n}, n > 5, których wszystkie wierzchołki mają stopień 6 n − 3.
9. Jakie grafy nazywamy planarnymi, a jakie płaskimi? Wierzchołkami grafu G są wszystkie
wierzchołki graniastosłupa o podstawie sześciokąta foremnego. Krawędziami grafu G są wszystkie
krawędzie podstawy dolnej, wszystkie krótsze przekątne podstawy górnej oraz oraz wszystkie
krawędzie graniastosłupa łączące wierzchołki podstawy dolnej z wierzchołkami podstawy górnej.
Pokazać, że jest to graf planarny. Podać liczbę ścian i pokazać, że ściany można pokolorować
czterema barwami.
10. Co to jest liczba chromatyczna grafu. Jakie grafy są 2chromatyczne? Symbolem Qn oznaczymy graf zwany kostką n-wymiarową. Jego zbiorem wierzchołków jest zbiór wszystkich ciągów
postaci (a1 , a2 , . . . , an ), gdzie ai ∈ {0, 1}, natomiast krawędzie łączą te i tylko te ciągi, które różnią
sie dokładnie jednym wyrazem. Oblicz liczbę chromatyczną i indeks chromatyczny kostki Q4 i
ogólnie Qn .
6.Podaj definicję izomorfizmu grafów? Definiujemy grafy G1 i G2 w sposób następujący. Wierzchołkami obu grafów są wierzchołki siedmiokąta foremnego. Krawędziami grafu G1 są wszystkie
przekątne tego siedmiokąta. Krawędziami grafu G2 są wszystkie boki siedmiokąta oraz wszystkie
krótsze przekątne. Udowodnić, że G1 i G2 są izomorficzne.
7. Jakie grafy nazywamy spójnymi. Udowodnić, że każdy niespójny graf prosty o 102 krawędziach
ma więcej niż 15 wierzchołków.
8. Podaj warunki wystarczające i konieczne na to, aby graf był grafem Eulera. Symbolem
Qn oznaczymy graf zwany kostką n-wymiarową. Jego zbiorem wierzchołków jest zbiór wszystkich
ciągów postaci (a1 , a2 , . . . , an ), gdzie ai ∈ {0, 1}, natomiast krawędzie łączą te i tylko te ciągi, które
różnią sie dokładnie jednym wyrazem. Udowodnić, że Q4 jest grafem Hamiltona. Udowodnić, że
Qn , n > 2, jest grafem Hamiltona.
9. Niech T = (V, E) będzie grafem, który ma s wierzchołków stopnia 5 i t wierzchołków stopnia
1 i nie ma wierzchołków innych stopni. Udowodnić, że jeśli T jest drzewem, to t = 3s + 2. Jaką
zależność spełniają parametry s i t, jeśli T ma dokładnie jeden cykl.
10. Co to jest indeks chromatyczny grafu. Podaj twierdzenie Brooksa. Dany jest graf G = (V, E),
gdzie V = {A ⊂ {0, 1, 2, 3, 4, 5} : 2 6 |A| 6 3}, przy tym {A, B} ∈ E ⇔ A ⊂ B ∨ B ⊂ A.
Wyznacz liczbę chromatyczną i indeks chromatyczny tego grafu.