1 Zadania

Matematyka
1
Matematyka Dyskretna
Lista 4
Zadania
1. Pokazać, że krawędź e grafu G jest krawędzią rozspajającą wtedy i tylko wtedy, gdy e nie należy do
żadnego cyklu. Czy taka teza jest prawdziwa dla wierzchołków?
2. Jaką największą liczbę wierzchołków rozspajających może mieć graf rzędu n?
3. Wyznaczyć κ(T ) i λ(T ) dla co najmniej 2-wierzchołkowego drzewa T .
4. Znaleźć κ(G) i λ(G) dla następujących grafów G: P4 , P5 , graf Petersena, K5 − e, K1,3 + K1 , W5 .
5. Pokazać, że dla dowolnego grafu G mamy δ(G) ­ λ(G).
6. (a) Skonstruować graf G1 , dla którego zachodzi δ(G1 ) > λ(G1 ) > κ(G1 ).
(b) Skonstruować graf G2 , dla którego zachodzi δ(G2 ) = λ(G2 ) = κ(G2 ).
(c) Skonstruować graf G3 , dla którego zachodzi δ(G3 ) = 6, λ(G3 ) = 4, κ(G3 ) = 1.
7. Pokazać, że każdy k-spójny n wierzchołkowy graf ma co najmniej
kn
2
krawędzi.
8. Niech G będzie grafem regularnym stopnia r oraz κ(G) = 1. Pokazać, że ⌊ 2r ⌋ ­ λ(G).
9. Niech G będzie r-regularnym, r ­ 2, grafem dwudzielnym. Pokazać, że G nie ma mostów.
10. Pokazać, że nie istnieje graf 3-spójny rozmiaru 7.
11. Pokazać, że κ(G) = λ(G) dla dowolnego 3-regularnego grafu G.
1.1
Wskazówki
Ad. 6(a). Np. Bierzemy dwie kopie grafu K5 − e i łączymy odpowiednio wierzchołki, które są końcami
usuniętych krawędzi w obu kopiach.
Ad. 6(b). Np. Cn . Podać inne przykłady.
Ad. 6(c). Np. Bierzemy dwie kopie K7 i jedną kopię K1 . Łączymy wierzchołek z K1 z czterema wierzchołkami
każdej kopii. Podać inne przykłady.
Ad. 7. Skorzystać ze wzoru Eulera na liczbę krawędzi grafu G (połowa sumy stopni wierzchołków) oraz
zależności pomiędzy minimalnym stopniem wierzchołków grafu i spójnością.
Ad. 8. Wykorzystać fakt, że w G istnieje wierzchołek rozspajajacy, a graf jest r-regularny.
Ad. 9. Wykorzystać własności grafów dwudzielnych z Listy 1.
Ad. 11. Rozpatrzmy najmniejszy zbiór rozspajający S grafu G. Ponieważ λ(G) ­ κ(G), wystarczy znaleźć
zbiór rozspajający krawędzi mocy |S|. Niech G1 i G2 będą dwoma komponentami grafu G − S. Ponieważ S
jest najmniejszy, każdy wierzchołek u ∈ S ma sąsiada w G1 i G2 . Z powyższego i 3-regularności wynika, że
u ma dokładnie jednego sąsiada w G1 lub w G2 . Teraz już łatwo wyznaczyć odpowiedni zbiór rozspajający
krawędzi przez rozpatrzenie kilku przypadków.
1