LISTA ZADAŃ Z TEORII GRAFÓW Nr 9 (kolorowanie cd.) Graf G

LISTA ZADAŃ Z TEORII GRAFÓW Nr 9 (kolorowanie cd.)
Graf G nazywamy k-krytycznym, jeśli χ(G) = k i usunięcie jakiegokolwiek wierzchołka daje graf z
mniejszą liczbą chromatyczną.
1. Wyznaczyć wszystkie grafy 2-krytyczne i 3-krytyczne
2. Podać przykłady grafów 4-krytycznych.
3. Udowodnić, że k-krytyczny graf nie ma wierzchołków rozspajających i δ(G) ­ k − 1.
4. Tait przypuszczał, że każdy 3-spójny graf planarny ma cykl Hamiltona. Wykaż, że z tezy tej
wynika twierdzenie o 4 barwach? Znajdź kontrprzykład dla tej tezy.
5. Udowodnić twierdzenie Tutte’a: Jeśli graf planarny skierowany (spójny, kubiczny i bez mostów)
ma nowhere zero k-flow, to odpowiadająca mu mapa jest k-kolorowalna.
LISTA ZADAŃ Z TEORII GRAFÓW Nr 10 (grafy doskonałe)
W poniższych zadaniach nie korzystamy z twierdzeń nie udowodnionych na wykładzie:
1. Czy graf Petersena jest doskonały?
2. Wykazać z definicji, że dopełnienie cyklu nieparzystego nie jest grafem doskonałym.
3. Udowodnić, że grafy liniowe L(G) grafów dwudzielnych i ich dopełnienia są doskonałe.
Graf nazywamy grafem N -free, jeśli nie posiada on podgrafu indukowanego będącego drogą długości 3.
4. Udowodnić, że dopełnienie grafu N -free jest N -free.
5. Udowodnić, że grafy N -free to najmniejsza rodzina grafów zamknięta na operacje sumy rozłącznej
i dopełnienia zawierająca grafy jednowierzchołkowe.
6. Korzystając z poprzedniego punktu, udowodnić, że grafy N -free są doskonałe.
Grafem permutacyjnym nazywamy graf nieporządków dowolnej permutacji (tzn. tych par i < j, dla
których σ(i) > σ(j)). Udowodnić, że:
6. Udowodnić, że dopełnienie grafu permuatcyjnego jest grafem permutacyjnym.
7. Udowodnić, że grafy permutacyjne są doskonałe.
8. Udowodnić, że graf jest permutacyjny wtedy i tylko wtedy, gdy jest grafem porównań i jednocześnie dopełnienieniem grafu porównań.
Grafy przedziałowe są grafami przecinania się odcinków na prostej (tzn. wierzchołki są zbiorem dowolnych odcinków na prostej i dwa wierzchołki łączy krawędź jeśli odcinki mają niepustą część wspólną).
Udowodnić, że:
9. Udowodnić, że grafy przedziałowe i ich dopełnienia są doskonałe.
10. Czy prawda jest, że grafy permutacyjne są grafami przedziałowymi, a grafy N -free są grafami
permutacyjnymi.
11. Wskazać możliwie wiele grafów, które nie są interwałowe.
LISTA ZADAŃ Z TEORII GRAFÓW Nr 11 (Teoria Ramsey’a)
1. Udowodnić, że każdy graf skończony ma dwa wierzchołki tego samego stopnia.
2. Oblicz liczbę Ramseya R(3, 4).
3. Oblicz R32 (3, 3, 3).
4. Wykazać, że każde 2-pokolorowanie krawędzi Kn zawiera jednokolorowe drzewo rozpinające.
5.* Udowodnić, że istnieje funkcja f taka że dla dowolnych f (n) punktów na płaszczyźnie, z których
żadne dwa nie są współliniowe, można wybrać n punktów tworzących wypukły wielokąt. Jak
można obliczać f (n)?
6. Udowodnij Twierdzenie Schura.
7. Udowodnij, że w każdym nieskończonym zbiorze punktów na płaszczyźnie istnieje nieskończony
podzbiór, który zawarty jest w linii lub żadne trzy punkty tego podzbioru nie są współliniowe.
8. Udowodnij, że każde 2-kolorowanie grafu K3n−1 zawiera n niezależnych krawędzi w jednym kolorze. Pokaż, że nie jest to prawdziwe dla K3n−2 .
9. Czy to jest proste? Jeśli zbiór {1, 2, . . . , 9} podzielimy na dwie klasy to w jednej z nich równanie
x1 + x2 + 1 = x3 ma rozwiązanie.
ZADANIA DODATKOWE (na wypadek gdyby było za mało)
1. Opisać algorytm znajdowania maksymalnego (co do liczności) skojarzenia w grafie dwudzielnym.
2. Niech G będzie grafem rzędu n z co najwyżej r ­ 2 niezależnymi wierzchołkami. Udowodnij,
~ jest dowolną acykliczną orientacją grafu G (nie zawierającą skierownaych cykli), to G
~
że jeśli G
zawiera drogę skierowaną długości co najmniej dn/re − 1.
3. Z twierdzenie Forda-Fulkersona o maksymalnym przepływie wyprowadzić twierdzenia Mengera i
K´’oniga.
4. Udowodnić twierdzenie Tutte: Graf G zawiera pełne skojarzenie wtedy i tylko wtedy gdy dla
każdego podzbioru S wierzchołków ilość składowych nieparzystego rzędu w G−S, q(G−S) ¬ |S|.
5. Udowodnić wersję deficytową twierdzenie Tutte: Graf G zawiera zbiór niezależnych krawędzi
pokrywających wszystkie za wyjątkiem co najwyżej d wierzchołków wtedy i tylko wtedy gdy
q(G − S) ¬ |S| + d
dla wszystkich zbiorów S ⊆ V (G).
6. Udowodnić, że każdy niepusty regulrany graf dwudzielny ma 1-factor.
7. Korzystając z twierdzenia Tutte udowodnić następujące twierdzenie Petersena: każdy krawędziowo dwuspójny graf kubiczny ma 1-factor. Pokaż, że założenia o krawędziowej dwuspójności
nie można ominąć.
8. Opisać wszystkie maksymalne grafy rzędu n nie posiadające 1-factor ’a.
9. Udowodnij, że dla danego zbioru rk +1 różnych liczb naturalnych, albo istnieje (r+1)-podzbiór w
którym, żadna liczba nie dzieli żadnej innej, lub istnieje ciąg (k + 1)-ciąg a0 |a1 | . . . |ak , w którym
każda liczba dzieli następną.
10. Udowodnić następujące twierdzenie Erdösa i Szekeresa: Każdy ciąg a1 , . . . , an liczb rzeczywistych
z n > km zawiera (k + 1)-elementowy podciąg niemalejący lub (m + 1)-elementowy podciąg
nierosnący.
11. Niech I1 , I2 , . . . , Irs+1 będą przedziałami prostej rzeczywistej. Pokazać, że spośród tych przedziałów można wybrać albo r + 1 przedziałów parami rozłącznych, albo s + 1 przedziałów mających
niepustą część wspólną.