(1) Czy nast¦puj¡ce relacje R ⊆ X × Y s¡ funkcjami lub funkcjami

(1) Czy nast¦puj¡ce relacje
R ⊆ X ×Y
s¡ funkcjami lub funkcjami cz¦±ciowymi? Je±li
tak, to podaj ich dziedzin¦, przeciwdziedzin¦ i ustal, czy s¡ to funkcje ró»nowarto±ciowe i na:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f )
(g)
(h)
(i)
X zbiór wszystkich kobiet; Y zbiór wszystkich m¦»czyzn;
xRy wtw, gdy y jest synem x;
X =Y zbiór wszystkich pracowników pewnej rmy;
xRy wtw, gdy y jest bezpo±rednim przeªo»onym x;
X zbiór wszystkich mieszka«ców Polski, Y zbiór wszystkich adresów w Polsce;
xRy wtw, gdy x jest zameldowany pod adresem y ;
X = Y zbiór liczb rzeczywistych;
xRy wtw, gdy y stanowi 10%x;
X = Y zbiór wszystkich »yj¡cych ludzi;
xRy wtw, gdy y jest przyjacielem x;
X zbiór wszystkich zwierz¡t, Y zbiór liczb naturalnych od 0 do 1000;
xRy wtw, gdy y jest liczb¡ nóg x;
X zbiór wszystkich rm zarejestrowanych w GUS, Y zbiór liczb naturalnych;
xRy wtw, gdy y jest numerem REGON dla x;
X zbiór pracowników naukowo-dydaktycznych AJD, Y = {asystent, adiunkt,
wykªadowca, starszy wykªadowca, profesor AJD, profesor zwyczajny};
xRy wtw, gdy x jest zatrudniony na stanowisku y ;
X zbiór studentów I roku Informatyki na AJD, Y zbiór liczb naturalnych;
xRy wtw, gdy x uzyskaª na zaliczenie z logiki ocen¦ y .
(2) Które z nast¦puj¡cych relacji s¡ funkcjami? Które s¡ funkcjami totalnymi? Spo±ród
funkcji wska» funkcje ró»nowarto±ciowe i "na". Wska» dziedziny i przeciwdziedziny
tych relacji, które s¡ funkcjami.
(a) Relacja
xRy
R
R
R
jest matk¡
y
y
jest matk¡
x
w zbiorze wszystkich ludzi i zbiorze liczb naturalnych, gdzie
y
jest numerem PESEL
x
w zbiorze wszystkich samochodów i wszystkich ludzi, gdzie
wtedy i tylko wtedy, gdy
(e) Relacja
x
w zbiorze wszystkich ludzi, gdzie
wtedy i tylko wtedy, gdy
(d) Relacja
xRy
R
wtedy i tylko wtedy, gdy
(c) Relacja
xRy
w zbiorze wszystkich ludzi, gdzie
wtedy i tylko wtedy, gdy
(b) Relacja
xRy
R
y
jest wªa±cicielem
x
w zbiorze wszystkich samochodów i wszystkich numerów rejestra-
cyjnych, gdzie
xRy
wtedy i tylko wtedy, gdy
y
jest numerem rejestracyjnym
x
(3) Które z nast¦puj¡cych relacji s¡ funkcjami? Które s¡ funkcjami totalnymi? Spo±ród
funkcji wska» funkcje ró»nowarto±ciowe i "na". Wska» dziedziny i przeciwdziedziny
tych relacji, które s¡ funkcjami.
(a)
(b)
(c)
R ⊆ {1, 2, 3, 4, 5} × {a, b, c}
R = {(1, a), (2, a), (3, b), (4, c), (5, b)}.
R ⊆ {1, 2, 3, 4, 5} × {a, b, c}
R = {(1, a), (2, a), (1, b), (4, c), (3, b)}.
R ⊆ {1, 2, 3, 4, 5} × {a, b, c}
R = {(1, a), (2, a), (3, a)}.
1
(d)
R ⊆ {1, 2, 3, 4, 5} × {a, b, c}
R = {(1, a), (3, b), (4, c)}.
(4) Które z nast¦puj¡cych relacji s¡ funkcjami cz¦±ciowymi, które s¡ funkcjami?
2
3
2
(a) R ⊆ R , xRy ⇐⇒ x = y ;
3
2
(b) R ⊆ R+ × R, xRy ⇐⇒ x = y ;
3
2
(c) R ⊆ R+ × R+ , xRy ⇐⇒ x = y ;
2
2
3
(d) R ⊆ R , xRy ⇐⇒ x = y ;
2
2
x
(e) R ⊆ R , xRy ⇐⇒ y = 2 .
(5) Zbada¢, czy nast¦puj¡ce funkcje s¡ ró»nowarto±ciowe, czy s¡ na, czy s¡ bijekcjami:
x
(a) f : R → R, f (x) = 2 + 1,
: R → R, f (x) = sin 2x,
: R → Z, f (x) = bxc,
2
(d)
: R → R, f (x) = x3 + 2,
(e)
: N2 → N, f (x, y) = x + y + 1,
(f )
: N2 → N, f (x, y) = xy ,
(g)
: N2 → N, f (x, y) = max(x, y),
(h)
: N2 → N2 , f (x, y) = (y, x),
(i)
: R → R2 , f (x) = (x + 1, x − 1).
Znale¹¢, o ile to mo»liwe, zªo»enia f ◦ g , f ◦ f , g ◦ g oraz g ◦ f nast¦puj¡cych
(a) f, g : R → R, f (x) = 2x − 1, g(x) = −x + 3;
3
(b) f, g : R → R, f (x) = 2|x| − 1, g(x) = −x ;
√
(c) f : R →< −1, 1 >, f (x) = sin x, g :< −1, 1 >→ R, g(x) =
1 − x2 .
(b)
(c)
(6)
f
f
f
f
f
f
f
f
2
funkcji: