relacje i odwzorowania

RELACJE I ODWZOROWANIA
Definicja 1.
Dwuargumentową relacją określoną w iloczynie kartezjańskim X×Y ,
X≠∅ ∧ Y≠∅ nazywamy uporządkowaną trójkę R = ( X, grR , Y ) , gdzie
grR ⊂ X×Y .
Zbiór X nazywamy naddziedziną relacji.
Zbiór Y nazywamy zapasem relacji.
grR to wykres relacji.
Mówimy, że dwa elementy x ∈ X ∧ y∈Y są w relacji R ⇔ ( x, y ) ∈ grR
Definicja 2.
R = ( X, grR, Y )
Dziedzinę relacji oznaczamy DR
DR: = { x∈X: ∃ y∈Y: xRy }
Przeciwdziedzinę relacji oznaczamy
R :={y∈Y: ∃x∈X: xRy}
PRZYKŁAD 1.
X=[1,2] , Y=[1,2]
grR = {(x,y): x ≤ y }
2
1
1
2
Definicja 3.
R= (X, grR, Y)
Relacją odwrotną do relacji R nazywamy relację R-1 = (Y, grR-1, X),
gdzie grR-1 = {(x,y)∈Y×X: (y,x)∈grR }
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 1 z 9
Część 2 - Relacje i odwzorowania
Definicja 4.
Niech R i S to następujące relacje:
R= (X, grR, U)
S= (U, grS, Y)
Złożeniem relacji R z relacją S nazywamy relację
(SD R ) := ( X , gr (SD R ) , Y ) ,
{
gdzie
gr ( SD R ) := ( x, y ) ∈ X × Y : ∃ : xRu ∧ uSy
u ∈U
}
PRZYKŁAD 2.
R = (`, grR, `)
grR = {(2,1), (3,1) , ( 4,2 ) , ( 4,5) , (5,3)}
S = (`, grS, `)
grS = {(1,3), ( 4,1) , (3,6 ) , ( 6,8 ) , ( 6,7 )}
DR = {2,3, 4,5} ⊂ `
R
= {1,2,3,5} ⊂ `
S D R = (`, gr (S D R), `) ∧
gr (S D R) = {(2,3) , (3,3) , (5,6 )}
R D S = (`, gr (R D S), `) ∧
gr (R D S) = {(1,1)}
Definicja 5.
R = ( X, grR , Y ) ∧ X=Y ≠ ∅
R = ( X, grR , X )
relacje, czyli
Relacja jest relacją równoważności, gdy spełnione są warunki:
1° Relację nazywamy zwrotną: ⇔ ∀x∈X: xRx
2° Relację nazywamy symetryczną: ⇔ ∀x,y∈X: xRy ⇒ yRx
3° Relację nazywamy przechodnią: ⇔ ∀x,y,z∈X: xRy ∧ yRz ⇒ xRz
Przyjmujemy oznaczenie (X,R)
Definicja 6.
Jeżeli (X,R) jest zbiorem z relacją równoważności i x∈ X to klasą
równoważności elementu x nazywamy zbiór:
[x]:={y∈X: xRy }
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 2 z 9
Część 2 - Relacje i odwzorowania
PRZYKŁAD 3.
R jest relacją równości w zbiorze liczb rzeczywistych.
R=(R,=), xRy ⇔ x=y
1° ∀x∈R
x=x ⇒ xRx
2° ∀x,y∈R xRy ⇒ x=y ⇒ y=x ⇒ yRx
3° ∀x,y,z∈R xRy ∧ yRz⇒ x=y ∧ y=z⇒x=z⇒ xRz
PRZYKŁAD 4.
JJJG
X = { AB}
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG
AB R CD ⇔ AB = CD ∧ AB ˆˆ
| | CD ( wektory są zgodnie równolegŁe )
Z wasnosci wektorów
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG
AB = AB ∧ AB ˆˆ
1° AB R AB, gdyż
| | AB
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG
2° AB R CD ⇒ CD R AB
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG
3° AB R CD ∧ CD R EF ⇒ AB R CD
JJJG
JJJG JJJG
JJJG
 AB  = { CD : AB R CD}


JJJG
W tej relacji klasą równoważnoci AB jest wektor swobodny.
Definicja 7.
(X,R) – zbiór z relacją równoważności
Zbiór klas równoważności relacji nazywamy zbiorem ilorazowym
oznaczamy X/R :={[x]: x∈X }
i
TWIERDZENIE 1.
Z: (X,R) – zbiór z relacją równoważności
T:
1° ∀x∈X: [x]≠∅
2° ∀[x], [y]∈X/R : [x]≠[y]⇒[x]∩[y]=∅
3° ∀[x]∈ X/R : x=X
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 3 z 9
Część 2 - Relacje i odwzorowania
WNIOSEK
Relacja równoważności w zbiorze X dzieli ten zbiór na podzbiory niepuste,
rozłączne, dające w sumie cały zbiór X.
Definicja 8.
(X,R) – zbiór z relacją równoważności
1° Relację nazywamy antysymetryczną: ⇔ ∀x,y∈X: xRy ∧ yRx ⇒ x=y
2° Relacja nazywamy asymetryczną: ⇔ ∀x,y∈X: xRy ⇒ ¬(yRx)
3° Relacja nazywamy spójną: ⇔ ∀x,y∈X: xRy ∨ yRx ∨ x=y
Definicja 9.
A) Jeśli dwuelementowa relacja (X,R) jest zwrotna, antysymetryczna i
przechodnia to nazywamy ją relacją słabego porządku częściowego.
Jeżeli dodatkowo jest spójna to nazywamy ją relacją słabego
porządku totalnego albo liniowego.
B) Jeżeli dwuelementowa relacja (X,R) jest asymetryczna i
przechodnia to nazywamy ją relacją silnego porządku częściowego,
jeżeli ponadto jest spójna to jest to relacja silnego porządku
liniowego lub totalnego.
C) Jeżeli w zbiorze X określona jest którakolwiek z powyższych relacji,
to zbiór nazywamy uporządkowanym
• Częściowo, jeżeli R jest relacją porządku częściowego,
• Totalnie, jeżeli R jest relacją porządku liniowego.
PRZYKŁAD 5.
( R, R ) , xRy: ⇔ x ≤ y
Sprawdzamy, czy relacja ( R, ≤ ) jest relacją porządku.
Z własnosci liczb rzeczywistych
1° ∀ x ≤ x
x∈R
2°
3°
4°
∀ x ≤y∧y ≤ x⇒ x =y
x,y ∈ R
∀
x,y,z∈ R
x ≤y∧y ≤ z⇒ x ≤ z
∀ x≤y∨y ≤x∨x =y
x,y ∈ R
Re lacja jest relacją słabego porządku liniowego.
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 4 z 9
Część 2 - Relacje i odwzorowania
PRZYKŁAD 6.
(2 , R )
E
ARB ⇔ A⊂B
1° ∀ E A ⊂ A
A∈2
2°
3°
∀
A,B∈2E
∀
A ⊂ B∧B ⊂ A⇒ A= B
A,B,c∈2E
A ⊂ B∧B ⊂C ⇒ A⊂ B
Jest to relacja slabego porządku częsciowego.
Relacja nie jest spójna na przykład dla zbiorów z
A
B
ELEMENTY WYRÓŻNIONE ZBIORU UPORZĄDKOWANEGO
Definicja 10.
(X,R) –zbiór uporządkowany
1° M∈X , M nazywamy elementem największym zbioru
słabouporządkowanego: ⇔ ∀x∈X xRM (dla silnego porządku M≠x)
2° m∈X, m nazywamy elementem najmniejszym zbioru
słabouporządkowanego: ⇔ ∀x∈X mRx (dla silnego porządku m≠x)
TWIERDZENIE 2.
(X,R) – zbiór uporządkowany
Jeżeli w zbiorze X istnieje element największy (najmniejszy) to jest on
jedyny.
Definicja 11.
(X,R) – zbiór uporządkowany
1° ξ∈X ∧ ξ≠x, ξ nazywamy elementem maksymalnym zbioru
słabouporządkowanego: ⇔ ¬(∃x∈X: ξRx) (dla silnego porządku ξ≠x)
2° η∈X ∧ η≠x, η nazywamy elementem minimalnym zbioru
uporządkowanego: ⇔ ¬(∃x∈X: xRη) (dla silnego porządku η≠x)
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 5 z 9
Część 2 - Relacje i odwzorowania
PRZYKŁAD 8.
y
= k ⇔ y = kx
k ∈`
x
1° ∀ * x|x bo x=1x
( ` ,|)
*
x|y: ⇔ ∃ :
x∈`
2° x|y ∧ y|x ⇒ x=y
Warunek ten jest w formie twierdzenia
Z:
∃ : y = k1 x
k1 ∈ `
∃ : x = k2 y
k2 ∈ `
T:
x=y
D:
y=k1 x 
 ⇒ y = k1k2 y ∧ k1k2 ∈ ` ⇒ k1k2 = 1 ⇒ k1 = 1 ∧ k2 = 1 ⇒ x = y
x = k2 y 
3° x|y ∧ y|z ⇒ x|z
Z:
∃ : y=k1 x
k1 ∈ `
∃ : x = k2 y
k2 ∈ `
T:
∃ : z = k3 x
k3 ∈ `
D:
z=k 2 y
z=k2 k1 x
z = k3 x
k 3 = k2 k1 ∈ `
Relacja nie jest spójna, bo na przykład dla liczb 2 ∧ 3
¬(2|3) ∧ ¬(3|2) ∧ ¬(2 = 3)
∀ * x | y ∪ y | x ′ ∪ x=y
x1 , y ∈ `
Jest to więc relacja słabego porządku częściowego.
PRZYKŁAD 9.
a) (A, | ) – relacja podzielności w zbiorze A tzn. x,y∈A :xRy ⇔ x|y
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 6 z 9
Część 2 - Relacje i odwzorowania
A={1,2,4,8,16}
m=1 bo 1|2, 1|4, 1|8, 1|16
M=16 bo 1|16 ,2|16, 4|16, 8|16
b) (B, | )
B={1,2,3,4,5,6,7,8}
m=1
η=1
ξ=8
ξ=7
ξ=6
ξ=5
Definicja 12.
(X,R) –zbiór uporządkowany , A⊂X, A≠∅
1° ν∈X ν nazywamy majorantą zbioru uporządkowanego A: ⇔ ∀x∈A: xRν
-1
5
(R,≤) Majorantą jest np. 6
2° ζ∈X, ζ nazywamy minorantą zbioru uporządkowanego A: ⇔ ∀x∈A: ζRx
Definicja 13.
Jeżeli zbiór A posiada co najmniej jedną majorantę, to mówimy, że jest on
ograniczony od góry.
Jeżeli zbiór A posiada co najmniej jedną minorantę, to mówimy, że jest
on ograniczony od dołu.
(X,R), A⊂X, (A,R)
Kresem górnym zbioru A w zbiorze X nazywamy, o ile istnieje, element
najmniejszy zbioru majorant i oznaczamy go supA.
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 7 z 9
Część 2 - Relacje i odwzorowania
(X,R), A⊂X, (A,R)
Kresem dolnym zbioru A w zbiorze X nazywamy, o ile istnieje, element
największy zbioru minorant i oznaczamy go infA.
Definicja 14.
R=(X,grR,Y) - relacja
1° relację nazywamy relacją prawostronnie jednoznaczną (funkcją):⇔
∀x∈X ∧ ∀y1,y2∈Y: xRy1 ∧ xRy2 ⇒ y1=y2
2° relację nazywamy relacją lewostronnie jednoznaczną (injektywną) :⇔
∀x1,x2∈X ∧ ∀y∈Y: x1Ry ∧ x2Ry ⇒ x1=x2
3° relację R nazywamy surjektywną: ⇔
R=Y
4° relację R nazywamy wszędzie określoną: ⇔ DR=X
5° relację wszędzie określoną i prawostronnie jednoznaczną (funkcję
wszędzie określoną) nazywamy odwzorowaniem.
6° odwzorowanie, które jest injektywne i surjektywne nazywamy
odwzorowaniem bijektywnym.
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 8 z 9
Część 2 - Relacje i odwzorowania
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 9 z 9
Część 2 - Relacje i odwzorowania