Analiza Matematyczna

Analiza Matematyczna
Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko
Zadanie 1.
Oblicz podaną granicę ciągu
2
4
6
2n2 − 4n
+
+
+
.
.
.
+
n4 + 4n2 n4 + 4n2 n4 + 4n2
n4 + 4n2
(a) lim
n→∞
√
ln n
(b) n→∞
lim 9n + 2 1 − n
2
n+2
(c) n→∞
lim 2
n−2
2n + 4
!2n−1
n−2
4n
n
(d) n→∞
lim 16
2n + 333
√
√
(e) n→∞
lim ( n − n − nk ) w zależności od k < 1
n+13
(f) lim tg
n→∞
π
4
+ tg
(g) lim 3n −
n→∞
π
n
q
9n2 + narctg(n!)
n + arctgn
n − arctgn
(h) lim
n→∞
(i) lim
n→∞
2
sin n
1
sin2 n
!ln 2n
1
−3n
2
+ 3−2n+3
2
3n+4
(j) lim (1 + logn 2)log4 (2n)
n→∞
1
2 1+ctg n
(k) lim 1 − sin
n→∞
n
√
(l) n→∞
lim
n2 + nα + αn − n w zależności od α ∈ R
1
!3 sin n−2n
;n>3

(ł)
n2
n−1
n

lim 
n→∞ (sin n)2n +
(m) lim 2n−13
n→∞
(n) n→∞
lim
+3
 n2
2−n
(arctg(n!))n−1
n
2n − 13


n+1
log2 8n + 2n
(tg n1 )n + (log8 2)n
!2
n
Zadanie 2.
Dla jakich wartości α ∈ R zachodzi n→∞
lim
Zadanie 3.
Dla jakich wartości x > 0 mamy lim
n
logn
3
√
n−1
n→∞
ln nα
< 9?
2n + x1−n ∈ (2, 22)?
Zadanie 4.
s
Dla jakich wartości a > 0 zachodzi lim
n→∞
n+1
22n + (arctg(−n))n
< 1?
n
3n + a 2
Zadanie 5.
Wyznacz zbiór tych wartości β ∈ R, dla których n→∞
lim
n2 − β
n2 − βn
!(1−n) ln(−β)
< 4.
Zadanie 6.
Oblicz granicę lim
n→∞
tej granicy.
n−A
n+A
An
w zależności od A ∈ R. Wyznacz zbiór możliwych wartości liczbowych
Zadanie 7.
√
√
Dla jakich wartości α ∈ R mamy n→∞
lim 3 n3 + nα − 3 n3 − αn ∈ R, a dla jakich ∈ R \ {0}?
Zadanie 8.
q
Naszkicuj wykres funkcji f (x) = lim n 2−n + (sin2 2x)n ; x ∈ [0, π].
n→∞
Zadanie 9.
Wyznacz wszystkie wartości β ∈ R, dla których istnieje granica właściwa
n
n+1
n+2
3n
β
+ 2
+ 2
+ ... + 2
2
n +1 n +1 n +1
n +1
lim
n→∞
n
.
Jakie wartości może przyjąć wtedy ta granica?
Zadanie 10.
!n
(n + 2)3 − (n + 1)3
Oblicz granicę lim
. Następnie bez obliczania wskaż, ile wyniosłaby
n→∞ 2(2 + 5 + 8 + . . . + (3n − 4))
taka granica, gdyby ostatni składnik mianownika wyniósł (3n + 2), a ile gdyby wyniósł on (6n − 1).
2
Zadanie 11.
Oblicz (bez wykorzystywania reguły de l’Hospitala) podane granice funkcji
3x − 4
(a) lim
x→1 1 − 2x
x
x−1
1
(i) lim
cos(x − π2 )
w zależności od n ∈ N
x→π
tg nx
2
x→0−
(b) lim
(c) lim log1− 5
x→∞
x
x+1
x
e x − cos(2x)
1
e x + ctg x
(j) lim 1 + sin2 x
1
1−cos x
x→0
x
(k) limπ (1 + cos x) 2x−π
x→ 2
(d) lim (1 − ln x)logx e
x→1
3x − 6x
x→0 cos 6x−3π
2
(l) lim
(e) lim xlog2−x 2
x→1
(f) x→∞
lim logx ln x
2x − 1
(m) lim
x→3
8−x
x cos x + sin x
x→0
e4x − 1
(g) lim
4
3−x
1 + x3
x→−1 sin(πx) + log (x + 2)
2
(n) lim
2 · 4x − 2x+2
(h) lim
x→1
1−x
Zadanie 12.
Znajdź asymptoty pionowe i ukośne podanych funkcji
√
4x − x3
(a) f (x) = √
2−x
|1 + x|
(b) g(x) = √ 2
x −1
x2 + 4x + 3
(c) h(x) = √ 2
x + 2x − 3
Zadanie 13.
W jakim punkcie i pod jakim kątem przetną się asymptoty funkcji f (x) =
8 + x3
?
4 − x2
Zadanie 14.
Wyznacz A z równania lim (ln(ex))logx (2A) = A2 − 7.
x→1
Zadanie 15.
(
Wyznacz wszystkie pary (A, B), dla których funkcja f (x) =
jest ciągła w dokładnie jednym z dwóch punktów: 0 albo π.
3
(1 − 22x ) ctg x2 dla 0 < x < π
x2 − Ax + B dla x ∈ R \ (0, π)