pdf 47kB - MiNI PW
Transkrypt
pdf 47kB - MiNI PW
Konspekt wykładu ELiTM 3 Relacje K.Junosza-Szaniawski, A.Pilitowska Niech X i Y będą zbiorami. Definicja 1 Relacją binarną R nazywamy podzbiór iloczynu kartezjańskiego dwóch zbiorów, czyli R ⊆X ×Y. Przykład 2 1. mniejszość <⊆ R × R np.: (2, 4) ∈< 2. podzielność | ⊆ N+ × N+ np.: (2, 4) ∈ | Definicja 3 Niech R ⊆ X × Y będzie relacją. Zbiór DR = {x ∈ X: ∃y ∈ Y (x, y) ∈ R} nazywamy dziedziną relacji R. Na ogół piszemy xRy zamiast (x, y) ∈ R. Jeśli X = Y , to mówimy, że relacja R ⊆ X × X jest określona w zbiorze X. Pustą relacją nazywamy relację nie zawierającą żadnej pary (czyli zbór pusty): ∅ ⊆ X × Y . Relacją pełną nazywamy relację zawierającą wszystkie pary czyli R = X × Y . Definicja 4 Relacją odwrotną do relacji R ⊆ X × Y nazywamy relację R−1 = {(y, x) ∈ Y × X: (x, y) ∈ R} ⊆ Y × X. Definicja 5 Złożeniem relacji R ⊆ X × Y i S ⊆ Y × Z nazywamy relację S ◦ R = {(x, z) ∈ X × Z: ∃y xRy ∧ ySz}. Definicja 6 Relację R ⊆ X × X nazywamy: • zwrotną, jeśli ∀x ∈ X xRx. Relacjami zwrotnymi są np. =, ¬, | • symetryczną, jeśli ∀x, y ∈ X xRy ⇒ yRx. Relacjami symetrycznymi są np. =, || • przechodnią, jeśli ∀x, y, z ∈ X xRy ∧ yRz ⇒ xRz. Relacjami przechodnimi są np. =, ¬ • antysymetryczną, jeśli ∀x, y ∈ X xRy ∧ yRx ⇒ x = y. Relacjami antysymetrycznymi są np. ¬, ⊆ • przeciwzwrotną, jeśli ∀x ∈ X ¬xRx. Relacjami przeciwzwrotnymi są np. ̸=, < • przeciwsymetryczną, jeśli ∀x, y ∈ X xRy ⇒ ¬yRx. Relacją przeciwsymetryczną jest np. < • spójną, jeśli ∀x, y ∈ X xRy ∨ yRx ∨ x = y. Relacjami spójnymi są np. <, ¬ Definicja 7 Relację R ⊆ X ×X nazywamy relacją równoważności, jeśli jest zwrotna, symetryczna i przechodnia. Przykład 8 Przykładami relacji równoważności są: 1. Relacja równości =⊆ X × X, dla dowolnego zbioru X. 2. Relacja pełna R = X × X, dla dowolnego zbioru X. 1 Konspekt wykładu ELiTM 3 Relacje K.Junosza-Szaniawski, A.Pilitowska 3. Relacja ≡n ⊆ Z × Z przystawania modulo n ∈ N+ (z1 ≡n z2 ⇔ n|z1 − z2 ). 4. Relacja R ⊆ R × R taka, że xRy ⇔ ∃q ∈ Q x + q = y. 5. Niech X = {(a, b) | a = (a1 , . . . , an ), b = (b1 , . . . , bn ) ∈ Rn }. Relacja R ⊆ X × X taka, że (a, b)R(c, d) ⇔ ∀i ∈ {1, . . . , n} bi − ai = di − ci . 6. Niech X będzie zbiorem formuł rachunku zdań. Relacja R ⊆ X × X taka, że αRβ ⇔ α ⇒ β i β ⇒ α są tautologiami. Definicja 9 Niech ∼⊆ X × X będzie relacją równoważności i niech a ∈ X. Zbiór [a]∼ = {x ∈ X: x ∼ a} nazywamy klasą abstrakcji elementu a. Element a nazywamy reprezentantem klasy. Jeżeli z kontekstu wynika jaką relację równoważności rozważamy, to zamiast [a]∼ będziemy czasami pisać [a]. Własności klas abstrakcji relacji równoważności ∼⊆ X × X: 1. ∀a ∈ X a ∈ [a]∼ 2. ∀a, b ∈ X b ∈ [a]∼ ⇒ a ∈ [b]∼ 3. ∀a, b ∈ X [a]∼ = [b]∼ ⇔ a ∼ b 4. ∀a, b ∈ X [a]∼ = [b]∼ ∨ [a]∼ ∩ [b]∼ = ∅ 5. ∪ a∈X [a]∼ =X Przykład 10 Niech X będzie zbiorem i niech a ∈ X. 1. [a]= = {x ∈ X: x = a} = {a}. 2. Niech R = X × X będzie relacją pełną. Wtedy [a]R = {x ∈ X: xRa} = X. 3. Niech X = Z. Wtedy [a]≡n = {x ∈ Z: x ≡n a} = {x ∈ Z: n|x − a} = {a + k · n: k ∈ Z}. Definicja 11 Niech ∼ będzie relacją równoważności na zbiorze X. Zbiorem ilorazowym nazywamy zbiór klas abstrakcji relacji ∼ i oznaczamy X/∼ . Przykład 12 Z/≡n = {[0]≡n , [1]≡n , . . . , [n − 1]≡n }. Twierdzenie 13 Niech {Ai : i ∈ I} będzie rodziną podzbiorów zbioru X taką, że: 1. ∀i ∈ I Ai ̸= ∅ 2. ∀i, j ∈ I i ̸= j ⇒ Ai ∩ Aj = ∅ 3. ∪ i∈I Ai = X. Wtedy istnieje relacja równoważności ∼ na zbiorze X taka, że X/∼ = {Ai : i ∈ I}. Definicja 14 Niech X1 , . . . , Xn będą zbiorami i niech n ∈ N. Relacją n-arną nazywamy podzbiór iloczynu kartezjańskiego R ⊆ X1 × . . . × Xn . 2