cd diam

SPÓJNOŚĆ
• Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na
dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z
A do B.
• Definicja równoważna: Graf jest spójny, gdy
każde dwa wierzchołki są połączone ścieżką
(będącą podgrafem danego grafu). (ćw)
• Ścieżka to graf postaci: V={v1,...vk},
E={v1v2,...,vk-1vk}. Wierzchołki v1 i vk to końce
ścieżki.
Składowe spójności
• Relacja ,,być połączonymi ścieżką” (tzn.
być końcami ścieżki) jest relacją
równoważności (zwrotna, symetryczna,
przechodnia). (ćw)
• Klasy abstrakcji tej relacji indukują
składowe spójności grafu.
• Inaczej, składowe spójności to maksymalne
podgrafy spójne.
Wierzchołki i krawędzie cięcia
• Wierzchołek v nazywamy wierzchołkiem
cięcia grafu G, gdy podgraf G-v ma więcej
składowych spójności niż G.
• Krawędź e nazywamy krawędzią cięcia grafu
G, gdy podgraf G-e ma więcej składowych
spójności niż G.
Wniosek: Krawędź e jest krawędzią cięcia grafu
G, wgdy nie leży na żadnym cyklu w G. (ćw)
Minimalne grafy spójne
• Ile najmniej krawędzi ma graf spójny?
• Jeśli G ma cykl, to można z niego usunąć dowolną
krawędź bez rozspójniania G.
• Wiemy, że jeśli e(G)>n-1, to G zawiera cykl (ćw).
• Stąd, G ma co najwyżej n-1 krawędzi.
• Wiemy też, że istnieje ciąg v1,...,vn taki, że dla
każdego i istnieje j>i takie, że vIvj jest krawędzią
(patrz: algorytm zachłanny).
• Zatem e(G)=n-1
Drzewa, lasy, liście
• Drzewo to graf spójny bez cykli (a więc,
minimalny graf spójny).
• Las to graf acykliczny (a więc, rozłączna
suma drzew)
• Liść to wierzchołek wiszący drzewa.
Fakt: Każde drzewo ma co najmniej dwa liście.
Dowód: Spójrz na końce najdłuższej ścieżki.
Własności drzew
Tw. NWSR:
(ii) T jest drzewem;
(iii) T jest spójny i e(T)=n-1
(iv) każde 2 wierzchołki są połączone dokładnie 1
ścieżką;
(v) T jest spójny i każda krawędź jest krawędzią
cięcia;
(vi) po dodaniu dowolnej krawędzi powstaje
dokładnie 1 cykl.
Drzewa rozpięte
• Drzewo rozpięte w grafie G, to podgraf T
taki, że V(T)=V(G) i T jest drzewem.
• Każdy graf spójny zawiera przynajmniej 1
rozpięte drzewo.
• Graf pełny Kn ma ich nn-2 (Cayley, 1889)
Rozłączne rozpięte drzewa
• Lepszą miarą spójności grafu jest
maksymalna liczba rozłącznych rozpiętych
drzew (RRD).
• Jeśli G ma k RRD, to
e(G ) ≥ k (v (G ) − 1)
• Nie jest to jednak warunek dostateczny !
Ilustracja 1
v=5
e=8
k=2
Ilustracja 2
v=7
e=12
k=2 ?
A
A
v=3
e=3
k=1
Odległości w grafie
• Odległość dG(u,v) między wierzchołkami u i v w
spójnym grafie G to długość najkrótszej ścieżki
łączącej u i v.
• Odległość wierzchołków jest metryką (ćw)
• Średnicą diam(G) grafu G nazywamy największą
odległość w G.
• Np. diam(Kn )=1, diam(C2n )=n, diam(Pn )=n
• Ale diam(Kn-e)=diam(K1,n )=2
Zbiory rozdzielające
• A,B – dowolne podzbiory V(G)
• Ścieżkę P o końcach a i b nazywamy A-B
ścieżką, gdy
V ( P ) ∩ A = {a},V ( P) ∩ B = {b}
• Jeśli A={u}, B={v}, to piszemy u-v ścieżka.
•Mówimy, że zbiór wierzchołków (krawędzi) X
rozdziela A i B, gdy każda A-B ścieżka zawiera
element zbioru X.
Ilustracja
A
B
X
Zbiory rozdzielające – c.d.
• Mówimy, że X rozdziela G, gdy w G-X istnieją
wierzchołki u i v takie, że X rozdziela {u} i {v}.
• Wtedy zbiór X nazywamy, odpowiednio, cięciem
wierzchołkowym lub cięciem krawędziowym.
• Jeśli X={v} rozdziela dwa wierzchołki tej samej
składowej grafu G, to v jest wierzchołkiem cięcia.
• Krawędź, która rozdziela swoje końce, to krawędź
cięcia.
• Wierzchołek (krawędź) cięcia stanowi 1elementowe cięcie wierzchołkowe (krawędziowe)
Bloki
• Maksymalny, spójny podgraf H grafu G, bez
wierzchołków cięcia (w H) nazywamy blokiem
• Dwa bloki mają co najwyżej 1 wspólny
wierzchołek, który jest wtedy wierzchołkiem
cięcia grafu G; każda krawędź należy do innego
bloku; G jest sumą swoich bloków.
B2
B1
B3
B4
B5
Graf bloków
• Graf bloków grafu G to dwudzielny graf o
dwupodziale (A, B), gdzie A to zbiór
wierzchołków cięcia, B – zbiór bloków G, a
krawędź łączy
a ∈ A i B ∈ B gdy a ∈ V ( B )
Fakt. Graf bloków jest lasem. (ćw.)
2
1
4
2
4
3
3
5
1
5
k-Spójność
• Graf G jest k-spójny, gdy |V(G)|>k i nie ma
cięcia wierzchołkowego mocy mniejszej niż
k (inaczej: G-X jest spójny zawsze, gdy X
jest zbiorem wierzchołków mocy |X|<k).
• Każdy graf jest 0-spójny.
• Każdy spójny graf oprócz K1 jest 1-spójny.
• Blok jest maksymalnym 2-spójnym
podgrafem, chyba, że jest mostem lub
wierzchołkiem izolowanym.
Stopień spójności
• Stopień spójności κ(G) to największe k, dla
którego G jest k-spójny.
• Np. κ(G)=0 gdy G jest niespójny;
• κ(Kn)=n-1
• Jeśli G nie jest grafem pełnym, to κ(G) jest
mocą najmniejszego cięcia
wierzchołkowego w G.
Grafy 2-spójne
Tw. Graf G jest 2-spójny wgdy można go
otrzymać z cyklu przez sukcesywne
dodawanie ścieżek zaczepionych obydwoma
końcami w dotychczasowym grafie, tzn.
istnieje ciąg grafów H1 ,...,Hl , gdzie H1
jest cyklem, Hl=G i dla każdego i=2,... ,l
graf Hi jest sumą Hi-1 i ścieżki Pi o końcach
ui i vi takiej, że
V ( Pi ) ∩ V ( H i −1 ) = {ui , vi }
Dowód na ćw.
Ilustracja
Hi-1
Pi
Krawędziowa k-spójność
• Graf G jest k-krawędziowo-spójny, gdy |V(G)|>1 i
nie ma cięcia krawędziowego mocy mniejszej niż
k (inaczej: G-X jest spójny zawsze, gdy X jest
zbiorem krawędzi mocy |X|<k).
• Stopień spójności krawędziowej κ’(G) to
największe k, dla którego G jest k- krawędziowospójny.
• Równoważnie, κ’(G) to moc najmniejszego cięcia
krawędziowego w G.
Krawędziowa k-spójność a RRD
• Jeśli G ma k RRD, to G jest kkrawędziowo-spójny (oczywiste)
• Jeśli G jest 2k-krawędziowo-spójny, to G
ma k RRD (dowód na ćwiczeniach)
κ(G), κ’(G), δ(G)
Twierdzenie (Whitney, 1930?)
κ(G) ≤ κ ' (G) ≤ δ (G )
Dowód:
Prawa nierówność:
Krawędzie incydentne z dowolnym
wierzchołkiem stanowią cięcie krawędziowe.
Lewa nierówność:
Jeśli G=Kn , to κ(G)=κ’(G)=n-1.
Lewa nierówność – c.d.
• Niech X będzie najmniejszym cięciem
krawędziowym w G nie będącym grafem
pełnym.
• Skoro G-X jest niespójny, to można traktować X
jako dwudzielny podgraf G z 2-podziałem V1,
V2=V(G)-V1
X
V1
V2
Lewa nierówność – dokończenie
• Jeśli V1 ={v}, to istnieje u taki, że uv nie jest krawędzią
w G. Wtedy sąsiedzi v tworzą cięcie wierzchołkowe
(rozdziela u i v) mocy nie większej niż |X|.
• Jeśli |V1|,|V2|>1, to istnieją v w V1 i u w V2 takie, że
uv nie jest krawędzią w G. Biorąc po 1 końcu każdej
krawędzi zbioru X, ale tak by ominąć v i u,
otrzymujemy cięcie wierzchołkowe (rozdziela u i v)
mocy nie większej niż |X|.
Ilustracja
u
d(v)=δ
v
X
V1
V2
Tw. Mengera (1927)
• Jeśli istnieje k parami rozłącznych A-B
ścieżek, to każdy zbiór wierzchołków
rozdzielający A i B musi mieć moc co
najmniej k.
Tw 1. Niech A,B będą dowolnymi podzbiorami V
(G). Wtedy najmniejsza moc zbioru
wierzchołków rozdzielających A i B równa się
największej mocy zbioru rozłącznych A-B
ścieżek. Bez dowodu.
Ilustracja
V1
V2
Tw. Königa raz jeszcze
Wniosek 1 : Tw. Königa
Dowód: Niech G będzie grafem 2-dzielnym o
2-podziale (A,B). Zbiór rozdzielający to
pokrycie wierzchołkowe. Rozłączne A-B
ścieżki to skojarzenie.
A
B
A i B -- jednoelementowe
Dwie u-v ścieżki nazywamy niezależnymi, gdy ich
jedynymi wspólnymi wierzchołkami są ich końce.
Wn.2. Niech a i b będą wierzchołkami grafu G.
(iii) Jeśli a i b nie są połączone krawędzią, to moc
najmniejszego zbioru wierzchołków różnych od a i
b, rozdzielającego a i b jest równa mocy
największego zbioru niezależnych a-b ścieżek.
(iv) Moc najmniejszego zbioru krawędzi
rozdzielających a i b jest równa mocy największego
zbioru krawędziowo rozłącznych a-b ścieżek.
•
Dowód Wniosku 2
(i) Zastosuj Tw. 1 do A=N(a) i B=N(b)
(ii) Zastosuj Tw. 1 do grafu krawędziowego
L(G), A=E(a), B=E(b)
a
b
A
B
Globalne Tw. Mengera
Tw 2. (Menger, 1927)
(i) Graf jest k-spójny wgdy zawiera co najmniej
k parami niezależnych ścieżek pomiędzy
każdą parą wierzchołków.
(ii) Graf jest k-krawędziowo-spójny wgdy
zawiera co najmniej k parami krawędziowo
rozłącznych ścieżek pomiędzy każdą parą
wierzchołków.
Dowód Tw. 2(i)
 Jeśli G ma k niezależnych ścieżek między każdą
parą wierzchołków, to |V(G)|>k i G nie może
mieć cięcia wierzchołkowego mocy mniejszej
niż k.
Zatem G jest k-spójny.
 Przypuśćmy, że k-spójny graf G zawiera
wierzchołki a i b niepołączone k niezależnymi
ścieżkami.
.
Dowód Tw. 2(i)  c.d.
• Z Wniosku 2(i), ab jest krawędzią.
• Podgraf G’:=G-ab ma co najwyżej k-2
niezależne a-b ścieżki.
• Ponownie z Wniosku 2(i), istnieje zbiór
wierzchołków X mocy |X|<k-1
rozdzielający a i b w G’.
• Ponieważ |V(G)|>k, to istnieje w G
wierzchołek v taki, że
v ∉ X ∪ {a, b}
Dowód Tw. 2(i)  dokończenie
• X rozdziela w G’ wierzchołek v od a lub b
(powiedzmy od a).
• Wtedy X powiększony o b rozdziela w G v i a,
co przeczy k-spójności G.
Dowód Tw. 2 (ii) -- ćwiczenia
Ilustracja
a
b
v
X