Teoria grafów Lista 3 1. Które z poniższych grafów są

Teoria grafów
Lista 3
1. Które z poniższych grafów są hamiltonowskie?
t
t t
@
@t
t
@
t @t
t
t
'$
t
t t t t
tt
t @t
&%
t
t
t t
@
t @t
t
t
2. Znajdź cykl hamiltonowski w siatce dwunastościanu foremnego.
3. Czy w grafie Petersena można znaleźć cykl hamiltonowski lub drogę hamiltonowską?
4. Kiedy graf pełny jest grafem hamiltonowskim? To samo pytania dla grafów dwudzielnych pełnych.
5. Ile razy trzeba oderwać ołówek od papieru, rysując poniższy graf, jeżeli żadnej linii nie można
rysować dwukrotnie?
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
6. W grafie spójnym G, 2k wierzchołków ma stopień nieparzysty, a pozostałe wierzchołki są stopnia parzystego. Pokaż, że w G istnieje k krawędziowo rozłącznych dróg, które pokrywają wszystkie krawędzie G. (Rozkład grafu na tzw. drogi jednobieżne.)
7. W grafie prostym G = hV, Ei dla każdej pary niesąsiednich wierzchołków x i y jest deg(x) +
deg(y) ­ |V | − 1. Pokaż, że graf G jest półhamiltonowski.
8. Dla jakich n graf pełny Kn można przedstawić w postaci dwóch dopełniających się grafów
częściowych eulerowskich?
9. Podaj możliwie prosty przykład grafu:
a) eulerowskiego, ale nie hamiltonowskiego;
b) hamiltonowskiego, ale nie eulerowskiego;
c) ani hamiltonowskiego, ani eulerowskiego;
d) hamiltonowskiego i eulerowskiego jednocześnie.
10. Przyjmijmy, że wierzchołkami grafu są permutacje zbioru n−elementowego, a dwie permutacje
uznajemy za sąsiednie, gdy jedna z nich może być otrzymana przez pojedynczą tranpozycję z
drugiej.
a) Ile wierzchołków i ile krawędzi ma ten graf?
b) Znajdź stopnie wierzchołków.
c) Hamiltonowski?