Analiza matematyczna, Caka Lebesgue`a

Analiza matematyczna
Całka Lebesgue’a – zadanie domowe
Robert Sulkowski
http://robert.brainusers.net
23.01.2009
Zadanie 1. d) Obliczyć całkę
%
Z $
1
√
dl1 (x)
x
D
gdzie D = {x ∈ R : 0 < x ≤ 1}.
Niech f : (0, ∞) → R będzie funkcją określoną wzorem:
$
% $r %
1
1
,
f (x) = √
=
x
x
gdzie b·c oznacza część całkowitą liczby rzeczywistej:
btc = max {m ∈ Z : m ≤ t}.
Zbiór D jest lewostronnie otwartym przedziałem prostej rzeczywistej, zatem
jest mierzalny względem jednowymiarowej miary Lebesgue’a l1 i jego miara
wynosi 1.
Niech (an )n∈N będzie ciągiem liczb rzeczywistych zadanym wzorem:
an =
1
1
n2
i niech (An )n∈N będzie ciągiem przedziałów postaci An = (an+1 , an ]:
#
1
,1
A1 =
22
#
1 1
A2 =
,
32 22
..
.
Ak
1
1
,
(k + 1)2 k 2
=
#
..
.
Wtedy wszystkie elementy tego ciągu są parami rozłączne oraz sumują się
do całego zbioru D:
∞
[
n=1
1
i i
1
,
1
=
lim
,
1
= (0, 1] = D
n→∞ n2
n→∞ n2
An = lim (an , 1] = lim
n→∞
(1)
Ponadto, każdy ze zbiorów An jest mierzalny względem l1 , bo jest przedziałem
w R, dla każdego n ∈ N.
Zauważmy, że
$s
f (an ) =
1
1
n2
%
=
j√
k
n2 = bnc = n
dla każdego n ∈ N.
(2)
Pokażemy, że dla każdego n ∈ N funkcja f jest stała na przedziałach postaci An
oraz
f (x) = n ,
x ∈ An .
Ustalmy więc n ∈ N oraz liczbę rzeczywistą x ∈ An = (an+1 , an ]. Wtedy
0 <
1
1
< x ≤ 2
2
(n + 1)
n
n2 ≤
1
< (n + 1)2
x
Stąd
r
n ≤
1
< n + 1.
x
Zatem
$r %
(
r )
1
1 (3) (2)
f (x) =
= max m ∈ Z : m ≤
= n = f (an ).
x
x
2
(3)
Udowodniliśmy, że dla każdego n ∈ N, dla dowolnej liczby rzeczywistej z przedziału An wartość funkcji f wynosi n i jest ona równa wartości funkcji w prawym
końcu tego przedziału. Nieformalnie mówiąc, funkcja f na n-tym przedziale jest
równa n.
Zdefiniujmy teraz ciąg (fn )n∈N funkcji określonych na zbiorze D o wartościach
w R wzorem:
n jeżeli x ∈ An ,
fn (x) =
0 w przeciwnym wypadku.
Każda z funkcji ciągu (fn )n∈N jest funkcją prostą jako funkcja charakterystyczna
zbioru An pomnożona przez n.
Zauważmy, że dla dowolnego x ∈ An zachodzi równość fn (x) = f (x), co znaczy
że n-ta funkcja z ciągu (fn )n∈N przyjmuje na przedziale An tę samą wartość co
funkcja f . Ponadto
f (x) =
n
X
dla każdego x ∈
fk (x)
k=1
n
[
Ak , n ∈ N.
k=1
Stąd, dla każdego x ∈ D mamy:
(1)
f (x) = f|D (x) = f| S∞
n=1
n
X
= lim
n→∞
An (x)
= lim f| Sn
n→∞
fk (x) =
∞
X
k=1
Ak (x)
=
fn (x)
(4)
n=1
k=1
To znaczy, że funkcję f na zbiorze D można przedstawić za pomocą szeregu
funkcji prostych z ciągu (fn )n∈N .
Zajmijmy się teraz całką. Obcięcie funkcji f do zbioru D nie zmieni wartości
całki Lebesgue’a, bo całkujemy po tym zbiorze:
Z
Z
f (x) dl1 (x) =
D
(4)
f|D (x) dl1 (x) =
Z X
∞
fn (x)
D n=1
D
Z twierdzenia o całce szeregu1 :
Z
∞
X
fn (x) =
D n=1
∞ Z
X
n=1
fn (x)
D
Wiemy, że fn jest funkcją prostą, zatem jej całka po zbiorze D wynosi:
l1 (D ∩ An ) · n + l1 (D \ An ) · 0
1 Analiza
A⊂D
=
l1 (An ) · n
dla każdego n ∈ N.
matematyczna 3 (wykład), rozdz. VIII, par. 4, wniosek 1
3
Miara Lebesgue’a przedziału An jest jego długością:
l1 (An ) = an − an+1 =
1
1
−
2
n
(n + 1)2
dla każdego n ∈ N.
W końcu całkę funkcji f po zbiorze D można przedstawić jako sumę szeregu:
!
Z
∞
∞
X
X
1
n
1
n
f (x) dl1 (x) =
−
−
·
n
=
2
2
2
n
(n
+
1)
n
(n
+
1)2
D
n=1
n=1
Zauważmy, że
∞
X
n
1
1
2
3
n
n
2
n−1
−
= 2 − 2 + 2 − 2 + 2 −...− 2 +
−... =
2
2
2
n
(n
+
1)
1
2
2
3
3
n
(n)
| {z } | {z }
n=1
|
{z
}
1
22
1
32
=
1
n2
∞
X
1
n2
n=1
Całka okazała się być sumą nieskończonego szeregu harmonicznego 2-stopnia,
który jest zbieżny, a jego sumę można znaleźć w tablicach matematycznych.
Zatem całka Lebesgue’a istnieje i jest skończona. Ostatecznie:
Z
π2
f (x) dl1 (x) =
6
D
Do powyższego wyniku można dojść za pomocą intuicyjnej, graficznej interpretacji całki jako pola powierzchni pod wykresem funkcji f . Ponieważ funkcja f
na przedziale D jest funkcją schodkową, całkę można utożsamić z sumą wszystkich pól prostokątów o długości będącej szerokością przedziału, na którym
funkcja jest stała i wysokości równej wartości przyjmowanej przez funkcję f
na tym przedziale — podobnie jak powyżej. Można również zsumować wszystkie pola prostokątów o wysokości 1 (skok wartości funkcji f ) i szerokości przedziału (0, n12 ] równej n12 po wszystkich n ∈ N, przy czym otrzymamy wtedy
bezpośrednio szereg harmoniczny drugiego stopnia.
4