Zestaw zadań z drzew Z. 1. Czy drzewo jest grafem dwudzielnym? Z
Transkrypt
Zestaw zadań z drzew Z. 1. Czy drzewo jest grafem dwudzielnym? Z
Zestaw zadań z drzew Z. 1. Czy drzewo jest grafem dwudzielnym? Z. 2. Czy istnieje drzewo o 7 wierzchołkach, którego wierzchołki mają stopnie 1, 1, 1, 2, 2, 2, 5 ? Z. 3. Ile wynosi suma stopni wierzchołków w drzewie o n wierzchołkach ? Z. 4. Graf G ma 16 krawędzi, jeden wierzchołek stopnia 4, pięć wierzchołków stopnia 3, pięć wierzchołków stopnia 1, a pozostałe wierzchołki mają stopień 2. Czy graf G może być drzewem? Czy G może być spójny i zawierać cykl C10 ? Z. 5. Uzasadnić, że drzewo T ma co najmniej ∆(T ) liści. Definicja. 1. Korzeń - jeden wyróżniony wierzchołek w drzewie Jeżeli wierzchołki dwa leżą na jednej ścieżce o początku w korzeniu drzewa, to wierzchołek leżący bliżej korzenia nazywamy przodkiem, a wierzchołek leżący dalej nazywamy potomkiem. Jeżeli odległość między tymi wierzchołkami wynosi 1, to jest to odpowiednio rodzic i dziecko. Drzewo m-arne - każdy rodzic ma co najwyżej m dzieci Drzewo binarne - drzewo 2-arne Regularne drzewo m-arne - każdy rodzic ma dokładnie m dzieci Numer poziomu wierzchołka u - długość ścieżki od korzenia do wierzchołka u Wysokość drzewa - największy numer poziomu wierzchołka Pełne drzewo m-arne - regularne drzewo m-arne, w którym każdy liść ma ten sam poziom Z. 6. a) Ile najmniej, a ile najwięcej liści może mieć drzewo binarne o n wierzchołkach ? b) Jaka może być najmniejsza, a jaka największa wysokość drzewa binarnego o n wierzchołkach ? Z. 7. Ile ważeń wagą szalkową trzeba wykonać, aby wykryć fałszywą monetę wśród 4 monet ? Nie wiemy, czy fałszywa moneta jest lżejsza, czy cięższa. Proszę znaleźć najmniejszą liczbę ważeń i narysować drzewo decyzyjne odpowiadające algorytmowi ważenia. b) to samo dla 6 monet. A gdy chcemy ocenić, czy moneta jest cięższa, czy lżejsza? Z. 8. Chcemy ustawić rosnąco różne liczby a, b, c, d (których nie znamy). Załóżmy, że w jednym kroku możemy wybrać dowolne dwie i zapytać przyjaciela, która jest większa (przyjaciel zawsze podaje dobrą odpowiedź). Skonstruować przykładowe drzewo decyzyjne pozwalające ustawić liczby rosnąco. Ile minimalnie pytań musimy zadać przyjacielowi ? Czy 9 pytań wystarczy, by zawsze posortować 6 liczb ? Z. 9. Dany jest graf G = (V, E), V = {1, 2, 3, 4, 5}, E = {12, 13, 14, 23, 34, 45}. Narysować wszystkie drzewa rozpinające tego grafu. Które z nich otrzymamy przy użyciu algorytmu DFS, startując z wierzchołka 3. Z. 10. Dany jest graf za pomocą list sąsiadów: 1: 2: 3: 4: 5: 6: 4,5,6 3,4,12 2,4,5,7,12 1,2,3 1,3,6,7 1,5,7,8 7: 3,5,6,8,9,10 8: 6,7,10,11 9: 7,10 10: 7,8,9,11 11: 8,10 12: 2,3 Wyznaczyć drzewa rozpinające grafu z powyższego zadania metodą w głąb i wszerz. Przyjąć za korzeń wierzchołek 1, a później 7.