Zestaw 13

ARKUSZ 13 – POZIOM PODSTAWOWY
Zadania zamknięte
1. Która z podanych liczb jest najmniejsza?
√
1
B. log5 1
C. log5 125
A. log5 5
2. Która równość jest prawdziwa?
√
√
√
√
√
√
A. 4 7 · 3 7 = 7 7
B. 4 7 · 3 7 = 12 7
√
D. log5 55
C.
√
4
7·
√
3
7=
√
7
49
D.
√
4
7·
√
3
7=
√
12
77
3. Trzy koleżanki spotkały się w poniedziałek na siłowni. Pierwsza z nich uczęszcza na siłownię
regularnie co trzy dni, druga – co cztery dni, a trzecia – co pięć dni. W który dzień tygodnia
wszystkie trzy koleżanki ponownie spotkają się na siłowni?
A. w poniedziałek
B. w środę
C. w piątek
D. w niedzielę
4. Cena zmywarki wraz z 23-procentowym podatkiem VAT wynosi 1476 zł. Jaka byłaby cena
tej zmywarki bez podatku VAT?
A. 1200 zł
B. 1815,48 zł
C. 1000 zł
D. 1658,56 zł
√
5. Odwrotność liczby − 22 należy do przedziału:
√
√
√ A. 22 ; 3
B. − 2; −1
C. −4; − 2
D. 0; 12
6. Przyjrzyj się tym wielomianom:
(3x2 − 4)(2x + 7),
x3 − 7x2 + 6x,
(x2 + 3)(2x + 7).
Ile z nich ma trzy pierwiastki?
A. żaden
B. jeden
C. dwa
D. wszystkie
1 oraz 1 można przedstawić w postaci:
7. Sumę wyrażeń x+5
x−5
1
2
A. 2x
B. 2
C. 22x
D. 1x
x −25
x −25
√
√
8. Ile wynosi kwadrat różnicy liczb 3 2 oraz 2 3?
√
√
A. 6
B. 6(5 − 2 6)
C. 6(1 + 2 6)
9. Zbiór rozwiązań nierówności 2x2 ≤ x to:
A. 0; 12
B. −∞; 12
C. 0; 12
√
D. 6(5 + 2 6)
D. −∞; 0 ∪ 12 ; ∞
10. Karol zbiera plastikowe nakrętki od butelek. W poniedziałek miał ich tyle, że mógł powiedzieć: „Jeśli uzbieram jeszcze 60 nakrętek, to będę ich miał 4 razy więcej niż dzisiaj”. Ile
nakrętek miał wtedy Karol?
A. 10
B. 12
C. 15
D. 20
x
1
11. Który z podanych punktów nie należy do wykresu funkcji y = 36
?
1
A. (0, 1)
B. (−1, 36)
C. 2, 72
D. 12 , 16
Na poniższym rysunku przedstawiono wykres funkcji kwadratowej f. W zadaniach 12, 13 i 14
mowa jest o tej funkcji.
12. Funkcja f ma wzór:
A. f (x) = 2(x + 3)2 − 4
C. f (x) = 2(x − 3)2 − 4
B. f (x) = 12 (x − 3)2 − 4
D. f (x) = 12 (x + 3)2 − 4
13. Zbiorem wartości funkcji y = −f (x) jest:
A. przedział −4; ∞)
C. przedział (−∞, −4
B. przedział (−∞; 4
D. zbiór R
14. Ile miejsc zerowych ma funkcja y = f (x + 5) + 4?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
15. Funkcja f (x) = ax + b przyjmuje wartości mniejsze od 10 wyłącznie dla x < 2. Miejscem
√
zerowym tej funkcji jest liczba 3. Który zestaw warunków jest prawdziwy?
A. a > 0, b < 0
B. a > 0, b > 0
C. a < 0, b < 0
D. a < 0, b > 0
16. Ciąg określony wzorem an = n2 − 9n + 4 jest:
A. stały
B. rosnący
C. malejący
D. niemonotoniczny
17. Pierwszy wyraz pewnego ciągu arytmetycznego (an ) jest równy −5, a szósty wyraz tego
ciągu to 15. Różnica ciągu (an ) jest równa:
A. 2
B. 3
D. −2
C. 4
18. Oprocentowanie roczne pewnej lokaty bankowej wynosi 8%. Jakie jest roczne oprocentowanie tej lokaty po uwzględnieniu 19% podatku od odsetek?
A. 7,81%
B. 6,48%
C. 8,19%
D. 9,9%
19. Sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym wynosi 34 . Stosunek długości krótszej przyprostokątnej tego trójkąta do dłuższej jest równy:
A. 34
√
B. 47
√
C. 37
D. 32
20. Dla pewnego kąta ostrego α można zapisać własność: tg α = 3 sin α. Z tej zależności wynika, że:
A. cos α = 3
B. cos α = 23
C. cos α = 14
D. cos α = 13
21. Prostokąt ABCD ma boki długości 20 oraz 50 i jest podobny do prostokąta KLMN w skali 2. Przekątna prostokąta KLMN ma długość:
√
√
√
√
29
A. 5 29
B. 145
C. 529
D. 25 2 29
22. Krótsza przekątna trapezu prostokątnego podzieliła go na dwa trójkąty prostokątne
równoramienne. Krótsza podstawa tego trapezu ma długość 4. Jaki obwód ma ten trapez?
√
√
√
√
A. 24 + 6 2
B. 16 + 4 2
C. 20 2
D. 16 + 8 2
23. Jedna z przekątnych rombu ma końce w punktach (−1, −7) i (7, 9) i zawiera się w prostej
o równaniu y = 2x − 5. W której z podanych prostych zawiera się druga przekątna tego rombu?
A. y = − 12 x + 52
B. y = − 12 x + 2
C. y = 2x − 5
D. y = 12 x − 12
24. Ile punktów wspólnych z osiami układu współrzędnych ma okrąg: (x − 5)2 + (y + 3)2 = 25?
A. jeden
B. dwa
C. trzy
D. cztery
25. Spośród czterech odcinków o długościach: 4, 5, 6, 10 losujemy trzy różne odcinki. Jakie
jest prawdopodobieństwo tego, że z wylosowanych odcinków można zbudować trójkąt?
A. 1
B. 14
C. 13
D. 12
26. W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym krawędź podstawy ma długość 6. Kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę 30◦ . Jaka jest długość wysokości
tego ostrosłupa?
√
√
√
C. 3 3
D. 6 3
A. 3
B. 2 3
27. Pole powierzchni kuli wynosi π cm2 . Objętość tej kuli jest równa:
A. π
cm3
6
B. π
cm3
4
C. π
cm3
2
D. π cm3
Zadania otwarte
28. (2 pkt) Znajdź liczby, które spełniają jednocześnie nierówności: (x − 3)2 < 1 i 2x − 6 ≥ 0.
29. (2 pkt) Czy istnieje taka liczba rzeczywista, że suma tej liczby i jej odwrotności jest równa 1? Odpowiedź uzasadnij.
30. (2 pkt) W ciągu geometrycznym o ilorazie q = 2,5 suma trzech pierwszych wyrazów jest
równa 97,5. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
31. (2 pkt) W kwadracie ABCD wybrano na przekątnej punkty K
i L takie, że |AK| = |KL| = |LC|.
Uzasadnij, że pole sześciokąta ABLCDK jest cztery razy większe
od pola trójkąta ADK.
32. (2 pkt) W 32-osobowej klasie 8 osób ma niebieskie oczy, a połowa z nich ma włosy w kolorze jasny blond. Oprócz tego w tej klasie jest jeszcze 6 osób o tym kolorze włosów. Oblicz
prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrana osoba z tej klasy nie będzie miała niebieskich
oczu ani włosów w kolorze jasny blond.
33. (4 pkt) Prosta o równaniu x = 3 jest osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej
f (x) = ax2 + bx + 14. Prosta o równaniu y = −4 ma z tym wykresem dokładnie jeden punkt
wspólny. Dla jakich argumentów wartości funkcji f są dodatnie?
34. (5 pkt) Kąt rozwarcia stożka ma miarę 60◦. Oblicz objętość tego stożka oraz pole jego
przekroju osiowego, jeżeli wiadomo, że pole powierzchni całkowitej tego stożka wynosi 48π .
35. (4 pkt) Przy osiedlu mieszkaniowym mają powstać dwa place zabaw – oba w kształcie
prostokąta. Łączna powierzchnia tych placów to 5104 m2 . Pierwszy z nich ma mieć kształt
kwadratu. Jeden z boków drugiego placu ma być o 8 m krótszy, a drugi – o 12 m dłuższy od
boków tego kwadratu. Jakie wymiary będą mieć te place zabaw?