(statystyka matematyczna) - rachunek prawdopodobieństwa
Transkrypt
(statystyka matematyczna) - rachunek prawdopodobieństwa
Wnioskowanie statystyczne - Elementy rachunku prawdopodobieństwa 1. Egzaminator z katedry Statystyki wie z doświadczenia, że jeśli student wykonuje regularnie zadania domowe, to jego prawdopodobieństwo zdania egzaminu ze statystyki wynosi 0,95, podczas gdy prawdopodobieństwo zdania egzaminu przez studenta, który nie wykonuje regularnie zadań domowych, jest równe 0,3. a.) jakie jest prawdopodobieństwo że losowo wybrany student zda egzamin ze statystyki, jeśli 25% studentów dużej grupy wykonuje regularnie zadania domowe? b.) wylosowany z powyższej grupy student zdał pozytywnie egzamin, jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wykonywał regularnie zadania domowe? 2.Hurtownik posiada w swoim magazynie wyroby dwóch gatunków (I,II), pochodzące od dwóch dostawców (A,B). Proporcje gatunkowe kształtują się następująco: dostawca A (A(I) = 30% i A(II) = 70%); dostawca B (B(I)= 40% i B(II)=60% ). Wiedząc że prawdopodobieństwo wylosowania wyrobu gat. I wynosi 0,325, obliczyć jaki procent dostaw pochodzi od dostawcy A, a jaki od dostawcy B? 3.Prawdopodobieństwo zachorowania na chorobę zakaźną w n-tym dniu od chwili zetknięcia się z chorym ma następujący rozkład: Dzień zachorowania od chwili zetknięcia się z chorym (X=xi) 0 1 2 3 4 5 pi 0.10 0.25 0.30 0.20 0.10 0.05 Obliczyć 1. Dystrybuantę (tabelarycznie i graficznie) 2. Parametry rozkładu: a) wartość oczekiwaną b) wariancję, odchylenie standardowe 4. Rozkład prawdopodobieństwa liczby „zawieszeń” nowego programu komputerowego w ciągu dnia pracy w pewnej firmie, ustalony w trakcie 90 dni wdrażania programu jest następujący: 0 1 2 3 4 liczba „zawieszeń” (xi) prawdopodobieństwo 0,6 0,2 0,09 0,07 0,04 „zawieszenia” (pi) a. określić zmienną losową X oraz narysować wykres rozkładu prawdopodobieństwa, b. wyznaczyć (graficznie i algebraicznie) dystrybuantę zmiennej losowej X c. obliczyć na podstawie rozkładu prawdopodobieństwa oraz dystrybuanty następujące prawdopodobieństwa: P(X<2); P(X≥3); P(2≤X<3) d. obliczyć i zinterpretować parametry rozkładu (wartość oczekiwaną oraz wariancję i odchylenie standardowe) 1 5. Dystrybuanta zmiennej losowej X jest określona następująco: (-oo , -2] (-2,3] (3,5] x0 ∈ F(x0) = 0 0.4 0.5 a) wyznaczyć funkcję prawdopodobieństwa tej zmiennej b) obliczyć parametry rozkładu - wartość oczekiwaną - wariancję i odchylenie standardowe (5,+oo) 1 6. Doświadczenie polega na jednokrotnym rzucie kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania liczby oczek podzielnej przez 3, a jakie liczby niepodzielnej przez 3. Jaki to jest typ rozkładu i ile wynosi jego wartość oczekiwana. 7. W rajdzie biorą udział 2 samochody pochodzące z koncernu Hondy. Prawdopodobieństwo ukończenia rajdu jest identyczne dla tych samochodów i wynosi 0.8. Niech zmienna X oznacza, ilość samochodów tego koncernu, które dojechały do mety. Wyznaczyć rozkład zmiennej X oraz jej dystrybuantę (graficznie i analitycznie). Obliczyć E(X) i D(X). 8. Z partii towaru o wadliwości p = 0.1 wylosowano 2 sztuki (losowanie ze zwracaniem). Niech X oznacza liczę sztuk dobrych w próbie. Określić rozkład zmiennej X oraz jej dystrybuantę (graficznie i analitycznie). Obliczyć E(X) i D(X). 9. Na pewnej trasie kursują 3 autobusy. Awarie autobusów są niezależne i prawdopodobieństwo wystąpienia awarii każdego z nich w ciągu dnia wynosi 0,2. Wyznaczyć: - prawdopodobieństwo, że w ciągu dnia nie będzie żadnej awarii, - rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuantę liczby awarii - parametry tego rozkładu 10. W pewnej firmie wykonuje się rocznie ok. miliona operacji księgowania. Wiadomo, że frakcja księgowań błędnych wynosi 0,1%. Podczas kontroli losuje się w celu dokładnego sprawdzenia (losowanie ze zwracaniem) 2500 pozycji księgowania. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że podczas kontroli zostaną znalezione nie więcej niż dwie błędnie zaksięgowane pozycje 11. Frakcja wadliwych jednostek produktu wynosi p = 10%. Do badania wybrano losowo (losowanie niezależne) n = 3 sztuki. Obliczyć prawdopodobieństwa następujących zdarzeń losowych: Z < 0, Z = 0, Z ≤ 0, Z = 1, Z ≤ 1, Z ≤ 3, Z >3. Symbol Z oznacza zmienną losową opisującą liczbę wadliwych sztuk w badanym zbiorze. 12. W magazynie znajduje się partia towaru o liczności N = 20. Wiadomo, że w partii tej 4 sztuki są wadliwe, nie wiadomo jednak które. Sprzedano 5 sztuk. Obliczyć prawdopodobieństwa następujących zdarzeń losowych: a.) wszystkie sprzedane sztuki są wolne od wad (Z = 0), b.) wśród sprzedanych sztuk jedna jest wadliwa (Z = 1), c.) wśród sprzedanych sztuk co najwyżej jedna jest wadliwa (Z ≤1), d.) wszystkie sprzedane sztuki są wadliwe (Z = 5). 2 13. Prawdopodobieństwo tego, że w losowo wybranej paczce zawierającej 40 szklanek nie będzie szklanek z wadami wynosi 0.135. Wiedząc, że wartość tę oszacowano zakładając, że liczba wad w umownej jednostce (40 szklanek) ma rozkład Poissona, obliczyć przeciętną liczbę wad przypadających na umowną jednostkę 40 szklanek (λ40). 14. Na egzaminie ze statystyki, student losuje bezzwrotnie 3 pytania. Egzaminujący przedstawił do przygotowania 20 pytań. Student “A” zna prawidłowe odpowiedzi na 15 pytań. Egzamin uważa się za zdany jeśli student odpowie co najmniej na 2 pytania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zda on egzamin. 15.Z grupy 20 żołnierzy Legii Cudzoziemskiej w której było:(5 Francuzów, 6 Belgów, 2 Koreańczyków, 1 Anglik, 4 Polaków, 2 Amerykanów) wylosowano 4-ro osobową reprezentacje honorową. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wybranych znajdzie się jeden Polak? 16. Przyjmijmy, że zawartość tłuszczu w badanym mleku ma rozkład normalny o parametrach N(3.5;0.3). Znaleźć prawdopodobieństwo, że zawartość tłuszczu w otrzymanej z danej partii losowej próbce mleka wahać się będzie w granicach od 2.9 do 3.8%. 17. Ciężar mężczyzn (w kg.) w pewnej popoulacji ma rozkład normalny o parametrach µ = 70, σ = 6. Obliczyć udział w populacji mężczyzn o ciężarze: a.) mniejszym od 60 kg b.) z przedziału od 70 do 75 kg. c.) wyższym niż 85 kg. 18. Niech zmienna losowa X ma rozkład normalny N(3/2; 2). Obliczyć prawdopodobieństwo: a) P(X<2,5); b) P(X>-0,5); c) P(0,5<X<2); d) P(|2X-1|<1); e) P(|X|>0,5). 19. Masa pewnego towaru ma rozkład normalny o parametrach µ = 1.5; σ = 0.5. Towar uznawany jest za dobry jeśli jego ciężar nie przekracza założonego xo. Wyznaczyć xo , jeśli wiadomo, że takich towarów jest 15% 20. Wiedząc, że średnia z bardzo dużego zbioru ocen studentów - mieżona na skali od 0 do 100 - wynosi 66,3 a odchylenie standardowe 13,7. Określić najniższą możliwą ocenę w grupie A, jeżeli w grupie A ma znaleźć się górne 10% studentów, a rozkład ocen odpowiada schematowi krzywej normalnej. 3 21.Czas spalania paliwa w pewnej rakiecie jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z µ = 3,685 i σ = 0,036 sekundy. Jakie jest prawdopodobieństwo tego że czas spalania będzie: większy niż 3,700 sek.; mniejszy niż 3,600 sek.; z przedziału od 3,650 sek. do 3,750 sek. 22. Zakładając że długość życia w pewnej populacji ma rozkład normalny N(60;3), określić prawdopodobieństwo tego, że długość życia w danej partii losowej tego szczepu wahać się będzie w granicach 58 - 61 lat. 23. Zmienna losowa X posiada rozkład normalny N(121,8; 5,9). Obliczyć: P(X<127.6); P(X>113,4); P(124,6<X<125,90) 24. Pewien rozkład normalny posiada średnią µ = 45. Wyznaczyć wartość odchylenia standardowego, jeśli 10% obszaru pod krzywą znajduje się na prawo od wartości 50,5 25. Wyznaczyć wartość odchylenia standardowego, jeżeli wiadomo, że 60% obszaru pod krzywą rozkładu normalnego znajduje się w przedziale (-∞;15.5], oraz µ = 14. 4