ELEKTRONIKA

ELEKTRONIKA
Rachunek Prawdopodobieństwa(MAP1151)
LISTA 1.
(Przestrzeń zdarzeń elementarnych, prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne. Wzór na prawdopodobieństwo całkowite. Niezależność zdarzeń)
1. Niech A, B, C będą zdarzeniami. Zapisać za pomocą działań na zbiorach następujące zdarzenia:
a) zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń A, B, C;
b) zachodzą dokładnie dwa spośród zdarzeń A, B, C;
c) zachodzą przynajmniej dwa spośród zdarzeń A, B, C.
d) zachodzą co najwyżej dwa spośród zdarzeń A, B, C.
2. Studenci Wydziału Elektroniki muszą zaliczyć dwa lektoraty: z języka angielskiego i z języka niemieckiego. Z danych Dziekanatu wynika, że 32 studentów zalicza lektorat z języka angielskiego, oba
lektoraty zalicza co czwarty student, zaś przynajmniej jeden z lektoratów zalicza również 32 studentów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany student:
a) nie zaliczył żadnego lektoratu?
b) zaliczył język angielski i nie zaliczył języka niemieckiego?
3. W skład mechanizmu wchodzą dwa jednakowe koła zębate. Warunki techniczne zostają naruszone,
jeżeli w obu kołach występują dodatnie odchylenia grubości zębów od nominalnego wymiaru. Monter dysponuje 10 kołami zębatymi, z których trzy są ”plusowe”, a 7 jest ”minusowych”. Obliczyć
prawdopodobieństwo naruszenia warunków technicznych przy montażu, jeżeli koła są wybierane w
sposób przypadkowy.
4. Wśród m losów, gdzie m > 4 , są cztery wygrywające. Kupujemy dwa losy. Dla jakich m prawdopodobieństwo, że:
(a) oba są wygrywające - jest większe od 0,2;
(b) oba są wygrywające - jest mniejsze od 0,5;
(c) przynajmniej jeden wygrywa - jest większe od 0,5.
5. Obliczyć prawdopodobieństwo, że rzucona na pokratkowaną kartkę papieru (kratki 2 × 2) moneta o
średnicy 1 nie dotknie żadnej linii.
6. Dwie przyjaciółki umówiły się w kawiarni między godziną 18 a 19 i postanowiły czekać na siebie
co najwyżej kwadrans. Jakie jest prawdopodobieństwo, że się spotkają? Ile minut powinny na siebie
czekać, by prawdopodobieństwo spotkania było większe niż 0,8?
7. Współczynniki a, b trójmianu kwadratowego x2 +ax+b są losowo wybranymi liczbami z przedziału
[0,1]. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:
(a) trójmian ten nie ma miejsc zerowych,
(b) ma dwa dodatnie pierwiastki,
(c) ma dwa pierwiastki różnych znaków?
8. Wiadomo, że 2% populacji pewnego szczepu w Afryce to ludzie zarażeni wirusem HIV. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że:
a) wśród losowo wybranych 100 osób nie ma ani jednej zarażonej,
b) wśród losowo wybranych 100 osób są 2 zarażone,
c) jaka jest minimalna liczba osób, które należy zbadać, by prawdopodobieństwo znalezienia osoby
zarażonej było nie mniejsze niż 0,95. Podać wynik dokładny i przybliżony wykorzystując odpowiednie
twierdzenie (zacytować je!)
1
9. Na egzaminie student losuje jedno zdziesięciu pytań. Opanował tylko jeden temat. Na chwilę przed
egzaminem jedno z pytań gdzieś się zawieruszyło. Oceń, czy szanse studenta zmalały. A gdyby umiał
odpowiedzieć na 5 pytań, a zgubiło się aż 8 pytań?
10. Na przenośnik taśmowy trafiają jednakowe wyroby wytwarzane przez 3 automaty. Stosunek ilościowy
produkcji automatów kształtuje się jak 2:2:1. Poza tym wiadomo, że automat pierwszy produkuje 85%
wyrobów I gatunku, drugi - 80% I gatunku, a trzeci - 90% I gatunku. Obliczyć prawdopodobieństwo
tego, że losowo wzięty z przenośnika wyrób jest:
(a) II gatunku,
(b) wyprodukowany przez drugi automat, jeżeli okazał się II gatunku,
(c) wyprodukowany przez pierwszy automat, jeżeli okazał się I gatunku.
11. Koparka może pracować w warunkach normalnych albo trudnych odpowiednio z prawdopodobieństwami p1 = 0, 8 i p2 = 0, 2. Prawdopodobieństwo awarii koparki w czasie t wynosi 0,05 przy pracy
w warunkach normalnych i 0,25 w warunkach trudnych.
(a) Jakie jest prawdopodobieństwo awarii w ciągu czasu t?
(b) W czasie t koparka uległa uszkodzeniu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pracowała w warunkach normalnych?
12. Do wykrycia skaz w metalowych elementach zastosowano pewien test. Wiadomo, że przeciętnie 5%
elementów ma skazy. Ustalono doświadczalnie, że jeśli element ma skazę, to test w 90% wskazuje
jej istnienie i w 90% nie wskazuje skazy, gdy jej nie ma. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:
(a) element ma skazę, jeśli wynik testu jest pozytywny,
(b) element ma skazę, jeśli dwukrotne powtórzenie testu dało wynik pozytywny?
13. Rozpatrujemy rodziny z trójką dzieci. Zakładając, że wszystkie kombinacje są jednakowo prawdopodobne, obliczyć prawdopodobieństwo, że w losowo wybranej rodzinie:
(a) jest przynajmniej jedna dziewczynka,
(b) jest dokładnie jeden chłopiec,
(c) jest co najwyżej jedna dziewczynka,
(d) są dzieci obu płci
Czy któreś ze zdarzeń są niezależne?
2
LISTA 2. (Zmienna losowa, jej dystrybuanta i rozkład. Funkcje zmiennej losowej.)
1. Zorganizowano następującą grę: gracz wyciąga z talii dwie karty (bez zwracania). Jeżeli są to dwa asy
- gracz wygrywa 20zł; jeżeli dwie figury (król, dama, walet) - gracz wygrywa 10zł; w każdym pozostałym przypadku gracz płaci dwa złote. Znaleźć rozkład zmiennej losowej X oznaczającej wygraną
gracza.
2. Spośród trzech dobrych i dwu wadliwych elementów losujemy 3 elementy. Wyznaczyć rozkład i
dystrybuantę zmiennej losowej X oznaczającej liczbę wadliwych elementów. Z wykresu dustrybuanty
odczytać P (X ­ 1), P (0 < X ¬ 4).
3. Obsługa działa artyleryjskiego ma trzy pociski. Prawdopodobieństwo trafienia do celu jednym pociskiem (przy jednym wystrzale) wynosi 0,7. Strzelanie kończy się z chwilą trafienia do celu albo
wyczerpania pocisków. Wyznaczyć funkcję prawdopodobieństwa liczby oddanych strzałów oraz przeciętną liczbę oddanych strzałów.
4. Na drodze ruchu pociągów są w znacznej odległości od siebie 4 semafory, z których każdy (niezależnie
od pozostałych) zezwala na przejazd z prawdopodobieństwem 0,8. Niech X oznacza liczbę semaforów
zezwalających na przejazd i poprzedzających pierwsze zatrzymanie lub stację docelową. Wyznaczyć
funkcję prawdopodobieństwa i dystrybuantę zmiennej losowej X. Obliczyć prawdopodobieństwo, że
pociąg nie zatrzyma się przed trzecim semaforem.
5. Robotnik obsługuje trzy maszyny. Długotrwałe obserwacje wykazały, że prawdopodobieństwo tego,
że w ciągu godziny maszyna nie będzie wymagać jego interwencji wynosi 0,6 dla pierwszej oraz 0,7
dla drugiej i trzeciej maszyny. Przy założeniu, że maszyny pracują niezależnie od siebie, wyznaczyć
funkcję prawdopodobieństwa liczby X maszyn, które w ciągu godziny nie wymagają interwencji
robotnika. Znaleźć średnią liczbę maszyn, które w ciągu godziny nie wymagają interwencji robotnika.
6. W celu sprawdzenia pracy automatycznej obrabiarki pobiera się próbę 4-elementową z bieżącej produkcji. Każdy element próby jest kwalifikowany jako brak, jeżeli jego wymiary nie mieszczą się w
granicach tolerancji. Jak wygląda przestrzeń zdarzeń elementarnych? Niech X będzie zmienną losową
określającą liczbę braków w 4-elementowej próbie. Zdefiniować formalnie zmienną losową X.
Przypuśćmy, że praca obrabiarki wymaga korekty, gdy w 4-elementowej próbie będą co najmniej dwa
braki. Opisać to zdarzenie: a)przez zdarzenia elementarne, b)przez zmienną losową X.
Zakładając, że wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, obliczyć P (X = x)
dla x = 0, 1, 2, 3, 4. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia „obrabiarka wymaga korekty”. Naszkicować dystrybuantę zmiennej X i odczytać to prawdopodobieństwo z wykresu dystrybuanty.
7. Czy można dobrać stałe a, b tak, by funkcja F (x) była dystrybuantą pewnej zmiennej losowej?
1
2
+ ex gdy x ¬ −1,
gdy −1 ¬ x < 1,
F (x) =  e−1

b(10 − x2 ) gdy x > 1.


 a−
Przyjmując: a = 12 , b =
1
10



1 ax
e
2
F (x) =  bx +

1
3
4
gdy x ¬ 1,
gdy 1 < x ¬< 2,
gdy x > 2.
obliczyć: P (1 ¬ X < 2), P (0 ¬ X ¬ 1), P (−1 ¬ X < 3).
8. Zmienna losowa X ma funkcję prawdopodobieństwa
xi
pi
−3
0, 1
−1
0, 2
3
0, 5
5
0, 2
Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej X oraz funkcje prawdopodobieństwa i dystrybuanty zmiennych
losowych: 2X + 3, x2 , x2 − 5.
√
9. Niech FX będzie dystrybuantą zmiennej X. Znaleźć dystrybuanty zmiennych X 2 , eX , X, X1 , log X
(przy oczywistych założeniach o X).
3
LISTA 3. (Parametry zmiennych losowych. Zmienne losowe dwuwymiarowe.)
1. W pewnym biurze zainstalowano 10 drukarek. Każda z drukarek pracuje niezależnieśrednio przez 12
minut w ciągu jednej godziny.
a) Jakie jest prawdopodobieästwo, że w losowo wybranej chwili będzie włączonych 7 drukarek? co
najmniej 7 drukarek?
b) Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba drukarek włączonych w danej chwili?
2. Po mieście jeździ 1000 samochod˘w. Prawdopodobieństwo wezwania pogotowia technicznego w ciągu
doby przez jeden samochód równe jest p = 0, 002. Obliczyć prawdopodobieństwo wezwania pogotowia
przez którykolwiek z samochodów zakładając, że wezwania są zdarzeniami niezależnymi. Jaka jest
najbardziej prawdopodobna liczba uszkodzonych samochodów? Ile miejsc należy przygotować na
stacjach obsługi,by z prawdopodobieństwem 0, 95 było wolne miejsce dla uszkodzonego samochodu?
3. Liczba komputerów, które mogą być zarażone wirusem przez pewną sie† ma rozkład Poissona z
parametrem λ. W każdym zarażonym komputerze wirus niezależnie uaktywnia się z prawdopodobieństwem p. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wirus uaktywni się w m komputerach?
4. Wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennych losowych z poprzednich zadań.
5. Wektor losowy (X, Y ) ma następujący rozkład łączny:
P (X = 0, Y = −2) = 0, 1; P (X = 0, Y = 0) = 0; P (X = 0, Y = 1) = 0, 2;
P (X = 2, Y = −2) = P (X = 2, Y = 0) = 0, 2; P (X = 2, Y = 1) = 0, 3.
Czy X i Y są niezależne?
6. Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y ) o dystrybuancie F (x, y),
gdzie:
(
(
2
2
1−e−x −e−y +e−x−y dla 0 < x, 0 < y
e−(x +y ) gdy x2 + y 2 ¬ 1,
b) f (x, y) =
a) F (x, y) =
0
poza tym.
0
poza tym.
7. Dobrać stałą C tak, aby funkcja F (x, y) =
(
C(x2 y + y) dla 0 < x < 1, 0 < y < 2
0
poza tym.
była gęstością pewnego wektora losowego (X, Y ). Czy X i Y są niezależne?
8. Dobrać stałą c tak, aby funkcja f (x, y) =
(
c(x + y) dla 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ x,
0
poza tym
była gęstością pewnego wektora losowego (X, Y ). Obliczyć następnie P (X 2 + Y 2 ¬ 1) i współczynnik
korelacji zmiennych losowych X i Y . Czy X i Y są niezależne?
9. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozkład jednostajny na zbiorze
{(x, y) : 0 ¬ x, y ¬ 1, y ­ x + 21 lub x − 21 ¬ y ¬ x}.
a) Sprawdzić, że rozkłady brzegowe są jednostajne na przedziale [0, 1].
b) Czy zmienne losowe X i Y są niezależne?
10. Gęstość prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y ) zadana jest wzorem
1
2
2
f (x, y) = √12π e− 2 (x +y ) . a) Obliczyć P (X > 1). b) Obliczyć P (X 2 + Y 2 ¬ 1).
4
LISTA 4. (Twierdzenia graniczne.)
1. Z partii towaru o wadliwości 3% pobrano próbę 500-elementową. Obliczyć prawdopodobieństwo, ľe
liczba elementów wadliwych w próbie nie przekroczy 4%.
2. Samolot zabiera 80 pasaľerów. Przyjmując, ľe waga pasażera jest zmienną losową o rozkładzie N(80,10)
obliczyć prawdopodobieństwo, że łączna waga pasażerów przekroczy 9000kg.
3. Prawdopodobieństwo spostrzeżenia sputnika z ziemi z określonego punktu obserwacyjnego jest równe
1
przy każdym locie nad punktem obserwacyjnym. Znaleźć liczbę lotów, jaką powinien wykonać
p = 10
sputnik, aby z prawdopodobieństwem nie mniejszym niż 0,9 liczba Xn spostrzeżeń sputnika była
­ 10.
4. Komputer dodaje 1200 liczb rzeczywistych i każdą zaokrągla do najbliższej liczby całkowitej. Błędy
zaokrągleń są niezależne i mają rozkład jednostajny na [− 21 , 21 ]. Obliczyć prawdopodobieństwo, że
błąd w obliczeniu sumy przekroczy 10.
5. Czas pracy lampy elektronowej ma rozkład wykładniczy o średniej m = 900h. Zgromadzono zapas
100 lamp. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wystarczy ich na 100000 godzin pracy, jeżeli każdą
lampę włączamy natychmiast po wygaśnięciu poprzedniej. Ile lamp trzeba mieć w zapasie, by z
prawdopodobieństwem > 0, 99 wystarczyło ich na 99000 godzin pracy urządzenia.
6. Zmienne losowe X1 , X2 , . . . , X100 są niezależne o rozkładzie Poissona z parametrem λ. Obliczyć
P
przybliżoną wartość wyrażenia P ( 100
k=1 Xk > 190)
7. Udźwig żurawia wynosi 20t. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy podnoszeniu 400 elementów
ważących średnio 51 kg z wariancją 6,4 kg2 udźwig zostanie przekroczony?
5