Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1064, 2008/09

Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1064, 2008/09
Wydział Elektroniki
Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz
Listy zadań nr 4-6
Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz
Literatura:
[1] A. Plucińska, E. Pluciński, Rachunek prawdopodobieństwa. Statystyka matematyczna. Procesy stochastyczne, WNT, Warszawa, 2000
[2] T. Inglot, T. Ledwina, Z. Ławniczak, Materiały do ćwiczeń z rachunku prawdopodobieństwa i
statystyki matematycznej, Wydawnictwo Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 1979
[3] W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwa
i statystyka matematyczna w zadaniach, część I, PWN, Warszawa, 1995
[4] J. Ombach, Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, Wydawnictwo Instytutu Matematyki AGH,
Kraków, 1997
[5] W. Kordecki, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2002
[6] H. Jasiulewicz, W. Kordecki, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 2003
[7] Y. Viniotis, Probability and Random Processes for Electrical Engineers, McGraw-Hill, Boston,
1998
[8] J. Jakubowski, , R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa SCRIPT, Warszawa, 2001
[9] J. Stojanow, I. Mirazczijski, C. Ignatow, M. Tanuszew Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa, PWN, Warszawa, 1991
[10] A. Papoulis, Prawdopodobieństwo, zmienne losowe i procesy stochastyczne, WNT, Warszawa,
1972
1
Lista 4. Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo
klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne.
Zadanie 4.1
(a) Siedem opon samochodowych zostało ponumerowanych liczbami od 1 do 7 w zależności od ich
jakości od najlepszej do najgorszej. Klient wybrał losowo cztery opony. Skonstruować zbiór Ω
i podać prawdopodobieństwo, że najlepsza opona jaką wybrał klient ma jakość 3.
(b) Hasło potrzebne do uzyskania połączenia w sieci komputerowej składa się z dwóch cyfr i następnie czterech dużych liter alfabetu angielskiego. Znaleźć prawdopodobieństwo, że osoba postronna odgadnie hasło, jeśli wiadomo, że pierwsza cyfra jest nieparzysta, a wśród liter są dokładnie
dwie litery A.
(c) Użytkownik karty kredytowej używa czterocyfrowego hasła dostępu. Złodziej posiada program,
który sprawdza jeden układ cyfr w ciągu 1 sekundy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że złodziej
karty w czasie nie dłuższym niż 10 sekund dostanie się na nasze konto kompletnie nie znając
hasła?
(d) Pudełko zawiera 90 śrub dobrych i 10 wadliwych. Z pudełka wyjęto 10 śrub. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie one są dobre?
Zadanie 4.2
(a) Losujemy liczbę naturalną, tak że szansa na wylosowanie liczby i wynosi 3 · 4−i . Obliczyć
prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest podzielna przez 5 i przez 7.
(b) Rzucamy monetą tak długo, aż upadnie na stronę ORZEŁ. Określić Ω i P odpowiadające temu
eksperymentowi dla monety symetrycznej. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wykonamy mniej
niż 6 i więcej niż 3 rzuty.
(c) Niech Ω = {ωn , n = 1, 2, . . .}. Weźmy ciąg pn = c3−n , n = 1, 2, . . .. Dobrać stałą c tak,
aby ciąg (pn ) określał prawdopodobieństwo P na zbiorze Ω tak, że pn = P ({ωn }). Obliczyć
P ({ω3 , . . . , ω9 }).
Zadanie 4.3
(a) Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wybrany losowo punkt koła x2 +y 2 < 4 leży na zewnątrz
kwadratu |x| < 1, |y| < 1 .
(b) Kawałek drutu długości 20 cm zgięto w przypadkowo wybranym punkcie pod kątem prostym,
a następnie zgięto go w jeszcze dwóch miejscach tak, by powstała ramka prostokątna. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że pole obszaru ograniczonego ramką nie przekracza 21 cm2 .
(c) Dwoje internautów umówiło się na spotkanie w sieci między godziną 17 a 18, przy czym będą
na siebie czekać 6 minut i nie dłużej niż do godziny 18. Jakie jest prawdopodobieństwo, że się
spotkają?
(d) Wybieramy losowo parę liczb (a, b) z prostokąta [−2, 2]×[−1, 1]. Obliczyć prawdopodobieństwo
tego, że pierwiastki równania x2 + 2ax + b = 0 są rzeczywiste.
2
Lista 5. Prawdopodobieństwo warunkowe. Twierdzenie o
prawdopodobieństwie całkowitym. Wzór Bayesa.
Niezależność zdarzeń
Zadanie 5.1
(a) Pewna choroba jest obecna w 0,05% populacji. Opracowano test, który daje wynik dodatni
u 95% chorych i u 7% zdrowych. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że pacjent z wynikiem
dodatnim jest chory? Czy ma on powody do obaw?
(b) Wykonujemy pomiary czterema przyrządami, z których jeden jest nieco rozregulowany. Przy
wykonywaniu pomiaru sprawnym przyrządem prawdopodobieństwo otrzymania błędu pomiaru
przewyższającego tolerancję, wynosi 0,001; prawdopodobieństwo to dla przyrządu niesprawnego
wynosi 0,25. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że pomiar losowo wziętym przyrządem jest
wykonany nie w pełni sprawnym przyrządem, jeżeli wynik pomiaru przewyższa tolerancję.
(c) W pewnym teleturnieju za jednymi z trzech zamkniętych drzwi znajduje się samochód, a za
pozostałymi dwoma kozy. Prowadzący grę wie, które drzwi kryją samochód. Gracz wskazuje
na jedne z drzwi, prowadzący otwiera jedne z pozostałych odkrywając kozę i następnie pyta
gracza, które z zamkniętych drzwi otworzyć (tzn. czy gracz zmienia wybór, czy nie). Jeżeli
gracz wskaże na odpowiednie drzwi, wygrywa samochód.
Powiedzmy, że gracz wskazał na początku na drzwi nr 2, a prowadzący grę otworzył drzwi nr 1
z kozą. Czy graczowi opłaca się zmienić decyzję i wskazać na drzwi nr 3? Odpowiedź uzasadnić.
(d) Spośród trzech równorzędnych kandydatów należy wybrać przewodniczącego grupy. W tym celu
na jednej z trzech czystych kartek piszemy słowo „przewodniczący” i wrzucamy je do pudełka.
Następnie kandydaci kolejno losują jedną kartkę i ten, który wylosuje „przewodniczącego” zostaje wybrany. Który kandydat ma największe szanse: losujący jako pierwszy, drugi, czy trzeci?
(e) Kondensatory są dostarczane przez trzy zakłady, przy czym prawdopodobieństwo tego, że dany
detal był przygotowany w pierwszym zakładzie wynosi 0, 2; że w drugim 0, 3; że w trzecim 0, 5.
Prawdopodobieństwo tego, że w określonych warunkach pracy kondensator zachowuje zdolność do pracy w przeciągu czasu T , dla kondensatorów pochodzących z pierwszego, drugiego i
trzeciego zakładu są równe odpowiednio 0, 9; 0, 92; 0, 808.
1. Jakie jest prawdobodobieństwo tego, że przypadkowo wybrany kondensator z posiadanego
zapasu kondensatorów zachowa zdolność do pracy w przeciągu czasu T ?
2. Przypuśćmy, że kondensator nie przetrzymał ustalonego czasu pracy i uległ uszkodzeniu.
Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że pochodził on z pierwszego, z drugiego, z trzeciego
zakładu?
(f) Wśród 100 mężczyzn jest 5 daltonistów, a wśród 1000 kobiet są 2 daltonistki. Z grupy o jednakowej liczbie kobiet i mężczyzn wybrano losowo osobę, która okazała się daltonistą. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że jest to mężczyzna?
3
Zadanie 5.2
(a) Prawdopodobieństwo trafienia w ruchomy cel przy jednym strzale jest równe 2/3. Pięć osób
strzela niezależnie do jednego ruchomego celu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że cel zostanie
trafiony?
(b) Jest 10 kartek z pytaniami egzaminacyjnymi. Losuje się jedną z nich w sposób przypadkowy.
Kartka nr k zawiera najtrudniejszy zestaw pytań. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że żaden
z pięciu zdających nie wylosuje kartki nr k, jeśli wylosowane już kartki
1. są odkładane;
2. nie są odkładane, tzn. mogą być ponownie wylosowane.
W którym z dwu rozważanych sposobów losowania zdarzenia polegające na wylosowaniu kartki
nr k przez różne osoby zdające są niezależne?
(e) Rozważmy rodziny z trojgiem dzieci. Przyjmujemy, że każda z ośmiu możliwości: CCC, CCD,
CDC, DCC, ... DDD, gdzie C oznacza chłopca, D - dziewczynkę, jest jednakowo prawdopodobna. Niech A oznacza zdarzenie, że rodzina ma dzieci obu płci; B - zdarzenie, że wśród dzieci
jest co najwyżej jedna dziewczynka. Czy zdarzenia A i B są niezależne?
Rozwiązać analogiczne zadanie dla rodzin z dwojgiem dzieci; z czworgiem dzieci.
4
Lista 6. Zmienna losowa. Rozkład zmiennej losowej.
Dystrybuanta.
Zadanie 6.1
(a) Gracz wyciąga z talii (52 kart) trzy karty (bez zwracania). Jeśli są to 3 asy, wygrywa 100 zł.
Jeśli są wśród nich dokładnie 2 asy, gracz wygrywa 50 zł. Jeśli są to 3 figury, gracz wygrywa
10 zł, a w pozostałych przypadkach płaci 1 zł. Niech X oznacza wygraną gracza (przy czym
przegrana 1 zł to inaczej wygrana -1 zł). Znaleźć i narysować dystrybuantę zmiennej losowej
X. Obliczyć P (X > 0).
(b) Na przestrzeni probabilistycznej Ω = {ω = (x, y) : x2 + y 2 ¬ 1} z prawdopodobieństwem
geometrycznym definiujemy zmienną
losową R jako odległość punktu (x, y) ∈ Ω od środka koła
√
(0, 0), tzn. R(ω) = R(x, y) = x2 + y 2 . Znaleźć i narysować dystrybuantę zmiennej losowej R.
Obliczyć P (R < 0, 5).
Zadanie 6.2
(a) Dystrybuanta zmiennej losowej X jest dana wzorem



0







 1
F (x) = 
dla x ¬ −1,
dla −1 < x ¬ 0,
3
1


(x + 1)

3





 1
dla 0 < x ¬ 1,
dla 1 < x.
Narysować F (x) i obliczyć P (0 < X < 1), P (0 < X ¬ 1), P (0 ¬ X < 1), P (−1 < X < 2),
P (−1 ¬ X < 2), P (X > 0), P (|X| > 0, 5).
(b) Dystrybuanta zmiennej losowej X jest dana wzorem
F (x) =




dla x ¬ 0,
0,
75


 1−
dla x > 0
1 + x2
0
Narysować F (x) i obliczyć P (−1 < X < 0), P (−1 < X ¬ 0), P (1 < X < 3), P (|X| > 3),
P (|X − 1| < 1).
Zadanie 6.3
(a) Dobrać stałe A i B tak, aby funkcja F (x) = A+Barctg(2x) była dystrybuantą pewnej zmiennej
losowej X. Obliczyć P (X > 0, 5).
Ax2
dla x ¬ −1,
(b) Dobrać stałe A i B tak, aby funkcja F (x) = x + B dla −1 < x ¬ −0, 5, była dystrybu

1
dla x > −0, 5
antą pewnej zmiennej losowej X. Obliczyć P (−0, 75 < X < 0).



A + 1 + ex dla x ¬ −1,
dla −1 < x ¬ 1, była dystrybu(c) Dobrać stałe A i B tak, aby funkcja F (x) = e−1


−1
B(3 − x ) dla x > 1
antą pewnej zmiennej losowej X. Obliczyć P (−2 < X < 1/2) i P (X > 2).



5
Zadanie 6.4
(a) Pewien informatyk oferuje w tej samej cenie dwa algorytmy A i B, generujące hasła dostępu.
Zdolność pojedynczego algorytmu do ochrony dostępu określana jest poprzez rozkład zmiennej
losowej T reprezentującej czas potrzebny na złamanie hasła. Dystrybuanty rozkładu zmiennej
T odpowiednio dla algorytmów A i B przedstawione są na rysunku 1. Który algorytm byś
wybrał? Odpowiedź uzasadnić.
Rysunek 1.
F (t)
1.0
6
A
0
B
100
t
(b) Na rysunku 2 znajdują się dystrybuanty rozkładu opóźnienia w przesyłaniu plików dla dwóch
programów ftp A i B. Dla którego małe opóźnienia są bardziej prawdopodobne? Dla którego
jest bardziej prawdopodobne opóźnienie równe 30 jednostkom czasu? Dla którego jest bardziej
prawdopodobne opóźnienie krótsze niż 15 jednostek czasu? Odpowiedzi uzasadnij.
Rysunek 2.
1.0
F (t)
6
A B
30
60
6
100
t
Odpowiedzi i wskazówki:
Lista nr 4:
4.1 (a) Ω = {{op1 , op2 , op3 , op4 }, gdzie opi ∈ {1, 2, . . . , 7}}, nieuporządkowane czwórki bez powtó1
4
≈ 0, 114; (b) 187500
≈ 0, 000005333; (c) 0, 001;
rzeń ze zbioru siedmioelem.; 35
520058680173
(d) 1573664496040 ≈ 0, 33
4.2 (a) 4353−1 ≈ 2, 541 · 10−21 ;
(b) Ω = {ωn = (n −1)razy RESZKA, na końcu ORZEŁ, n = 1, 2, . . .},
n
pn = P ({ωn }) = 12 , szukane prawdop. wynosi 235 = 0, 09375;
(c) c = 2, p =
4.3 (a) 1 −
1
π
37 −1
39
≈ 0, 11106
≈ 0, 6817; (b) 0, 6; (c) 0, 19; (d)
5
6
≈ 0, 833
Lista nr 5:
5.1 (a) 0,95·0,0005
≈ 0, 00674; (b) 250
≈ 0, 988; (c) tak, patrz przykłady; (d) losujący mają taką samą
0,07044
253
1
6
25
szansę 3 ; (e) 1. 0, 86, 2. odpowiednio 17 ≈ 0, 1434, 35
≈ 0, 171, 24
≈ 0, 686; (f) 26
≈ 0, 9615
35
5.2 (a) 242
≈ 0, 9959; (b) 1. 0, 5, 2. (0, 9)5 ≈ 0, 59; zdarzenia są niezależne w przypadku 2.; (c) tak
243
(3 dzieci), nie (2 dzieci), nie (4 dzieci)
Lista nr 6:
6.1 (a) F (x) =




0






5397



5525


5452
dla x ¬ −1,
≈ 0, 9768 dla −1 < x ¬ 10,
≈ 0, 9868
5525





5524


≈ 0, 9998

5525





 1


 0 dla r ¬ 0,
dla 10 < x ¬ 50,
P (X > 0) = 1 −
5397
5525
≈ 0, 0232;
dla 50 < x ¬ 100,
dla x > 100
(b) F (r) =  r2 dla 0 < r ¬ 1, P (R < 0, 5) = 0, 25

1 dla r > 1
6.2 (a) P (0 ¬ X < 1) = 13 ≈ 0, 3333, P (0 < X ¬ 1) = 23 ≈ 0, 6667, P (−1 < X < 2) = 23 ≈ 0, 6667,
P (−1 ¬ X < 2) = 1, P (X > 0) = 23 ≈ 0, 6667, P (|X| > 1/2) = 65 ≈ 0, 8333;
(b) P (−1 < X < 0) = 0, P (−1 < X ¬ 0) = 0, 25, P (1 < X < 3) = 0, 3, P (|X| > 3) = 0, 075,
P (|X − 1| < 1) = 0, 6
6.3 (a) A = 0, 5; B = π1 , P (X > 0, 5) = 0, 25;
(b) A = 0, 1 ¬ B ¬ 1, 5, P (−0, 75 < X < 0) = 1, 75 − B;
(c) A = −1, B = 13 , P (−2 < X < 1/2) = e−1
≈ 0, 2325, P (X > 2) =
e2
1
6
≈ 0, 1667
6.4 (a) Algorytm B chroni lepiej. (b) Małe opóźnienia są bardziej prawdopodobne dla A. Opóźnienie
równe 30 jednostkom czasu ma prawdopod. 0 dla B, a prawdop.> 0 dla A. Opóźnienie krótsze
niż 15 jednostek czasu jest bardziej prawdopodobne dla A.
7