Matematyka dla kierunku Finanse i Rachunkowość

Matematyka dla kierunku
Finanse i Rachunkowość - ćwiczenia
Aktualizacja: 8 stycznia 2008
Spis treści
1 Funkcje
1
2 Funkcje logarytmiczne i wykładnicze
3
3 Elementy logiki i teorii mnogości
6
4 Ciąg i granica ciągu
8
5 Granica i ciągłość funkcji
10
6 Pochodna funkcji. Reguła de l’Hospitala
12
7 Zastosowania pochodnej
14
8 Badanie przebiegu zmienności wybranych funkcji
15
9 Zastosowania rachunku różniczkowego w ekonomii
16
10 Całki nieoznaczone
18
11 Całki oznaczone
20
12 Całki niewłaściwe. Funkcje gamma i beta
22
1 Funkcje
Zestaw 1. Funkcje
Zadanie 1.1. Dla funkcji
1−x
f (x) =
1+x
¡1¢ 1
znaleźć: f (0), f (−x), f (x + 1), f (x) + 1, f x , f (x) .
Zadanie 1.2. Dana jest funkcja
(
f (x) =
2x
dla |x| ≤ 2
2
x − 1 dla |x| > 2
Obliczyć: f (−1), f (0), f (2), f (−8), f (8).
¡ ¡ π ¢¢
Zadanie 1.3. Dane są funkcje f (x) = x3 − x oraz g (x) = sin 2x. Obliczyć: f g 12
, g (f (1)),
g (f (2)), f (f (f (1))).
Zadanie 1.4. Znaleźć: f (f (x)), g (g (x)), f (g (x)), g (f (x)), jeżeli f (x) = x2 oraz g (x) = 2x .
Zadanie 1.5. Wyznaczyć dziedziny funkcji:
x2
x+1
1
c) f (x) = √
2
x − 4x
√
1
e) f (x) = 2 + x − x2 + √
2
x − 3x
2x
g) f (x) = arc cos
1 + x2
a) f (x) =
i) f (x) =
√
3 − x + arc sin
√
4
1 − x2
r
1+x
d) f (x) = (x − 2)
1−x
2x
f) f (x) = arc sin
1+x
x
h) f (x) = 1 + ¡ ¢2
π
− (arc sin x)2
6
b) f (x) =
3 − 2x
5
Zadanie 1.6. Czy funkcje f i g określone następująco:
√
a) f (x) = x2 + 1 i g (z) = z 2 + 1
b) f (x) = x2 i g (z) = z
√
c) f (x) = |x| i g (z) = z 2
d) f (x) = xx i g (z) = 1
e) f (x) = 1 i g (z) = sin2 z + cos2 z
f) f (x) = 1 i g (z) = tg z · ctg z
są równe?
Zadanie 1.7. Dane są funkcje:
A) f (x) = x3
B) f (x) = sin x
C) f (x) =
1
dla x 6= 0
x
Naszkicować wykresy funkcji:
a) x 7→ f (x)
b) x 7→ −f (x)
c) x 7→ f (−x) d) x 7→ f (x) − 1
e) x 7→ f (x + 1)
f) x 7→ f (2 − x) + 1
g) x 7→ |f (x)|
h) x 7→ f (|x|)
1
1 Funkcje
Zadanie 1.8. Odwołując się do wykresów podać zbiory wartości następujących funkcji:
¡
¢2
a) f (x) = x − 12 + 3
b) f (x) = ln (2 − x) + 1 dla x < 2
c) f (x) = |1 − |x − 2|| + 3
d) f (x) = 1 − e2−x
Zadanie 1.9. Na podstawie wykresów podać własności funkcji:
a) f (x) = |x|
b) f (x) = |x| + 1
c) f (x) = |x − 2|
d) f (x) = − |x + 1|
f) f (x) = |4 − x2 |
¡
¢
h) f (x) = (x − 1)2 − 4 i) f (x) = tg x − π2
e) f (x) = 2 − |x + 1|
g) f (x) = x2 − 3x
j) f (x) = −2 sin x
(
x + 1 dla x < 0
m) f (x) =
1 − x2 dla x ≥ 0
k) f (x) = sin 2x
l) f (x) = 2 + sin 2x
Zadanie 1.10. Wyjaśnić, które z poniższych funkcji są parzyste, a które nieparzyste:
2 + x2
x2
a) f (x) = (x − 1)2
√
d) f (x) = 1 + x2
b) f (x) = x |x|
c) f (x) =
e) f (x) = 3x − 3−x
f) f (x) = x log x2
g) f (x) = 1 + cos 2x
h) f (x) = sin2 x
i) f (x) = |sin x|
j) f (x) =
sin x
x3
k) f (x) = sin x3
Zadanie 1.11. Określić funkcje złożone f ◦ f , f ◦ g, g ◦ f , g ◦ g, jeżeli:
√
a) f (x) = x2 , g (x) = 2x b) f (x) = 2 + cos x, g (x) = x
Zadanie 1.12. Z jakich funkcji złożona jest funkcja:
q
1
2 5
a) f (x) = (1 − 3x ) b) f (x) =
c) f (x) = 3 (4 + 3x)2
4
2
(1 − x )
x
d) f (x) = ln 2
e) f (x) = sin 2x
f) f (x) = sin2 x
x +1
Zadanie 1.13. Znaleźć funkcje odwrotne do następujących funkcji i sporządzić wykresy obu funkcji
w jednym układzie współrzędnych:
√
a) f (x) = 3x + 5 b) f (x) = x2 dla x ≤ 1 c) f (x) = 2x + 3
2
2 Funkcje logarytmiczne i wykładnicze
Zestaw 2. Funkcje logarytmiczne i wykładnicze
Zadanie 2.1. Sporządzić wykresy następujących funkcji:
¡ ¢x
¡ ¢x
a) y = 3x b) y = 13
c) y = 2x d) y = 12
Zadanie 2.2. Dokonując odpowiednich przekształceń geometrycznych sporządź wykresy funkcji:
a) y = 2x+3
b) y = 2x−2
c) y = 2x + 1
d) y = 2x + 3
f) y = 2x+2 + 4
g) y = 2x−3 − 2
h) y = −2x−3 + 3
i) y = −2x+2 − 1
Zadanie 2.3. Rozwiąż równania:
a) 2x = 8
b) 3x−2 = 9
e) 4x+5 = 87−2x
f) 4x+2 = 25−3x
g) (0.5)2x−3 = 82−x
√
7
2
2
j) 5x −4x+ 2 = 5 k) 102x −5x+4 = 100
i) 2x
2 +5
= 82x
c) 2x+3 = 16x−1
d)
¡ 2 ¢2x+3
3
e) y = 3 − 2x
=
h) 35x−2 = 9x
l) 2
x2 +6
x
¡ 3 ¢−x+2
2
2
= 32
Zadanie 2.4. Rozwiąż równania:
26
9
a) 2x+2 + 2x = 20
b) 3x+1 − 3x−2 =
c) 7x+1 + 2 · 7x−2 = 345
d) 2x+2 + 3 · 2x − 5 · 2x+1 − 6 = 0
e) 3 · 9x + 9x−1 − 9x−2 = 251
Zadanie 2.5. Rozwiąż równania:
a) 22x+1 − 33 · 2x−1 + 4 = 0
b) 42x+1 − 65 · 4x−1 + 1 = 0
c) 52x−1 + 5x+1 − 250 = 0
d) 72x + 3 · 7x − 689 = 38 · 7x
e) 5 · 2x+1 − 4x − 16 = 0
f) 4x − 10 · 2x−1 − 24 = 0
Odp.: a) x = −2, x = 3, b) x = −1, x = 2, c) x = 2, d) x = 2, e) x = 1, x = 3, f ) x = 3.
Zadanie 2.6. Rozwiąż nierówności:
¡ ¢ 2x−3 ¡ ¢2
2−x
x+3
x−2
b) 3 3x+2 ≥ 13
a) 3 x−1 < 9
c) 2 2x−1 ≥ 0.25 d) 45 x+2 < 1 41
3−x
√
√
¡ ¢ 2x+5
x+3
1−3x
3x−5
x−2 < 2
2x+3
≥
1.6
g)
(0.25)
h)
4
2
≤
(0.5)
e) 7 x+2 ≥ 7 f) 25
64
¢
¡
¢ ­
¢
¡
Odp.: a) x ¡∈ (−∞,¢1) ∪ (5, ∞) , b) x ∈ (−∞,
−2i
∪ − 32 ,¡∞ , c) x ¢∈ −∞, 12¡ ∪ 45 , ∞¢ , d) x ∈
­
¢
1
2
1
4
(−∞, −2)
­ ∪1 − 4 1, ¢∞ , e) x ∈ (−∞, −2) ∪ 2 5 , ∞ , f ) x ∈ −∞, −2 2 , g) x ∈ −∞, − 3 ∪ (2, ∞) ,
h) x ∈ −4 2 , −1 2 .
Zadanie 2.7. Rozwiąż nierówności:
a) 2x+1 + 2x−1 ≤ 20
b) 2x+2 − 2x < 24
c) 5 · 2x+1 − 3 · 2x > 28
d) 3x+2 − 3x ≥ 72
e) 35x−4 + 35x < 82
f) 3x + 3x+1 + 3x+2 ≤ 39
g) 5x + 3 · 5x−2 > 28 h) 2x+1 + 3 · 2x−1 − 5 · 2x + 6 < 0
Odp.: a) x ≤ 3, b) x < 3, c) x > 2, d) x ≥ 2, e) x < 45 , f ) x ≤ 1, g) x > 2, h) x > 2.
3
2 Funkcje logarytmiczne i wykładnicze
Zadanie 2.8. Rozwiąż nierówności:
a) −2x + 4x ≤ 12
b) 2x+1 + 22x < 80
c) 4x > 9 · 2x − 8
¡ ¢2x
¡ ¢x
¡ ¢x
¡ ¢x
− 5 · 12 + 1 ≤ 0 f) 41 > 80 · 12 − 1024
e) 4 · 21
d) 2x+3 + 4 · 4x ≥ 25
Zadanie 2.9. Oblicz: a) log10 1000, b) log2
h) log 3 2 79 .
1
,
64
c) log36 6, d) log 1 32, e) log 1 64, f) log 1 81, g) log 3 53 ,
2
8
3
5
5
Odp.: a) 3, b) −6, c) 0.5, d) −5, e) −2, f ) −4, g) −1, h) −2.
Zadanie 2.10. Naszkicuj wykresy funkcji:
a) y = log2 x
b) y = log2 x + 3
c) y = log2 (x + 2)
d) y = log2 (x + 2) + 3
e) y = log 1 x
f) y = log 1 x − 2
g) y = log 1 (x + 4)
h) y = log 1 (x + 4) − 2
2
2
2
2
Zadanie 2.11. Rozwiąż równania:
a) log3 x = 2
b) log2 x = −3
2
c) log2 (2x − 3) = 3
2
e) log0.5 (3 − 3x ) = 1
f) log3 (x + 2) = 3
g)
3x−5
log8 3x+1
Odp.: a) x = 9, b) x = 18 , c) x = 5 12 , d) 1 12 , e) x = −
x = −2.
q
5
,
6
d) log 1 (5 − 2x) = −1
2
=1
q
x=
h) log0.6
5
,
6
2x−1
x−1
= −1
f ) x = −5, x = 5, g) x = − 13
, h)
21
Zadanie 2.12. Rozwiąż równania:
a) log4 (2x − 6) + log4 (3x − 11) = 2
b) log (x + 3) − log (x − 1) = log 5
c) log 1 (x + 7) − log 1 (x − 5) = log 1 3
d) log25 (x + 2) − log25 (x − 2) =
e) 2 log (x + 1) − log (x + 7) = log (x − 2)
f) 2 log21 x − 9 log 1 x + 4 = 0
2
2
2
g) log 1 x − log 1 (x + 1) − log 1 (x + 2) + log 1 (x + 4) = 0
2
i)
1
12
2
log2 x =
1
3
2
2
2
2
h)
log22
1
2
x − 2 log2 x3 + 5 = 0
− 14 log x
Odp.: a) x = 5, b) x = 2, c) x = 11, d) x = 3, e) x = 5, f ) x =
x = 32, i) x = 0.0001, x = 10.
√
2
,
2
x=
1
,
16
g) x = 2, h) x = 2,
Zadanie 2.13. Rozwiąż nierówności:
a) log2 x > 4
e) log 1
2
2+x
1−x
b) log 2 (x − 2) < 2
3
c) log0.5 (2x − 3) ≤ −2
d) log2
7−x
2x+1
<2
≥ 0 f) log (x2 + 7x + 20) > 1 g) log 2 (x2 − 2x + 1) ≥ 0
3
¡
¢
­
¢
¡ ¢
¡
®
Odp.: a) x > 16, b) x ∈ 2 94 , ∞ , c) x ∈ 3 12 , ∞ , d) x ∈ 13 , 7 , e) x ∈ −2, − 21 , f ) x ∈
(−∞, −5) ∪ (−2, ∞) , g) x ∈ h0, 1) ∪ (1, 2i .
Zadanie 2.14. Rozwiąż nierówności:
4
2 Funkcje logarytmiczne i wykładnicze
a) log3 (x2 + 2) − log3 (x + 1) < 1
b) log 1 (x − 1) + log 1 (5x + 3) ≤ 2
c) log21 (x + 2) + log 1 (x + 2) − 2 ≥ 0
d) 2 log24
2
2
³
Odp.: a) x ∈
h8, ∞) .
3
√
√ ´
−3− 13 3+ 13
,
,
2
2
³
b) x ∈
´
√
1+ 16
,
∞
,
5
3
x+4
x−5
+ log4
x−5
x+4
≤1
¡
¢
c) x ∈ −2, −1 21 ∪ (2, ∞) , d) x ∈ (−∞, −13i ∪
Zadanie 2.15. Wyznaczyć dziedziny funkcji:
1
√
1
+ x+2
log (1 − x)
a) f (x) = e x2 −x−2
b) f (x) =
c) f (x) = log |x|
d) f (x) = log (sin x)
e) f (x) = ln (ex − e)
f) f (x) = logx 2
g) f (x) = arc sin (1 − x) + log (log x)
Zadanie 2.16. Na podstawie wykresów podać własności funkcji:
a) f (x) = 2x+1
¡ ¢x
d) f (x) = 1 − 23
b) f (x) = 2x − 2
c) f (x) = 3x−2 − 1
e) f (x) = log3 (x + 2)
f) f (x) = log 1 (−x) + 1
2
Zadanie 2.17. Znaleźć funkcje odwrotne do następujących funkcji i sporządzić wykresy obu funkcji
w jednym układzie współrzędnych:
a) f (x) = 3x+2 − 1
b) f (x) = log2 (x + 3)
c) f (x) = 1 + log 1 x
2
5
3 Elementy logiki i teorii mnogości
Zestaw 3. Elementy logiki i teorii mnogości
Zadanie 3.1. Dla podanych zbiorów A i B wyznaczyć A ∪ B, A ∩ B, A \ B. Wyniki zaznaczyć na osi
liczbowej.
½
¾
3x3
4x + 16
a) A = x ∈ R : 2
−
=0
B = {x ∈ R : |x − 1| + |x − 5| > 8}
x −1
x+1
(
)
r
©
ª
√
1
b) A = x ∈ R : 3 log x + 2 log
=2
B = x ∈ R : log2 (x − 1) − 2 log (x − 1) > 0
x
©
ª
√
√
c) A = {x ∈ R : ||x + 1| + 2| = 2} B = x ∈ R : x + 1 − x − 1 = 1
n
o
¡ ¢ 1−x
d) A = {x ∈ R : |x − 3| + |x + 4| = 9} B = x ∈ R : 12 |x| ≤ 1
e) A = {x ∈ R : cos 3x = cos x} B = {x ∈ R : cos2 2x = 1}
f) A = {x ∈ R : 3 sin x = 2 cos2 x} B = {x ∈ R : sin x − cos 2x = 0}
½
¾
½
¾
1
1+x
g) A = x ∈ R : x <
B= x∈R:
>1
x
1−x
½
¾
x2 + 1
x2
h) A = x ∈ R :
>
B = {x ∈ R : |x + 2| > 3}
x
x+1
(
)
(x + 3)2 (x2 + x + 1)
i) A = x ∈ R :
≥0
B = {x ∈ R : |x − 1| ≤ 5}
(4 − x) x
©
ª
j) A = x ∈ R : logx−2 (x − 1) > 1
B = {x ∈ R : |2x − 1| < |x + 3|}
Zadanie 3.2. Ocenić wartość logiczną każdego ze zdań, a następnie napisać jego negację:
^
^
_
x2
x+2
1
1
a)
x = 2x
b)
≥
c)
≥
x+1
x+1
x+1
x+2
x∈R
x∈N
x∈N
d)
^
x∈N
g)
^
x∈R
j)
3x + 1
≥0
2x + 1
e)
_
x∈R
_
|x + 1|
≥
0
h)
x2 + 1
m∈N
^ _
x≤y
x∈C− y∈N
k)
−2x2 + x − 4
≤0
−3x2 − 2
_
m2 + n2 = 10
n∈N
_
^
y∈N
x∈C−
f)
_
x∈C
i)
2x2 − 4x + 2
≤0
−2x2 − 3
^
_
x∈R
y∈R+
y = x2 − 4
x≤y
Zadanie 3.3. W prostokątnym układzie współrzędnych zaznaczyć zbiory A × B oraz B × A, jeśli:
a) A = {x ∈ R : x = 1, 2, . . .} B = {y ∈ R : y = 0}
6
3 Elementy logiki i teorii mnogości
b) A = {y ∈ R : y ≤ 2} B = {x ∈ R : x > 2}
c) A = {x ∈ R : |x − 2| > 3} B = {y ∈ R : |y + 2| ≤ 3}
½
¾
x2 − 2x + 1
d) A = x ∈ R :
≥0
B = {y ∈ R : 0 < |y| < 3}
4x − x2
½
¾
16 − x2
e) A = {y ∈ R : 1 < |y| < 5} B = x ∈ R : 3
x + 27
½
¾
2y − 1
2
f) A = {x ∈ C : log2 (x − 1) < 3} B = y ∈ R :
<1
y+1
g) A = {x ∈ C : log2 (x + 1) + log2 (x − 1) < 3} B = (−1, 2)
½
¾
o
n
x3 − x2 − 4x + 4
B= x∈R:
h) A = t ∈ R : log 1 (− |1 − t| + 4) < −1
≤0
3
x−1
Zadanie 3.4. W prostokątnym układzie współrzędnych zaznaczyć zbiory punktów:
A = {(x, y) : 2x − y − 2 > 0}
B = {(x, y) : x + 3y + 6 ≤ 0}
C = {(x, y) : x − 2y < 0}
D = {(x, y) : x − y ≥ 4 ∧ 2x − y < 6}
E = {(x, y) : 2x + y ≥ 2 ∧ 4x + 2y ≤ 12}
F = {(x, y) : x + 2y > 0 ∧ x < −2}
G = {(x, y) : |x| − 1 < y}
I = {(x, y) : y ≤ 3 − |x − 2|}
H = {(x, y) : |y − 1| + x > 3}
©
ª
J = (x, y) : 21 x + |y − 2| ≤ 2
K = {(x, y) : |y − 1| − 2 < 3x}
L = {(x, y) : |x − 1| < y}
M = {(x, y) : |x| − |y − 2| ≤ 2}
N = {(x, y) : |2x + 4| − |y| = 4}
O = {(x, y) : |x| + |y| ≤ 4}
P = {(x, y) : |y − 3| < 2}
Q = {(x, y) : |1 − x| ≥ 3}
R = {(x, y) : |x − 3| ≥ 2}
S = {(x, y) : |y + 1| < 3}
T = {(x, y) : x2 − y 2 ≤ 0}
Zadanie 3.5. Zaznaczyć w prostokątnym układzie współrzędnych sumę, iloczyn i różnicę zbiorów A
i B:
a) A = {(x, y) : |x + 2| < 4}
B = {(x, y) : |x − 1| + y ≥ 3}
b) A = {(x, y) : x2 + y 2 − 2x − 4y ≤ 0}
c) A = {(x, y) : |x| + x = y + |y|}
B = {(x, y) : x − 4y ≥ 0}
B = {(x, y) : |x| + |y| ≤ 1} .
7
4 Ciąg i granica ciągu
Zestaw 4. Ciąg i granica ciągu
Zadanie 4.1. Napisać pięć pierwszych wyrazów ciągu (an ) określonego następująco:
(−1)n 1 + (−1)n
(−1)n
a) an = 2
b) an = n
c) an =
+
n
2
3
d) an = (−1)n+1 ·
e) an = −n (2 + (−1)n ) f) an = sin nπ
2
n+1
n
g) an = (−1)n + sin nπ
h) an = 1 + n sin nπ
i) an = 1 +
cos nπ
2
2
2
n+1
Zadanie 4.2. Podaj wzór na n − ty wyraz ciągu (an ) , jeśli:
a) (an ) = (4, 1, −2, −5, −8, . . .)
b) (an ) = (180, 90, 45, 22.5, 11.25, . . .)
c) (an ) = (10, −17, 24, −31, 38, . . .) d) a1 = 100, an = an−1 − 10 dla n > 1
e) a1 = 10, an = 2an−1 dla n > 1
Odp.: a) an = 7 − 3n, b) an =
f ) an = 21 (3n − 1) .
360
,
2n
f) a1 = 1, an = an−1 + 3n−1 dla n > 1
c) an = (−1)n (3 + 7n) , d) an = 110 − 10n, e) an = 5 · 2n ,
Zadanie 4.3. Obliczyć piąty wyraz ciągu (an ) , jeśli suma jego n pierwszych wyrazów wynosi 4n2 −3n.
Odp.: a5 = s5 − s4 = 33.
Zadanie 4.4. Zbadać monotoniczność ciągów:
1
n−1
a) an =
b) an =
c) an = n2 − 8n + 15
n+1
3n + 1
n2
n+1
d) an =
e) an = −n2 + 3n − 2 f) an = 2
n+2
n +3
Odp.: a) malejący, b) rosnący, c) brak monotoniczności, d) rosnący, e) nierosnący, f ) malejący.
Zadanie 4.5. Obliczyć następujące granice (o ile istnieją):
a) lim (n2 + 5n − 6)
n→∞
3
6n − 1
3
n→∞ 3n + 2n − 4
n−1
g) lim 2
n→∞ n + 2n − 1
µ
¶3
2n + 3
j) lim
n→∞
n+1
d) lim
1 − 2n
√
n→∞ 2 +
n
r
9n2 + 4n
p) lim
n→∞
n2 + 3
¡√
¢
s) lim
4n2 + 9n − 2 − 2n
m) lim
n→∞
1
v) lim 2 n
n→∞
b) lim (−2n7 + 3n2 − 4)
n→∞
n2 − 2
n→∞
n
n3 + 2n − 1
h) lim
n→∞
n4 + n
e) lim
1 + 2 + 3 + ... + n
n→∞
(3n − 1)2
√
2+ n
n) lim
n→∞ 1 − 2n
k) lim
q) lim
n→∞
t) lim
n→∞
¡√
¡√
3
2n − 1 −
¢
n3 + 5 − n
n−1
4
−5
2n
n→∞ 2
−7
w) lim
√
¢
n−7
n2 + 3n
n→∞ n2 − 1
−3n3 + 1
f) lim
n→∞ n2 + 4
(1 − 2n)3
i) lim
n→∞ (2n + 3)2 (1 − 7n)
c) lim
2 + 4 + 6 + . . . + 2n
n→∞
(1 − 9n2 )
√ 2
(3 − n)
o) lim
n→∞
5 + 4n
l) lim
√
¡
¢
r) lim 3n − 9n2 + 1
n→∞
n
u) lim e n+1
n→∞
2n+1 − 3n+2
n→∞
3n+2
x) lim
8
4 Ciąg i granica ciągu
y) lim
√
n
n→∞
2n + 3n
sin n
n→∞ n + 1
µ
¶n
n−1
ae) lim
n→∞
n+2
µ 2
¶ n2
n +9
ah) lim
n→∞
n2
ab) lim
z) lim
n→∞
√
n
4n2 + n + 5
aa) lim
n→∞
q¡ ¢
1 n
n
√
3
2
+
¡ 2 ¢n
3
+
¡ 3 ¢n
5
n2 sin n
n
sin
(3n
+
1)
ad)
lim
n→∞ n2 + 1
n→∞
n+1
µ
¶n+1
µ
¶2n
2
n+4
af) lim 1 +
ag) lim
n→∞
n→∞
n+1
n
¶
µ
1
1
1
ai) lim √
+√
+ ... + √
n→∞
n2 + 1
n2 + 2
n2 + n
ac) lim
Odp.: a) ∞, b) −∞, c) 1, d) 2, e) ∞, f ) −∞, g) 0, h) 0, i) 72 , j) 8, k) 0, l) 0, m) −∞, n) 0, o) 41 , p)
3, q) ∞, r) 0, s) 94 , t) 0, u) e, v) 1, w) 14 , x) − 21 , y) 3, z) 1, aa) 23 , ab) 0, ac) 0, ad) 0, ae) e−3 , af ) e2 ,
ag) e8 , ah) e9 , ai) 1.
Zadanie 4.6. Zbadaj ograniczoność ciągów z zadania 4.4.
Zadanie 4.7. Podać wzór na procent składany. W którym banku należy złożyć roczną lokatę terminową, jeśli w Banku I dopisuje się 21% co pół roku, natomiast w Banku II dopisuje się 10% co
kwartał?
Zadanie 4.8. Załóżmy, że fundusz wyjściowy 40 000 zł podlega przez 5 lat oprocentowaniu prostemu,
a roczna stopa procentowa wynosi 8%. Jakiego kapitału można się spodziewać po upływie tego okresu?
Jaki byłby kapitał w przypadku oprocentowania składanego?
Zadanie 4.9. Niech roczna stopa procentowa wynosi 5%. Po ilu latach odsetki od kapitału wyjściowego 4000 zł w oprocentowaniu prostym wyniosą 1000 zł?
Zadanie 4.10. Odsetki od kapitału wyjściowego 5400 zł oprocentowanego w systemie prostym przez
9 miesięcy wynoszą 360 zł. Wyznaczyć roczną stopę procentową.
Zadanie 4.11. Niech roczna stopa procentowa wynosi 10%. Po ilu latach kapitał początkowy potroi
się, jeśli oprocentowanie jest:
a) proste,
b) składane?
Zadanie 4.12. (1 ) Do pewnego banku wpłacono 12 000 zł na 3 lata. Jak duże odsetki wypłaci bank po
tym okresie, jeśli stopa procentowa w pierwszym roku wynosiła 18%, natomiast w latach następnych
została zmniejszona do 15%?
Zadanie 4.13. Pewien starszy pan otrzymał spadek w wysokości 20 000 zł i zdeponował go w banku.
Po 12 latach zgromadzony w banku kapitał, ów pan podarował wnuczce. Jaki duży posag otrzymała
wnuczka, jeśli stopa procentowa w banku była zmienna i wynosiła w pierwszych czterech latach 18%,
w następnych pięciu latach 15%, a przez ostatnie trzy lata była na poziomie 10%?
1
W zadaniach 4.12 – 4.13 przyjmujemy, że kapitał podlega oprocentowaniu składanemu.
9
5 Granica i ciągłość funkcji
Zestaw 5. Granica i ciągłość funkcji
Zadanie 5.1. Oblicz granice:
x2 + 1
x→3 x2 − 1
a) lim (x2 + 5x − 6)
b) lim
x→1
√
c) lim x x2 + 5
x→2
x2 cos x
x→0
3x
d) lim
Odp.: a) 0, b) 45 , c) 6, d) 0.
Zadanie 5.2. Oblicz granice:
x2 + 1
x→−∞ x5 + x
x+1
d) lim 2
x→∞ x − 1
2x2 + 3x − 7
x→∞ x2 + 4x − 2
x3 + 5x
e) lim
x→∞ x − 1
x3 − 2x2
x→−∞ 5x3 + x2 − x + 2
x2 − 1
f) lim
x→−∞ x + 1
a) lim
b) lim
g) lim (x4 + 2x2 + 3)
h) lim (−2x3 + 5x − 7) i) lim (x4 + 5x − 6)
j) lim (−2x6 + 5x − 4)
k) lim (x3 + 2x − 7)
x→∞
x→∞
x→−∞
c) lim
x→−∞
x→−∞
l) lim (−2x5 + 6x4 − 3x + 7)
x→−∞
Odp.: a) 0, b) 2, c) 15 , d) 0, e) ∞, f ) −∞, g) ∞, h) −∞, i) ∞, j) −∞, k) −∞, l) ∞.
Zadanie 5.3. Oblicz granice:
x2 + 3x − 16
x→2
x−2
a) lim
x2 − x − 2
x→−1
x+1
x2 − 2x − 3
x→3
3−x
b) lim
c) lim
x2 + 3x − 4
x→−4 x2 + 5x + 4
d) lim
Odp.: a) ∞, −∞, b) −3, −3, c) −4, −4, d) 35 .
Zadanie 5.4. Obliczyć granice jednostronne funkcji f w punkcie x0 , jeśli:
1
1
1
a) f (x) =
, x0 = 3 b) f (x) =
, x0 = 3 c) f (x) =
, x0 = 3
x−3
3−x
(3 − x)2
1
x+1
1
d) f (x) =
, x0 = 1 e) f (x) = 2
, x0 = 2 f) f (x) = 2 x−1 , x0 = 1
x−1
x −4
1
1
x
g) f (x) = 4 x2 −4 , x0 = 2 h) f (x) = e 4−x2 , x0 = −2 i) f (x) =
1 , x0 = 0
1 + ex
W każdym z przypadków rozstrzygnij, czy istnieje granica jednostronna.
Odp.: a) ∞, −∞, b) ∞, −∞, c) ∞, ∞, d) −∞, ∞, e) −∞, ∞, f ) 0, ∞, g) 0, ∞, h) 0, ∞, i) 0, 0.
Zadanie 5.5. Oblicz granice:
x+1
x→2 x − 2
x2 + x
e) lim
x→2 2 − x
a) lim
x+1
2
x→1 x + 2x − 3
i) lim
x2 + 4x + 3
x→1
x−1
2
x −1
f) lim
x→4 4 − x
b) lim
x2 − 2x − 3
x→−2
x2 + 2x
j) lim
x2 + 2x − 3
x→−2
x+2
2
x −x−6
g) lim
x→1
1−x
c) lim
x+3
2
x→3 −x + 2x + 3
k) lim
x2 − 5x
x→3 x + 3
x2 − x − 2
h) lim1
1 − 2x
x→ 2
d) lim
x2 + 3x − 10
x→−1 −x2 − 5x − 4
l) lim
Odp.: a) ∞, b) −∞, ∞, c) ∞, −∞, d) −1, e) ∞, −∞, f ) ∞, −∞, g) −∞, ∞, h) −∞, ∞, i) −∞,
∞, j) ∞, −∞, k) ∞, −∞, l) −∞, ∞.
10
5 Granica i ciągłość funkcji
Zadanie 5.6. Obliczyć następujące granice (o ile istnieją):
√
8x3 − 1
(x − 1) 2 − x
b)
lim
a) lim
2
x→1
x2 − 1
x→ 12 6x − 5x + 1
√
√
√
1 + 2x − 3
x + 13 − 2 x + 1
d) lim √
e) lim
x→4
x→3
x2 − 9
x−2
cos x
x→ 2 π − 2x
√
¢
¡√
1 + x + x2 − 1 − x + x2
j) lim
1 − cos x
x→0
x2
¡√
¢
√
k) lim
x+3− x+1
x→∞
µ
¶x+1
2x + 3
n) lim
x→∞
2x + 1
g) limπ
h) lim
x→∞
m) lim x ctg 3x,
x→0
√
p) lim
x→0
cos x − 1
x2
q) limπ
x→ 4
cos x − sin x
cos 2x
µ
c) lim
x→1
1
3
−
1 − x 1 − x3
¶
sin 5x
sin 3x
µ 2
¶x2
x +1
i) lim
x→∞
x2 − 2
f) lim
x→0
l) lim x sin x1
x→∞
µ
¶2x−5
3x − 1
o) lim
x→∞
2x + 1
sin 5x − sin 3x
x→0
sin x
r) lim
1
Odp.:
a) 12 , b) 6, c) −1, d) 43 , e) − 16
, f ) 53 , g) 12 , h) 12 , i) e3 , j) 1, k) 0, l) 1, m) 31 , n) e, o) ∞, p) − 41 ,
√
q) 22 r) 2.
Zadanie 5.7. Obliczając granice jednostronne zbadać, czy istnieją granice:
x+1
x→1 x − 1
a) lim
|x − 1|3
x→1 x3 − x2
b) lim x [x]
1
c) lim
x→0
d) lim e 1−x2
x→1
Zadanie 5.8. Zbadać ciągłość funkcji f i podać rodzaje nieciągłości, jeżeli:
(
a) f (x) =
2x + 3
dla x ≤ 0
(x − 2)2 dla x > 0
(
d) f (x) =
sin x
x
dla x 6= 0
0
dla x = 0
(
b) f (x) =
x − 1 dla x < 0
3x
(
e) f (x) =
dla x ≥ 0
cos x1 dla x 6= 0
0
dla x = 0
(
c) f (x) =
0
(
f) f (x) =
x
e 1−x dla x 6= 1
dla x = 1
arc tg x1 dla x 6= 0
0
dla x = 0
Zadanie 5.9. Sprawdzić, czy można dobrać wartości parametrów a i b tak, aby funkcja f : R → R
była ciągła, jeżeli:
(
a) f (x) =
(x − a)


(
dla x ≤ 0
2



c) f (x) =
2x + 8
b) f (x) =
dla x > 0
−a
x
dla
2x + 3
2
x ≤ −1
dla −1 < x ≤ 1
b (x − 2) + 3 dla
x>1
cos πx
2
dla x ≤ 1
a |x − 1| dla x > 1

1

 2 + e x dla x < 0
sin ax
d) f (x) =
dla x > 0
3x


b
dla x = 0
11
6 Pochodna funkcji. Reguła de l’Hospitala
Zestaw 6. Pochodna funkcji. Reguła de l’Hospitala
Zadanie 6.1. Obliczyć pochodne następujących funkcji:
1) f (x) = 3
2) f (x) = x4 + 3x2 −
√
4) f (x) = 2 x − 3 ln x + 1
5) f (x) = 10x
1
x
+
√
x
6) f (x) = log3 x
7) f (x) = sin x + cos x
8) f (x) = arc sin x + arc cos x
√
10) f (x) = x2 ex
11) f (x) = x cos x
µ
¶
√
1
1
3
13) f (x) = ( x + 1)( √ − 1) 14) f (x) = x + 2 ex
x
x
16) f (x) = x arc sin x
2
−1
sin x − cos x
f (x) =
sin x + cos x
µ
¶5
1 + x2
f (x) =
1+x
µ
¶3
sin x
f (x) =
1 + cos x
√
1− x
√
f (x) = cos
1+ x
19) f (x) =
22)
25)
28)
31)
x3
34) f (x) = sin 2x cos2 x
√
4x2 + 2
37) f (x) =
3x4
3) f (x) = 2x3 − x2
9) f (x) = x + arc tg x
12) f (x) = x3 sin x
15) f (x) = x ln x
x2 − 1
x2 + 1
ln x
21) f (x) =
1 + x2
5x − 1
3 − 2x
x
20) f (x) = x
4
sin x
23) f (x) = 4
x +4
18) f (x) =
17) f (x) =
24) f (x) = (2x3 − 1)5
q
2 −3x−4)
1−x
1+x
26) f (x) = e(x
27) f (x) =
29) f (x) = arc sin x2
30) f (x) = arc tg
32) f (x) = cos3 4x
2x
1 − x2
√
33) f (x) = ln(ex + 1 + ex )
√
35) f (x) = x 1 + x2
36) f (x) = (2x + 1) 22x+1
√
4
38) f (x) = (1 +
Odp.: 1) f 0 (x) = 0, 2) f 0 (x) = 4x3 + 6x +
1
√
2 x
+
√
x) tg ( x)
1
,
x2
39) f (x) = arc sin
√
4
1 − 5x
3) f 0 (x) = 6x2 − 2x, 4) f 0 (x) =
√1 − 3 ,
x
x
2+x2
, 10)
1+x2
0
5) f 0 (x) = 10x ln 10, 6) f 0 (x) = x ln1 3 , 7) f 0 (x) = cos x − sin x, 8) f 0 (x) = 0, 9) f 0 (x) =
√
f 0 (x) = 2xex + x2 ex , 11) f 0 (x) = 2√1 x cos x − x sin x, 12) f 0 (x) = 3x2 sin x + x3 cos x, 13) f (x) =
¡
¢
x
− 2√1 x − 13 , 14) f 0 (x) = x3 + 3x2 + x12 − x23 ex , 15) f 0 (x) = ln x + 1, 16) f 0 (x) = arc sin x + √1−x
2,
2x 2
17) f 0 (x) =
1
+x−2x ln x
x
(1+x2 )2
13
,
(2x−3)2
18) f 0 (x) =
4x
,
(x2 +1)2
2
, 23) f 0 (x) =
2 sin x cos x+1
(x2 +4)2
2
4
+2x−1
0
x2 ) x(x+1)
6 , 26) f (x) = (2x − 3) exp ((x + 1) (x
, 22) f 0 (x) =
25) f 0 (x) = 5 (1 +
−6x2
, 20) f 0 (x)
(x3 −1)2
cos x(x2 +4)−2x sin x
19) f 0 (x) =
cos x−1
28) f 0 (x) = −3 (cos
, 29) f 0 (x) =
x+1)2
=
1
4x
− x ln4x4 , 21) f 0 (x) =
4
, 24) f 0 (x) = 30 (2x3 − 1) x2 ,
− 4)) , 27) f 0 (x) = − q
1
− x−1
(x+1)2
x+1
,
√
1− x
1
√
,
1+ x (1+√x)2 √x
√ 1
,
4−x2
2
0
30) f 0 (x) = 1+x
32)
2 , 31) f (x) = sin
³
´
ex
, 34) f 0 (x) = 8 cos4 x − 6 cos2 x,
f 0 (x) = −12 cos2 4x sin 4x, 33) f 0 (x) = ex +√11+ex ex + 21 √1+e
x
√
2
3x2 +2
35) f 0 (x) = x2 + 1 + √xx2 +1 , 36) f 0 (x) = 4x+1 (1 + 2x ln 2 + ln 2) , 37) f 0 (x) = − 34 √4x
2 +2x5 , 38)
√
√
√
√
4
2 √x
1+tg
1−5x
5
1
1
1 4x
0
0
.
f (x) = 4 x tg x + (1 + 4 x) 2 √x , 39) f (x) = − 4 √ √
1−5x
1− 1−5x
Zadanie 6.2. Obliczyć pochodne f 0 , f 00 , f 000 dla podanych funkcji:
12
6 Pochodna funkcji. Reguła de l’Hospitala
a) f (x) = x ln x
b) f (x) = (x2 + x + 1) cos x
c) f (x) =
√
x2 + 1
Odp.: a) ln x + 1, x1 , − x12 , b) 2 (cos x) x + cos x − (sin x) x2 − (sin x) x − sin x, cos x − 4 (sin x) x −
1
1
2 sin x − (cos x) x2 − (cos x) x, −5 sin x − 6 (cos x) x − 3 cos x + (sin x) x2 + (sin x) x c) √1+x
3 ,
2 x,
2
−3
x
5
(1+x2 ) 2
(1+x ) 2
.
Zadanie 6.3. Sprawdzić, że funkcja y spełnia warunek:
a) y = ex sin x, y 00 − 2y 0 + 2y = 0
b) y = ln2 x − 2 ln x,
1
2
y 00 + y 0 − 2 = 0
x
x
Odp.: a) tak, b) nie.
Zadanie 6.4. Korzystając z reguły de l’Hospitala obliczyć podane granice:
³ 1
´
x3 − 1
x
a) lim 2
b) lim+ x ln x
c) lim x e − 1
x→1 x − 1
x→−∞
x→0
ex − x − 1
ln (1 + x)
ln x − 1
d) lim
e) lim
f) lim
2
x→0
x→0
x→e x − e
x
x
1 − cos x
sin x
sin x
g) lim
h) lim
i) lim
2
x→0
x→0
x→0
x
x
x cos x
ex
ln x
ln x
j) lim
k) lim
l) lim √
x→+∞ x
x→+∞ x
x→+∞
x
µ
¶
x
1
m) lim+
−
n) lim+ xsin x
o) lim
(sin x)tg x
x→1
x→0
x − 1 ln x
x→ π2 −
Odp.: a) 32 , b) 0, c) 1, d) 21 , e) 1, f )
1
e
g) 12 , h) 1, i) 1, j) ∞, k) 0, l) 0, m) 12 , n) 1, o) 1.
13
7 Zastosowania pochodnej
Zestaw 7. Zastosowania pochodnej
Zadanie 7.1. Znaleźć asymptoty wykresów następujących funkcji:
1
x2
x
a) f (x) =
b) f (x) =
c) f (x) = 2
2
1−x
2x + 3
x +1
3
2
√
x +x
x−3
d) f (x) = 2
e) f (x) = √
f) f (x) = 1 + x2 + 2x
x −4
x2 − 9
√
1 + x2
sin x
g) f (x) =
h) f (x) =
i) f (x) = x2 e−x
x
x
Odp.: a) y = 0, x = 1, x = −1, b) x = − 32 , y = 12 x − 34 , c) y = 0, d) x = 2, x = −2, y = x + 1, e)
y = 1, y = −1 (w −∞), f ) y = 3x, g) x = 0, y = 1 (w ∞), y = −1 (w −∞), h) y = 0, i) y = 0 (w
∞).
Zadanie 7.2. Wyznaczyć ekstrema funkcji:
a) f (x) = 2x3 − 15x2 + 36x − 14
d) f (x) =
(1 − x)2
2x
b) f (x) = x4 + 4x − 2
e) f (x) = x −
√
x
c) f (x) =
x2
x
+4
f) f (x) = ex + e−x
Odp.: a) fmax (2) = 13, fmin (3) = 14, b) fmin (−1) = −5, c) fmin (−2) = − 41 , fmax (2) =
fmax (−1) = −2, fmin (1) = 0, e) fmin ( 41 ) = 14 , f ) fmin (0) = 2.
1
,
4
d)
Zadanie 7.3. Wyznaczyć przedziały monotoniczności następujących funkcji:
a) f (x) = xe−3x
b) f (x) = x − ln(1 + x)
c) f (x) = (x2 − 3) e−x
¡
¢
¡
¢
Odp.: a) f % dla x ∈ −∞, − 31 , f & dla x ∈ − 13 , ∞ , b) f % dla x ∈ (−∞, −1) oraz dla
x ∈ (0, ∞) , f & dla x ∈ (−1, 0) , c) f % dla x ∈ (−1, 3) , f & dla x ∈ (−∞, −1) oraz dla
x ∈ (3, ∞) .
Zadanie 7.4. Znaleźć największe i najmniejsze wartości funkcji na wskazanych przedziałach:
a) f (x) = x2 − 2x + 3, x ∈ [−2, 5]
√
c) f (x) = x − 2 x, x ∈ [0, 5]
£
¤
e) f (x) = 2 sin x + sin 2x, x ∈ 0, 23 π
b) f (x) = 2x3 − 3x2 − 36x − 8, x ∈ [−3, 6]
d) f (x) = x2 ln x, x ∈ [1, e]
Odp.: a) fnajw. (5)√= 18, fnajmn. (1) = 2, b) fnajmn. (3) = −89, fnajw. (6) = 100,
√ (1) = −1,
¡ π ¢c) fnajmn.
3
2
fnajw. (5) = 5 − 2 5 ≈ 0.52786, d) fnajmn. (1) = 0, fnajw. (e) = e , e) fnajw. 3 = 2 3 ≈ 2.598 1,
fnajmn. (1) = −2.
Zadanie 7.5. Wyznaczyć punkty przegięcia, przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji:
x2 − 5x + 6
c) (x) = x + sin 2x
a) f (x) = x4 − 12x3 + 48x2
b) f (x) =
x+1
ln x
x4 x3
−x
d) f (x) = xe
e) f (x) =
f) f (x) =
−
+ x2
x
12
3
Odp.: a) f wypukła dla x ∈ (−∞, 2) , x ∈ (4, ∞) , f wklęsła dla x ∈ (2, 4) , x = 2, x = 4 punkty
przegięcia, a) f wypukła
x ∈¢ (−1, ∞) , f wklęsła dla x ∈ (−∞,
brak
c)
¡ π dla
¡ π −1),
¢ punktów przegięcia,
π
π
π
π
π
f wypukła dla x ∈ k 2 , k 2 + 2 : k ∈ Z, f wklęsła dla x ∈ k 2 − 2 , k 2 : k ∈ Z, x = k 2 punkt
przegięcia, d) f wypukła
wklęsła
´ dla x ∈ (2, ∞) , f ³
´ dla x ∈3 (−∞, 2) , x = 2 punkt przegięcia, e) f
³ 3
3
wypukła dla x ∈ e 2 , ∞ , f wklęsła dla x ∈ 0, e 2 , x = e 2 punkt przegięcia, f ) f stale wypukła.
14
8 Badanie przebiegu zmienności wybranych funkcji
Zestaw 8. Badanie przebiegu zmienności wybranych funkcji
Zadanie 8.1. Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres następujących funkcji
a) f (x) = a ·
x
, x > 0, a, b > 0
x+b
(funkcja Törnquista I rodzaju - krzywa popytu na dobra podstawowe)
b) f (x) = a ·
x−b
, x > b, a, b, c > 0
x+c
(funkcja Törnquista II rodzaju - krzywa popytu na dobra wyższego rzędu)
c) f (x) = ax ·
x−b
, x > b, a, b, c > 0
x+c
(funkcja Törnquista II rodzaju - krzywa popytu na dobra luksusowe)
d) f (t) =
a
, t > 0, a, c > 0, b > 1
1 + be−ct
krzywa logistyczna – krzywa popytu na pewne dobro w zależności od czasu, który upłynął od
wprowadzenia go do sprzedaży
1
x2
e) f (x) = √ e− 2 , x ∈ R
2π
krzywa rozkładu normalnego Gaussa.
15
9 Zastosowania rachunku różniczkowego w ekonomii
Zestaw 9. Zastosowania rachunku różniczkowego w ekonomii
Zadanie 9.1. A baseball team plays in a stadium that holds 55 000 spectators. With tickets prices
at $10, the average attendance has been 27 000. When ticket prices were lowered to $8, the average
attendance rose to 33 000.
a) Find the demand function, assuming that it is linear,
b) how should tickets prices be set to maximize revenue?
Zadanie 9.2. During the summer months Terry makes and sells necklaces on the beach. Last summer
he sold the necklaces for $10 and his sales averaged 20 per day. When he increased the price by $1,
he found that he lost two sales per day.
a) Find the demand function, assuming that it is linear,
b) if the material for each necklace costs Terry $6, what should the selling price be to maximize
profits?
Zadanie 9.3. A manufacturer has been selling 1000 television sets a week at $450 each. A market
survey indicates that for each $10 rebate offered to the buyer, the number of sets sold will increase by
100 per weak.
a) Find the demand function,
b) how large a rebate should the company offer the buyer in order to maximize its revenue?
c) if its weekly cost function is C(x) = 68 000 + 150x, how should it set the rise of the rebate in
order to maximize its profits?
Zadanie 9.4. The manager of a 100−units apartment complex knows from experience that all units
will be occupied if the rent is $400 per month. A market survey suggests that, on the average, one
additional unit will remain vacant for each $5 increase in rent. What rent should the manager charge
to maximize revenue?
Zadanie 9.5. Koszt produkcji x jednostek towaru, 50 ≤ x ≤ 200, wynosi k(x) = 60x − 0.25x3/2 + 80
zł. Natomiast utarg wynosi u(x) = 70x − 0.03x2 zł. Podać funkcje: kkr (x) kosztu krańcowego, ukr (x)
utargu krańcowego oraz zkr (x) zysku krańcowego. Ile wynosi koszt krańcowy, utarg krańcowy oraz
zysk krańcowy dla x = 100?
√
Odp.: kkr (x) = 60−0.375 x, ukr (x) = 70−0.06x, kkr (100) = 56.25, ukr (100) = 64, zkr (100) = 7.75.
Zadanie 9.6. Przy produkcji i sprzedaży x jednostek towaru, 50 ≤ x ≤ 100, zysk firmy wynosi
f (x) = 144x − x2 − 400 zł (144 zł to bezpośredni zysk na każdej jednostce, lecz koszty reklamy i koszty
stałe powodują stratę x2 + 400 zł ). Firma produkuje obecnie x = 70 jednostek towaru i na każdej
jednostce ma zysk f (70)/70 = 4780/70 ≈ 68.29 zł. Czy opłaca się jej zwiększyć produkcję? Ile wynosi
wartość krańcowa zysku dla x = 70? Wyznaczyć funkcję krańcową zysku.
Odp.: fkr (x) = 144 − 2x, dla x = 70 fkr (70) = 4, więc produkcję opłaca się nieco zwiększyć (ale o
nie więcej niż 2 jednostki).
16
9 Zastosowania rachunku różniczkowego w ekonomii
Zadanie 9.7. For each of the given cost functions find (a) the cost, average cost and marginal cost
of producing 1000 units; (b) the production level that will minimize the average cost; and (c) the
minimum average cost
1) C(x) = 10000 + 25x + x2
4) C(x) = 2000 + 10x + 0.001x3
Odp.:
1) (a)
2) (a)
3) (a)
4) (a)
5) (a)
6) (a)
2) C(x) = 1600 + 8x + 0.01x2
√
x2
5) C(x) = 2 x + 8000
3) C(x) = 45 +
x
2
+
x2
560
3
6) C(x) = 1000 + 96x + 2x 2
C (1000) = 1035 000, C̄ (1000) = 1035, Ckr (1000) = 2025 (b) 100 (c) C̄(100) = 225
C (1000) = 19600, C̄ (1000) = 19.6, Ckr (1000) = 28 (b) 400 (c) C̄(x) = 16
C (1000) ≈ 2330.71, C̄ (1000) ≈ 2.33, Ckr (1000) ≈ 4.07(b) 158 (c) C̄(158) ≈ 1.14
C (1000) = 1012000, C̄ (1000) = 1012, Ckr (1000) = 3010 (b) 100 (c) C̄(100) = 400
C (1000) ≈ 188.25, C̄ (1000) ≈ 0.19, Ckr (1000) ≈ 0.28 (b) x = 400 (c) C̄(400) ≈ 0.15
C (1000) ≈ 16025, C̄ (1000) ≈ 160.25, Ckr (1000) = 190.87 (b) 100 (c) C̄(100) ≈ 126.
Zadanie 9.8. For each of the given cost function find the production level at which the marginal cost
starts to increase
a) C(x) = 0.001x3 − 0.3x2 + 6x + 900
b) C(x) = 0.0002x3 − 0.25x2 + 4x + 1500
Zadanie 9.9. Wyznaczyć elastyczność funkcji:
a) y = 3x − 6
b) y = 1 + 2x − x2
c) y = 2x2 + 3x − 2
d) y = 120 − 0.4x2
e) y = e−x
f) y = x ln x
g) y = x − 6 dla x = 10
h) y = 1 + 2x + 12 x2 dla x = 1
Zadanie 9.10. Przy produkcji x ton pewnego proszku dziennie, koszt produkcji każdej tony wynosi
4700 − 2x zł. Podać elastyczność kosztu produkcji ze względu na wielkość produkcji. Jak wpłynie
zwiększenie obecnej produkcji 86 ton o każdy procent na zmniejszenie kosztów produkcji każdej tony?
x
Odp.: Ek (x) = − 2350−x
. Zwiększenie produkcji o 1% spowoduje zmniejszenie kosztów produkcji każdej
tony o około 0.038%.
Zadanie 9.11. Funkcja popytu na pomidory ma postać y = 120 − 0.4x2 , gdzie x oznacza cenę
pomidorów w zł na kg, natomiast y popyt miesięczny w kg na osobę. Wyznaczyć elastyczność popytu
dla ceny maksymalizującej utarg.
Zadanie 9.12. Pewna firma może wyprodukować x sztuk pewnego towaru miesięcznie przy koszcie
produkcji sztuki po 130 − 0.01x zł, zaś każdą sztukę można sprzedać w cenie 800 − 0.5x zł. Ponadto
stałe miesięczne koszty firmy wynoszą 90000 zł. Firma jest w stanie wyprodukować miesięcznie co
najwyżej 650 sztuk. Przy jakiej miesięcznej produkcji zysk jest maksymalny i ile wynosi?
Zadanie 9.13. Jakie wymiary powinien mieć walec o podstawie kołowej, aby zminimalizować koszty
materiału na jego wykonanie? Walec ma mieć pojemność 8800 cm3 . Na wycięcie kół na obie podstawy
trzeba przeznaczyć odpowiednie kwadratowe kawałki materiału. Cena materiału na obie podstawy
jest o 10% wyższa niż koszt materiału na powierzchnię boczną.
17
10 Całki nieoznaczone
Zestaw 10. Całki nieoznaczone
Zadanie 10.1. Wyznaczyć tę funkcję pierwotną funkcji f (x) =
punkt A(1, −1).
Odp.:
1
2
ln x
, x > 0, do wykresu której należy
x
ln2 x − 1.
Zadanie 10.2. W oparciu o własności całek obliczyć:
Z
Z 2
3
(x − 1)
3
2
a) (x − 3x + 2x) dx
b)
dx
x
¶
√
Z µ √
Z √
3
4
√
1
x
x
+
x
3
3 x2 + 3 − 2x x dx f)
e)
dx
x
x2
Z q p
Z x
√
2 − 5x
i)
x x xdx
j)
dx
10x
Z
Z
x
cos 2x
m)
dx
n) sin2 dx
cos x − sin x
2
Z
Z
x4
dx
x2 + 1
Z
√
4
h)
3x dx
x
c)
dx
1−x
Z 2 √
x − x
√
dx
g)
3
x
Z −2x
e
−4
k)
dx
−x
e +2
Z
o) ctg2 xdx
d)
Z
e3x − 1
dx
ex − 1
Z
dx
p)
2
sin x cos2 x
l)
Odp.: a) x2 − x3 + 14 x4 , b) − ln x + 32 x2 − 34 x4 + 16 x6 , c) −x − ln (x − 1) , d) −x + arc tg x + 31 x3 , d)
√
√
5
5
8
7
1
8 15
− 2x12 − 45 x 2 + 95 x 3 , e) 3 3 x − 43 , f ) 38 x 3 − 76 x 6 , g) ln43 3 4 x , h) ln43 4 3x , i) 15
x 8 , j) −x (−2xex − 1) , k)
3x 4
x + ex + 12 e2x , l) − cos x + sin x, m) 12 x − 12 sin x, n) x − ctg x, o) −2 ctg 2x.
Zadanie 10.3. Stosując metodę podstawiania obliczyć całki:
Z
Z
Z 3x
Z
xdx
xdx
e dx
x3 dx
q
a)
b)
c)
d)
1 + x2
1 + e6x
(x2 + 3)6
(1 − x2 )3
Z
Z
Z 1
√
√
√
ex
2
e) x x − 3dx f)
3x + 1dx
g) x 1 + x dx h)
dx
x2
Z
Z
Z
Z
dx
xdx
x3 dx
e−4x dx
√
i)
j) √
k) √
l) √
x x2 − 2
x2 − 9
1 − x8
4 + e−4x
Z
Z
Z
Z
cos ln x
sin xdx
2
n) sin x cos xdx o)
dx p) xe−x dx
m)
3 + 2 cos x
x
q
Odp.: a) ln (x + 1) , b)
(x − 3)5 +
c) arc tg (e ) , d)
3 (x − 3x + 2) , e)
2
2
(1−x )
q
√
√ √
√
√
√
√
1
3
2
2
1
1 2
2
2 (x − 3) , f ) 9 3x + 1+ 3 x 3x + 1, g) 3 x + 1+ 3 x x2 + 1, h) −e x , i) 12 2 arc tg 12 2 x2 − 2,
√
¡
¢
R x3
1 √ e−4x
j) x2 − 9, k) √1−x
(−e2x − 4e2x e4x ) , m) − 12 ln cos x + 23 , n) 14 − 14 cos 2x, o)
8 dx, l) 2
4e4x +1
1
2
1
,
10(x2 +3)10
2
1
3
1
3x
4
2
2
5
2
sin (ln x) , p) − 21 e−x .
Zadanie 10.4. Obliczyć całkując przez części:
Z
Z
Z
2 x
a) x cos xdx b) x e dx
c) ex cos xdx
Z
Z
Z
ln xdx
xdx
2
e) x ln xdx f)
g)
2
x
sin2 x
Z
Z
Z
xdx
i) x2 sin xdx j) e2x sin xdx k)
cos2 x
Z
d)
x sin x cos xdx
Z
h)
Z
l)
(x − 1) ex
dx
x2
xe−3x dx
18
10 Całki nieoznaczone
Odp.: a) cos x + x sin x, b) 2ex − 2xex + x2 ex , c) 12 (cos x) ex + 12 (sin x) ex , d) 18 sin 2x − 14 x cos 2x, e)
1 2
x − 21 x2 ln x + 12 x2 ln2 x, f ) − x1 − x1 ln x, g) −x ctg x + ln |sin x| , h) x1 ex , i) 2 cos x + 2x sin x − x2 cos x,
4
j) 25 (sin x) e2x − 15 (cos x) e2x , k) x tg x + ln |cos x| , l) − 19 (e−3x ) (3x + 1) .
Zadanie 10.5. Obliczyć następujące całki:
Z
Z
2
a) cos xdx
b) sin2 xdx
Z
e)
2
x ln (1 + x ) dx
Z p
2 + ln |x|
f)
dx
x
Z
c)
sin x cos xdx
Z
g)
Z
5
xdx
x4 + 1
d)
Z
h)
cos xdx
√
1 + sin x
x2 dx
√
1 − x6
√
Odp.: a) 12 x + 14 sin 2x, b) 12 x − 41 π − 14 sin 2x, c) 12 ex (cos x + sin x) , d) 2 sin x + 1, e) 14 x2 − 12 x2 ln x +
1 2
x ln2 x, f ) − x1 − x1 ln x, g) 12 arc tg x2 , h) 13 arc sin x3 .
2
Zadanie 10.6. Dana jest funkcja kosztów krańcowych produkcji
KK (x) = 0.2x + 11
gdzie x oznacza wielkość produkcji. Wyznaczyć funkcję kosztów całkowitych, jeżeli koszt całkowity
wyprodukowania 10 sztuk wyrobu wynosi 260 zł.
Odp.: KC (x) = 0.1x2 + 11x + 140.
Zadanie 10.7. Załóżmy, że funkcja kosztu krańcowego przy produkcji opon w ciągu dnia zależy od
wielkości produkcji x według wzoru
f (x) = 10 − 0.4x + 0.09x2 , gdzie x > 0.
Wyznaczyć funkcję kosztu przeciętnego produkcji opon, jeżeli koszty stałe ponoszone w ciągu dnia
wynoszą 2000 jednostek pieniężnych.
Odp.: K (x) = 2000 + 10x − 0.2x2 + 0.03x3 .
19
11 Całki oznaczone
Zestaw 11. Całki oznaczone
Zadanie 11.1. Obliczyć całki oznaczone:
Z2
a)
dx
2
x +4
Z1
b)
0
−1
π
2
π
4
Z
Z
3
e)
cos xdx
f)
−π
2
dx
√
4 − x2
x dx
cos2 x
0
Z1
Zπ
−x
c)
xe dx
0
Z2
g)
x2 cos xdx
d)
0
Ze
1
dx
x2
h)
1
ln x
dx
x
1
√
Odp.: a) 18 π, b) 13 π, c) 1 − 2e−1 , d) −2π, e) 43 , f ) 14 π + ln 12 2, g) 12 , h)
1
2
Zadanie 11.2. Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi:
a) y = x3 − 2x2 − 3x, x = −1, x = 2 i osią OX
b) y =
1
, x = −1, x = 1 i osią OX
1 + x2
c) y = x2 , y 2 = x
d) y = x3 , y = 4x
e) y = 10x , y = 100, y = 10, x = 0
f) y = ex , y = e−x , x = 1
g) y = x2 − 4, y = 4 − x2
1
x2
,
y
=
1 + x2
2
a
i) y = 2 , x = a, x = 2a, y = 0 (a > 0)
x
h) y =
Odp.: a)
95
,b) π2 ,
12
c) 13 , d) 4, e) 190 −
90
,
ln 10
f ) e−1 + e − 2, g)
64
,
3
h) 12 π − 31 , i) 12 .
Zadanie 11.3. Obliczyć wartości średnie podanych funkcji na wskazanych przedziałach:
h √ i
x
, x ∈ 0, 22
a) f (x) = sin3 x, x ∈ [0, π] b) g(x) = ex , x ∈ [−2, 2] c) h(x) = √
1 − x2
√ ¡
√ ¢
4
Odp.: a) 3π
, b) 14 e2 − 14 e−2 , c) 2 1 − 12 2 .
Zadanie 11.4. Do magazynu nadchodzi towar, przy czym ilość towaru nadchodzącego w jednostce
czasu określona jest funkcją ciągłą czasu f (t). Obliczyć przyrost zapasu w magazynie w odstępie czasu
od T1 do T2 .
RT
Odp.: T12 f (t) dt.
Zadanie 11.5. Zapas pewnego wyrobu w magazynie zmniejsza się w czasie t równomiernie z ilości Q
jednostek w momencie początkowym, do 0 w momencie końcowym. Obliczyć średnią wielkość zapasu
wyrobu w magazynie.
20
11 Całki oznaczone
Odp.:
Q
.
2
Zadanie 11.6. Przedsiębiorstwo nabyło urządzenie, które zapewnia zysk
µ
Z (t) =
¶
1 2
120 − t , t > 0,
5
gdzie t oznacza liczbę lat eksploatacji urządzenia. Koszty związane z utrzymaniem urządzenia w stanie
sprawności wzrastają z czasem, przy czym wzrost ten określa funkcja
K (t) = t2 .
Obliczyć łączny zysk osiągnięty z urządzenia w okresie jego eksploatacji.
Odp.: 800
21
12 Całki niewłaściwe. Funkcje gamma i beta
Zestaw 12. Całki niewłaściwe. Funkcje gamma i beta
Zadanie 12.1. Obliczyć całki niewłaściwe:
Z1
xdx
√
1 − x2
a)
0
Z∞
f)
Z3
b)
2
c)
(arctg x)2
dx l)
1 + x2
−∞
Z∞
Odp.: a) 1, b)
tg xdx
xdx
x4 + 1
d)
0
Z∞
dx
dx
e)
2
2
1+x
x +9
√
Z∞
Z0
h) e−x sin xdx i)
e−x dx
0
−∞
√
Z∞
0
0
3
k)
xdx
√
x2 − 4
Z∞
2
g) xe−x dx
dx
x2
Z∞
π
Z2
Z2
m)
3
Z−1
j)
−∞
dx
x3
−∞
dx
x
−1
5, c) ∞, d) 21 π, e) 19 π, f ) 13 , g) 12 , h) 12 , i) ∞, j) − 21 , k)
π3
,
12
l) 0, m) nie istnieje.
Zadanie 12.2. Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi:
a) y = e−x i osiami OX, OY
x
b) y =
i osią OX
1 + x4
1
c) y = p
, y = 0, x = 0, x = 3
3 x
−1
3
1
, y = 0, x = 0, x = 2
|x − 1|
8
e) y = 2
, y = 0, x = 0
x +4
f) y = ln x, y = 0, x = 0, x = e
q
g) y = 3 (x + 1)2 , y = 0, x = 0
d) y =
h) y =
1
, x = 1 i osiami układu współrzędnych
x3
Odp.: a) 1, b) 21 π, c) 92 , d) ∞, e) 2π, f ) 2, g) 35 , h) 23 .
Zadanie 12.3. Czy pole obszaru zawartego między wykresami funkcji y = 2x , y =
jest skończone?
1
x−
1
2
i osią OX
Odp.: nie.
22
12 Całki niewłaściwe. Funkcje gamma i beta
Zadanie 12.4. Obliczyć:
Z∞
x
a) xe− 2 dx
Z∞
5
b) x 2 e−x dx
0
Z∞
0
Z∞
√
x xe−3x dx
d)
0
Z∞
x5 e−4x dx
e)
Z1
1
2
0
Z1
3
2
x (1 − x) dx
1
2
h)
√
x 3 xe−2x dx
f)
0
0
g)
Z∞
c) x6 e−x dx
Z1
1
2
x (1 − x) dx
x6 (1 − x)4 dx
i)
0
0
0
Z3
Z5
Z1
1
x5 (1 − 3x)8 dx
j)
0
Odp.: a) 4, b)
x5 (5 − x)12 dx
k)
0
15 √
π,
8
c) 720, d)
k)518 2−3 3−2 7−1 13−1 17−1 , l)
1
.
504
√
1
36
x3 (1 − x)5 dx
l)
0
3π, e)
15
,
512
f)
1
π
27
√
√
3
3Γ
4
( 23 )
, g)
1
π,
16
h) 81 π, i)
1
,
2310
j)
1
,
2×38 7×11×13
23