stereometria-przykładowe zadania

Przykładowe zadania – stereometria
Zad.1 Przekrój osiowy walca jest kwadratem o Zad.2 Przekrój osiowy stożka jest trójkątem
przekątnej długości 8. Oblicz powierzchnię boczną równobocznym o wysokości
. Oblicz objętość
tego walca.
tego stożka.
h
d
a
a
a
– długość boku trójkąta
to
- promieo walca
a
r
stąd:
=9
Odp. Powierzchnia boczna walca wynosi
Odp. Objętość stożka wynosi 9
Zad.3 Przekątna sześcianu o krawędzi a ma Zad.4 Wysokość prostopadłościanu o podstawie
długość d=9. Oblicz objętość tego sześcianu.
kwadratowej jest dwa razy dłuższa od krawędzi jego
podstawy. Oblicz cosinus kąta nachylenia
przekątnej prostopadłościanu do płaszczyzny jego
z tw. Pitagorasa:
podstawy.
i
a
d
x
to
a
d
2a

z tw. Pitagorasa:
a
a
x
a
Odp. Objętość sześcianu wynosi
Odp. Cosinus tego kąta wynosi
Zad.5
Wysokość
ostrosłupa
prawidłowego Zad.6 Przekątna ściany sześcianu ma długość
czworokątnego jest 4 razy dłuższa od krawędzi jego Oblicz pole całkowite sześcianu.
podstawy. Oblicz cosinus kąta nachylenia ściany
a – krawędź sześcianu, d – przekątna ściany
bocznej ostrosłupa do jego płaszczyzny podstawy.
więc
stąd
h
H
h - wysokośd ściany bocznej
H – wysokośd ostrosłupa

Odp. Pole całkowite sześcianu wynosi
x
a
z tw. Pitagorasa:
a
.
Zad.7 Suma pól wszystkich ścian sześcianu jest
równa 96. Oblicz sumę długości wszystkich
krawędzi tego sześcianu.
a – krawędź sześcianu
Sześcian ma 12 krawędzi, stąd:
Odp. Cosinus szukanego kąta wynosi
Odp. Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu
wynosi 48.
Zad.8
Przekątna
ściany
bocznej
graniastosłupa prawidłowego trójkątnego
ma długość 8. Kąt między tą przekątną a
płaszczyzną podstawy ma miarę 60.
Oblicz
długość
krawędzi
tego
graniastosłupa.
8
b
b
60 a
Zad.9 Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny, którego
krawędzie boczne są dwa razy dłuższe od krawędzi podstawy.
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jest równe
.
Wyznacz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa.
a - długość krawędzi podstawy graniastosłupa
stąd
a
a
stąd
Odp. Długość krawędzi graniastosłupa
wynosi
.
Odp. Długość krawędzi podstawy graniastosłupa wynosi
Zad.10 Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o polu podstawy 16. Przeciwległe krawędzie boczne
tworzą kąt o mierze 60. Wyznacz objętość i pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
H
60
a
a
a
a
a
Zaznaczony trójkąt
jest równoboczny,
ponieważ krawędzie
boczne ostrosłupa
są równe i kąty przy
podstawie trójkąta
mają po 60
ściana boczna
z tw. Pitagorasa:
a
h
0,5a
a
0,5a
stąd
h - wysokość ściany bocznej ostrosłupa
H – wysokość ostrosłupa (wysokość trójkąta równobocznego o boku a
Odp. Objętość ostrosłupa wynosi
)
a jego pole powierzchni bocznej wynosi
Zad.11 Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny równoramienny ABC o kącie prostym przy
wierzchołku C. Krawędź boczna SC jest wysokością ostrosłupa. Dwie ściany boczne są również
prostokątnymi trójkątami równoramiennymi. Wyznacz pole powierzchni bocznej ostrosłupa wiedząc, że
pole jego podstawy jest równe 8.
S
trójkąt ABC jest połową
kwadratu, stąd
a a
więc
B
a
C
a
a
A
Odp. Pole powierzchni bocznej ostrosłupa wynosi
ponieważ trójkąt ACS także jest połówką
kwadratu. Wobec tego trójkąt ABS jest równoboczny.
Zad.12 Tworząca stożka jest o 4 dłuższa od jego Zad.13 Długość krawędzi sześcianu jest równa
wysokości. Tworząca ta tworzy z płaszczyzną długości promienia kuli. Wykaż, że stosunek
podstawy kąt, którego cosinus jest równy
Oblicz objętości sześcianu do objętości kuli jest mniejszy
od .
pole powierzchni całkowitej stożka.
R – długość krawędzi sześcianu i promienia kuli
H+4
objętość sześcianu
H

objętość kuli
r
ponieważ
,
,
,
Co należało udowodnić 
z tw. Pitagorasa:
Odp. Pole powierzchni całkowitej stożka wynosi
Zad.14 Podstawą prostopadłościanu jest prostokąt o stosunku
długości boków 1 : 2 i polu 32 cm2. Przekątna prostopadłościanu II sposób
tworzy z jego wysokością kąt , taki, że
Wyznacz
wymiary prostopadłościanu.
Z tw. Pitagorasa (w podstawie)

H
Z tw. Pitagorasa (w podstawie)
d
a
x
a
2a
Z tw. Pitagorasa (w zaznaczonym trójkącie)
,
Odp. Wymiary prostopadłościanu wynoszą: 4, 8,
1280
640
320
160
80
40
20
10
5
1
2
2
2
2
2
2
2
2
5
/:3