Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

50
3.1.
REPETYTORIUM
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
Równania i nierówności kwadratowe
z jedną niewiadomą
Teoria
Równanie wielomianowe to równość dwóch wyrażeń algebraicznych. Każda liczba, która po podstawieniu w miejscu niewiadomej
w równaniu o jednej niewiadomej daje równość prawdziwą, jest rozwiązaniem tego równania. W przypadku równań z jedną niewiadomą
możemy mówić o równaniach stopnia pierwszego, gdy niewiadoma występuje w pierwszej potędze, są to równania typu: ax + b = 0
o niewiadomej x, a także o równaniach wyższych stopni. Równanie
pierwszego stopnia z jedną niewiadomą może mieć jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań – równanie tożsamościowe, lub
nie mieć żadnego rozwiązania – równanie sprzeczne. Rozwiązując
równania wykorzystuje się metodę równań równoważnych. Dwa
równania nazwiemy równoważnymi, jeśli mają takie same zbiory rozwiązań. Chcąc rozwiązać równanie możemy:
> do obu stron równania dodać jednomian;
> od obu stron równania odjąć jednomian;
> obie strony równania pomnożyć przez liczbę różną od zera lub podzielić przez liczbę różną od zera;
> uprościć wyrażenia znajdujące się po każdej stronie równania –
opuszczając nawiasy, redukując wyrazy podobne.
Równanie kwadratowe z jedną niewiadomą (równanie drugiego
2
stopnia) to równanie typu ax + bx + c = 0 o niewiadomej x, gdzie
a, b, c ∈ , a ≠ 0 . Niewiadoma w tym równaniu występuje w drugiej
potędze. Liczby a, b i c nazywamy współczynnikami równania.
Przykład
Przykłady równań kwadratowych:
3x 2 − 2x + 7 = 0, (tu: a = 3, b = −2, c = 7 )
1
1
−2x 2 − x = 0, (tu: a = −2, b = − , c = 0)
2
2
4x 2 − 16 = 0, (tu: a = 4, b = 0, c = −16)
ciekawostka
François Viète (1540–1603) z wykształcenia był prawnikiem, ale najbardziej
znany jest ze swych osiągnięć matematycznych (choć w tej dziedzinie był
tylko samoukiem). Jako pierwszy wpadł
na pomysł, by w równaniach oznaczyć
literami nie tylko niewiadome, ale także
współczynniki. Dzięki temu mógł odkryć
swoje słynne wzory (patrz rozdział 3.3).
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
REPETYTORIUM
Teoria
Wyrażenie ax 2 + bx + c, gdzie a, b, c ∈ , a ≠ 0 nazywamy trójmianem kwadratowym, a rozwiązania odpowiadającego mu równania
kwadratowego – pierwiastkami trójmianu. W celu rozwiązania
równania kwadratowego wystarczy najpierw wyznaczyć wyróżnik
trójmianu – ozn. Δ (delta). Stosujemy wówczas następujący wzór:
Δ = b2 − 4ac .
Od znaku wyróżnika równania kwadratowego ( Δ ) zależna jest liczba
rozwiązań tego równania.
> Jeśli Δ > 0 , to równanie ma dwa różne rozwiązania, które możemy znaleźć, stosując wzory:
x1 =
−b − Δ
2a
oraz
x2 =
−b + Δ
.
2a
> Jeśli Δ = 0 , to równanie ma jedno rozwiązanie, które można
obliczyć, stosując wzór:
−b
.
x=
2a
> Jeśli Δ < 0 , to równanie nie ma rozwiązań.
Rozwiązania równania kwadratowego ax 2 + bx + c = 0 są miejscami
zerowymi funkcji kwadratowej y = ax 2 + bx + c . Wynika to z definicji
miejsca zerowego funkcji.
Przykład
Rozwiąż równania:
x 2 − 4x − 5 = 0 .
Korzystając ze wzoru na wyróżnik trójmianu kwadratowego, otrzymujemy:
2
Δ = (−4) − 4 ⋅ 1⋅ (−5) = 16 + 20 = 36 .
Ponieważ Δ > 0 , to równanie ma dwa rozwiązania. Podstawiając
otrzymaną wartość do podanych wzorów, mamy:
x1 =
x1 =
−(−4) − 36
2
oraz x2 =
4−6
4+6
oraz x2 =
,
2
2
x1 = −1 oraz x2 = 5.
−(−4) + 36
2
,
51
52
REPETYTORIUM
4x 2 + 2x + 3 = 0 .
Korzystając ze wzoru na wyróżnik trójmianu kwadratowego, otrzymujemy:
Δ = 22 − 4 ⋅ 4 ⋅ 3 = 4 − 48 = −44 .
Ponieważ Δ < 0, to równanie nie ma rozwiązania.
−x 2 + 6x − 9 = 0 .
Korzystając ze wzoru na wyróżnik trójmianu kwadratowego, otrzymujemy:
Δ = 62 − 4 ⋅ (−1)⋅ (−9) = 36 − 36 = 0 .
Ponieważ Δ = 0 , to równanie ma jedno rozwiązanie, które obliczymy
ze wzoru:
−6
x=
=3.
−2
( x − 3)( x + 2) = 2x ( x − 2) − 2x
Chcąc rozwiązać to równanie, należy najpierw zapisać je w postaci:
ax 2 + bx + c = 0, gdzie a, b, c,∈ , a ≠ 0 .
Przekształcając je otrzymujemy:
x 2 + 2x − 3 x − 6 = 2x 2 − 4x − 2x
x 2 − x − 6 = 2x 2 − 6 x
−x 2 + 5 x − 6 = 0
Możemy teraz wyznaczyć wyróżnik trójmianu:
Δ = 52 − 4 ⋅ (−1)⋅ (−6) = 25 − 24 = 1 .
Równanie ma zatem dwa rozwiązania, które są równe:
−5 − 1
−5 + 1
oraz x2 =
,
−2
−2
−6
−4
x1 =
oraz x2 =
,
−2
−2
x1 =
x1 = 3 oraz x2 = 2 .
Teoria
Spotykamy także równania kwadratowe, w których jeden ze współczynników: b bądź c jest równy 0. Są to równania kwadratowe niezupełne.
Jeżeli b = 0, c ≠ 0 , to równanie kwadratowe przyjmuje postać:
ax 2 + c = 0 . Równanie to może mieć dwa rozwiązania albo może nie
mieć ich w ogóle. Wyznaczając niewiadomą z powyższego równania,
otrzymujemy:
c
x2 = − .
a
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
zobacz s. 15
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
REPETYTORIUM
c
Jeśli − < 0 , to równanie nie ma rozwiązania.
a
c
c
Jeśli − > 0 , to równanie ma dwa rozwiązania: x = ± − .
a
a
Jeżeli c = 0, b ≠ 0 , to równanie kwadratowe przyjmuje postać:
ax 2 + bx = 0 . Równanie to ma dwa rozwiązania. Możemy je wyznaczyć, korzystając z równoważności:
⎛
b⎞
b
⇔
ax ⎜⎜ x + ⎟⎟⎟ = 0
x =0 ∨ x =− .
⎜⎝
a⎠
a
Przykład
Rozwiąż równania:
ciekawostka
−2 x 2 + 5 x = 0 .
Nie zawsze w celu rozwiązania równania
−2 x 2 + 5 x = 0
⇔
⎛
5⎞
− 2x ⎜⎜ x − ⎟⎟⎟ = 0
⎜⎝
2⎠
⇔
x=0 ∨ x=
5
.
2
5
Zatem x1 = 0 oraz x2 = .
2
kwadratowego musimy wyznaczać
wyróżnik tego równania i stosować
przedstawione wzory. Niektóre równania
jesteśmy w stanie zapisać tak, aby ich
rozwiązania były od razu możliwe do
odczytania. Pomocna może okazać się
9x − 4 = 0 .
2
wówczas znajomość wzorów skróconego
mnożenia.
Dane równanie jest równoważne równaniu
9x2 = 4
4
x2 = .
9
Przykładem takiego równania może być:
4x 2 − 12x + 9 = 0 .
Korzystając ze wzoru na kwadrat różnicy,
równanie to możemy zapisać:
(2x − 3) = 0 .
2
4
Stąd x = ±
9
2
2
x 1 = , x2 = −
3
3
Równanie to jest równoważne następującemu:
2x − 3 = 0 .
Rozwiązując je otrzymujemy:
2x = 3
−2 x 2 − 3 = 0 .
x=
Dane równanie jest równoważne równaniu
−2 x 2 = 3
3
x2 = −
2
Nie istnieje liczba spełniająca uzyskane, a więc i dane równanie, ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze liczbą nieujemną.
Rozpatrywane równanie kwadratowe ma
3.
2
zatem jedno podwójne rozwiązanie:
3
x= .
2
53
54
REPETYTORIUM
Teoria
Posiadając wiedzę i umiejętności pozwalające rozwiązywać równania
kwadratowe, możemy także rozwiązać niektóre równania wyższych
stopni. Przykładem mogą być pewne równania czwartego stopnia, które dzięki wprowadzeniu nowej zmiennej dają się sprowadzić do równań
kwadratowych. Są to tak zwane równania dwukwadratowe.
Przykład
Przykładem takiego równania jest: x 4 − 13x 2 + 36 = 0 .
2
Możemy je zapisać w następujący sposób: ( x 2 ) − 13x 2 + 36 = 0
W celu rozwiązania tego równania wystarczy wprowadzić nową zmienną wykonując podstawienie: t = x 2 .
Otrzymujemy wówczas równanie kwadratowe z niewiadomą t:
t2 − 13t + 36 = 0 .
Rozwiązując to równanie otrzymujemy:
Δ = 132 − 4 ⋅ 36 = 169 − 144 = 25 = 52 .
Równanie: t2 − 13t + 36 = 0 ma zatem dwa rozwiązania:
13 − 5
13 + 5
= 4 oraz t2 =
= 9.
t1 =
2
2
Otrzymaliśmy w ten sposób rozwiązanie równania z niewiadomą t.
Podając rozwiązania początkowego równania, wystarczy zauważyć, że:
Jeżeli t = 4 to x 2 = 4, więc x1 = 2 oraz x2 = −2.
Jeżeli t = 9 to x 2 = 9, więc x3 = 3 oraz x4 = −3.
Równanie: x 4 − 13x 2 + 36 = 0 ma zatem cztery różne rozwiązania:
−3, − 2, 2, 3 .
Teoria
Nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą to nierówności
powstałe z równań kwadratowych z jedną niewiadomą poprzez zastąpienie znaku równości jednym ze znaków: <, >, ≤, ≥ .
Przykład
Przykłady nierówności kwadratowych:
2x 2 − 5 x + 3 < 0,
−2, 5 x 2 + 1, 5 x − 0, 5 > 0,
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
2
1
5
− x 2 − x + ≤ 0,
3
2
6
11x 2 − 2 ≥ 0.
Teoria
W celu rozwiązania nierówności kwadratowej wystarczy:
> wyznaczyć Δ, znaleźć pierwiastki trójmianu kwadratowego (o ile
istnieją);
> naszkicować parabolę, znając (jeśli istnieją) miejsca zerowe odpowiedniej funkcji i wiedząc, jak skierowane są ramiona paraboli
( a < 0 – ramiona skierowane w dół, a > 0 – ramiona skierowane
w górę);
> zaznaczyć (jeśli istnieją) przedziały, w których funkcja przyjmuje
wartości dodatnie, a w których ujemne;
> odczytać rozwiązanie nierówności.
Przykład
Rozwiąż nierówności:
2x 2 − 5 x + 3 < 0 .
Korzystając ze wzoru wyznaczamy Δ:
Δ = 25 − 4 ⋅ 2 ⋅ 3 = 25 − 24 = 1
5 −1
5+1 6 3
x1 =
= 1, x2 =
= =
4
4
4 2
Ponieważ współczynnik a = 2, jest więc większy od 0, zatem ramiona paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej skierowane są do
3
góry. Miejsca zerowe funkcji to 1 oraz . Rysowany wykres ma na
2
celu wyłącznie ułatwienie znalezienia rozwiązań nierówności. Jest to
tylko szkic, dlatego nie musi być dokładny (rys. 3.1.1).
RYS.
3.1.1
REPETYTORIUM
55
56
REPETYTORIUM
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
Jako że w nierówności mamy znak mniejszości (<), rozwiązaniem
będzie przedział odpowiadający argumentom, dla których funkcja
przyjmuje wartości ujemne, a zatem: (1; 1, 5).
2
5
− x2 − x + ≤ 0 .
3
6
zobacz s. 43
Chcąc uprościć nierówność, warto najpierw pomnożyć obydwie jej
strony przez 6 – wspólny mianownik dla ułamków występujących
w nierówności. Otrzymujemy wówczas:
2
5
− x2 − x + ≤ 0
3
6
/ ⋅6
−4 x 2 − 6 x + 5 ≤ 0 .
Wyznaczając Δ mamy:
Δ = 36 − 4 ⋅ (−4)⋅ 5 = 36 + 80 = 116 = (2 29 ) .
2
Pierwiastki trójmianu są zatem równe:
6 − 2 29
3 − 29
3 + 29
.
x1 =
x2 = −
=−
,
−8
4
4
Rozwiązanie nierówności można odczytać z rysunku (rys. 3.1.2):
RYS.
3.1.2
Rozwiązaniami są liczby należące do zbioru:
⎛
⎜⎜−∞; − 3 + 29 ∪ − 3 − 29 ; + ∞⎞⎟⎟ .
⎟⎟
⎜⎜
4
4
⎠
⎝
−11x 2 + 9x − 2 > 0 .
Δ = 92 − 4 ⋅ (−11)⋅ (−2) = 81 − 88 = −7
Ponieważ Δ < 0 , funkcja kwadratowa f ( x ) = −11x 2 + 9x − 2 nie ma
miejsc zerowych. Ramiona paraboli będącej jej wykresem skierowane
są w dół (−11 < 0) i w całości leży ona pod osią x (rys. 3.1.3).
Wniosek: nierówność nie ma rozwiązania. Gdyby rozpatrywana była
nierówność −11x 2 + 9x − 2 < 0 zbiorem jej rozwiązań byłby zbiór
liczb rzeczywistych.
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
REPETYTORIUM
RYS.
3.1.3
2( x 2 + 4) + 1 ≥ x 2 + 6x .
Upraszczając daną nierówność otrzymujemy nierówności równoważne:
2x 2 + 9 ≥ x 2 + 6 x
x2 − 6x + 9 ≥ 0 .
Wyróżnik jest równy:
Δ = 36 − 36 = 0 .
Trójmian kwadratowy ma jeden pierwiastek, który wyraża się wzorem:
6
x= =3.
2
Parabola, której ramiona skierowane są w górę, styka się z osią x w punkcie o współrzędnych (3; 0)(rys. 3.1.4)
RYS.
3.1.4
Rozwiązaniami nierówności są więc wszystkie liczby rzeczywiste. Gdyby rozpatrywana była nierówność x 2 − 6x + 9 > 0 zbiorem jej rozwiązań byłby zbiór \ {3} .
Sprawdź się
Zad. 1.
Jeżeli wyróżnik równania kwadratowego (Δ) jest większy od 0, to
równanie to ma:
A. jedno rozwiązanie.
B. dwa rozwiązania.
C. nieskończenie wiele rozwiązań.
odpowiedzi
1 – B, 2 – B, 3 – A, 4 – A, 5 – D.
57
58
REPETYTORIUM
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
Zad. 2.
1
Wyróżnik równania kwadratowego: − x 2 + 3x − 5 = 0 jest równy:
2
A.
13.
B.
−1 .
C.
19.
D.
11,5.
Zad. 3.
Wskaż rozwiązanie równania 5 x 2 − 6x + 2 = 0 .
A. równanie nie ma rozwiązań
B. 1, −1
1
1
C. 1,
D. −1, −
5
5
Zad. 4.
Zbiorem rozwiązań nierówności −2, 5 x 2 + 3, 5 x − 1 < 0 jest:
⎛
2⎞
suma przedziałów: ⎜⎜⎜−∞; ⎟⎟⎟ ∪ (1; + ∞) .
⎝
5⎠
⎛ 2 ⎞⎟
B. przedział: ⎜
⎜⎜⎝ ; 1⎟⎟⎠ .
5
A.
C.
zbiór liczb rzeczywistych.
D. zbiór pusty.
Zad. 5.
Równanie: −2x 2 + 8 x = 0 :
A. ma jedno rozwiązanie: 0.
C. nie ma rozwiązania.
3.2.
B.
D.
ma jedno rozwiązanie: 2.
ma dwa rozwiązania: 0 oraz 4.
Układy równań prowadzące do równań
kwadratowych
Teoria
Możemy spotkać się także z układami równań, w których niewiadome
podnoszone są do drugiej potęgi. Zazwyczaj można je przekształcić
tak, aby otrzymać równanie kwadratowe.