Zadanie W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna
Transkrypt
Zadanie W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna
Zadanie W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna ma 10 cm i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod katem L=60 stopni . Oblicz objętość ostrosłupa. Rozwiązanie: Rysunek W l H D a a d A O a 60° C d 2 a B Dane: ∣WC∣=l=10 - długość krawędzi bocznej ostrosłupa kąt ∣OCW∣=60o Szukane: V =? Ostrosłup prawidłowy jest to ostrosłup o podstawie wielokąta foremnego. W przypadku powyŜszego zadania podstawą jest kwadrat. Wzór na objętość ostrosłupa ma postać: V= 1 P ∗H 3 p Podstawą jest kwadrat, którego wzór na pole ma postać: P p =a 2 Wzór na objętość ostrosłupa przybiera postać: V= 1 2 a H 3 Z własności kwadratu wiemy, Ŝe: – przekątna kwadratu jest równa: ∣AC∣ = d = a 2 ∣OC∣ = d 2 =a 2 2 Z trójkąta prostokątnego WOC wyznaczamy dlugość ∣OC∣ stosując twierdzenie cosinusa. d 2 o cos 60 = l d 2∗l o cos 60 = d =2∗l∗cos 60 o cos 60o = 1 2 d =2∗10∗ 1 2 d = 10 cm Dlugość boku a wyznaczymy z wzoru na przekątną: d = a 2 a= d 2 =d 2 2 a = 10 2 2 a = 5 2 cm Wysokość sin 60o = H ostrosłupa policzymy z twierdzenia sinusa z trójkąta prostokątnego WOC H l 3 sin 60o = 2 H = l ∗ sin 60o 3 H = 10 ∗ 2 H = 5 3 cm Do wyznaczenia wysokości prostokątnego WOC. H moŜna wykorzystać równieŜ tw. Pitagorasa z trójkąta d 2 H 2 =l 2 2 2 2 H =l − 2 d 2 2 2 H =10 − 10 2 2 H 2=100−52 H 2=100−25 H 2=75 H = 75 H = 25∗3 H =5 3 cm Mając wyznaczone a i wyprowadzonego V= 1 2 a ∗H 3 V= 1 2 ∗ 5 2 ∗ 5 3 3 V= 1 ∗ 25 ∗ 2 ∗ 5 3 3 V= 1 ∗ 50 ∗ 5 3 3 V= 250 3 3 cm3 1 3 3 cm3 V = 83 H obliczamy objętość ostrosłupa wg wzoru wcześniej Odp. Objętość ostrosłupa wynosi: V = 83 1 3 3 cm3