Rozwiązanie

Wykaż, że objętość ściętego ostrosłupa prawidłowego czworokątnego1 wyraża się wzorem:
1
V = H(a2 + ab + b2 ), gdzie a > b
3
(1)
Odpowiedź. Objętość ściętej piramidy to różnica objętości ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o wysokości H+h i podstawie a oraz ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o wysokości
H i podstawie b, gdzie a > b i h > 0. Otrzymuje zatem zależność:
1
1
V = (H + h)a2 − hb2
3
3
(2)
Na płaszczyźnie ADE (rysunek na następnej stronie) zastosujemy twierdzenie Talesa by
wyznaczyć h.
h
√
b 2
2
=
h+H
,
√
a 2
2
·
1
√2
2
h
h+H
=
b
a
ha = hb + Hb
ha − hb = bH
h(a − b) = bH
h=
1
bH
a−b
(3)
Dokładniej, mowa o figurze powstałej przez odcięcie (równolegle do podstawy)górnej części ostrosłupa prawidłowego czworokątnego.
Wstawiam zależność (3) do wzoru (2).
1
1
1
1
1
V = Ha2 + ha2 − hb2 = Ha2 + h(a2 − b2 ) =
3
3
3
3
3
1
bH
1
Ha2 + ·
· (a − b)(a + b) =
3
3 a−b
1
1
1
Ha2 + bH(a + b) = H(a2 + ba + b2 ).
3
3
3
Co kończy dowód.
p Korepetycje
q Konsultacje
y Analizy
www.arturwrobel.com
tel: 695-182-129
x Zadania