Rozkłady prawdopodobieństwa

Rozkłady prawdopodobieństwa
1. W Arkusz1 pliku Excela znajduje się rozkład pewnej zmiennej losowej .
a. Oblicz wartość oczekiwaną (średnią arytmetyczną) zgodnie ze wzorem
poniŜej. Jest to tak zwana średnia waŜona, nie moŜemy uŜyć więc funkcji
Excela średnia. Wypełnij tabelę obliczeń pomocniczych. Wykorzystaj tabelkę
do obliczenia średniej.
b. Oblicz wariancję i odchylenie standardowe. Postępuj podobnie jak
przy średniej.
WZORY:
,
,
, c. Tabelę z prawdopodobieństwami wypełnij uŜywając funkcji SUMA.JEśELI lub
SUMA.WARUNKÓW. Funkcje te widzą zbiór danych jako skojarzone pary
(trójki itd.) – w naszym przypadku z kaŜdym xi skojarzony jest pi. Funkcje
mogą sprawdzać warunek na jednych z elementów par, jeŜeli jest spełniony,
sumować drugie elementy par. W zadaniu mamy zsumować te z pi dla których
xi spełnia określony warunek.
Argumenty funkcji SUMA.ZAKRES, SUMA.WARUNKÓW
• Zakres lub Kryteria_zakres(liczba)– komórki do których odnoszą się
warunki,
• Kryteria lub Kryteria(liczba)– warunek np. „<7” – w domyśle to wartość
z zakresu ma być < 7 (Uwaga: w warunku naleŜy ręcznie wpisywać
liczby - nie moŜna uŜywać formuł ani adresów komórek,)
• Suma_zakres – komórki faktycznie sumowane.
d. Podobnie wypełnij funkcję dystrybuanty – przypomnijmy: .
2. Zmienna losowa przyporządkowuje parze kostek o kształcie czworościanu foremnego
(na ściankach znajduj ą się odpowiedni liczby oczek 0,1,2,3) ich iloczyn. Jakie
wartości moŜe zmienna losowa osiągnąć? Jakie są ich prawdopodobieństwa? W
Arkuszu2 wykonaj tabelkę i podobne obliczenia jak w punkcie pierwszym ( za
wyjątkiem prawdopodobieństw.
a. Odchylenie standardowe jest miarą rozproszenia:
• Oblicz | | • Oszacuj takie aby | | · • ZauwaŜ, Ŝe w kaŜdym z zadań większość (ponad 50%)
prawdopodobieństwa mieści się w odległości nie większej od średniej
niŜ właśnie odchylenie standardowe.
3. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia w 15 rzutach kostką liczby 6 dokładnie k
razy? Jest to zadanie odpowiadające modelowi:
• doświadczenie powtarzamy n-krotnie,
• w kaŜdej próbie mamy takie samo prawdopodobieństwo sukcesu p,
• oczekujemy pewnej liczby sukcesów k.
verte
Rozkład takiego modelu to tzw. rozkład dwumianowy (ROZKŁAD.DWUM(k;n;p;0/1).
b. Liczba_s:
liczba sukcesów – wartości zmiennej losowej –
- odpowiednik xi
c. Próby:
liczba prób (parametr rozkładu dwumianowego)
d. Prawdopod_s:
prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie
(parametr rozkładu dwumianowego)
e. Skumulowany:
Opcja ta występuje przy kaŜdej funkcji rozkładu w Excelu
wartość 1 : uzyskamy wartość dystrybuanty
wartość 0: uzyskamy wartość prawdopodobieństwa lub funkcji
gęstości w zaleŜności od typu rozkładu.
W Arkuszu3 wypełnij tabelę, a następnie narysuj wykresy rozkładu i dystrybuanty (typ
kolumnowy,
4. W jednej z uczelni wyŜszych na podstawie rejestru grupy 90 studentów otrzymano
informacje zgodnie z tabelą w Arkuszu4.
a. Pewne przybliŜenie rozkładu prawdopodobieństwa nieobecności studentów
uzyskamy stosując prawdopodobieństwo klasyczne tzn. przyjmując ,
gdzie to zaobserwowana liczba nieobecności a . Wypełnij w ten
sposób wiersz „prawdopodobieństwo klasyczne”. Wypełnij teŜ dystrybuantę
klasyczną.
b. Omawiane zjawisko ma jednak z reguły rozkład Poissona. Oblicz inne
przybliŜenie rozkładu z wykorzystaniem funkcji ROZKŁAD.POISSON.
Potrzebne będzie policzenie wartości średniej. Oblicz równieŜ dystrybuantę.
Czy róŜnice są duŜe?
5. Najpopularniejszym rozkładem typu ciągłego jest rozkład normalny. Opisuje on
bardzo wiele zjawisk: wagę, temperaturę, inne zjawiska klimatyczne (ale np. nie
wilgotność). W Arkuszu5 Wypełnij tabele, narysuj wykresy, porównaj ich kształty. Aby
obliczyć prawdopodobieństwa wystarczy wiedzieć, Ŝe
, , ! " .
PowyŜsze związki są prawdziwe dla kaŜdej dystrybuanty. JeŜeli mamy dystrybuantę
rozkładu ciągłego to nie ma znaczenia czy nierówność jest słaba, czy silna.
6. W Arkuszu6 narysuj wykres gęstości i dystrybuanty rozkładu # , funkcja
ROZKŁAD.CHI. Parametr stopnie swobody moŜe być liczbą naturalną. Przyjmij
wybraną wartość od 5 do 20. Odpowiedz na pytania:
a. Jakie jest prawdopodobieństwo 0,
b. Czy zachodzi równość 3 & uzasadnij odpowiedź,
c. Czy przy większej liczbie stopni swobody prawdopodobieństwo jest bardziej
skupione przy zerze? Tzn. niech ' ' oznaczają liczby stopni swobody
dwóch rozkładów. Określ znak nierówności ? " jeŜeli
' ) ' !.