pochodne_zastosowanie

Zad.1 Napisać równanie stycznej do krzywych dla x0 : a) y = x + sin x, x0 = 0, b) y = ln x, x0 = e2 .
Zad.2 Napisać równanie stycznej i normalnej do krzywej y = x2x w punkcjie P (1, 1).
√
Zad.3 Napisać równanie stycznych do krzywej y = 3 3 x i równoległych do prostej y = x − 1.
Zad.4 Napisać wzór Taylora rzędu n = 5 ( z wielomianem Taylora stopnia 4) dla funkcji f (x) =
1
x
w x0 = 2.
Zad.5 Napisać wzór Taylora z wielomianem Taylora stopnia 2 dla f (x) = ln x dla x0 = 1.
Zad.6 Wielomian x3 − 3x2 + x − 2 przedstawić jako sumę potęg dwumianu (x + 2).
Zad.7 Podać tw. Rolle’a i sprawdzić, czy podane funkcje spełniają założenia tego twierdzenia:
a) f (x) = x(x2 − 1) na h−1, 1i,
b) f (x) = (|x| − 1)2 na h−1, 1i.
Zad.8 Podać tw. Lagrange’a i wyznaczyć c dla f (x) =
√
x, x ∈ h1, 4i.
Zad.9 Wyznaczyć ekstrema i przedziały monotoniczności funkcji:
a) f (x) = x − arc tg 2x,
e) f (x) =
ln2 x
x ,
√
√
3
3
b) f (x) = x2 · e−x ,
c) f (x) = x2 − 1,
d) f (x) = x2 · e−x ,
√
√
p
1
3
3
f ) f (x) = 2 x5 − 5 x2 + 1, g) f (x) = 3 (x2 − 4)2 , h) f (x) = x · e x ,
Zad.10 Wyznaczyć wartość najmniejszą i największą funkcji na podanych przedziałach (wyznaczyć ekstrema globalne
funkcji):
a) f (x) = x3 − 9x2 + 24x − 10, x ∈ h0, 3i,
√
d) f (x) = 3 6x2 − x3 , x ∈ h−2, 5i
b) f (x) = sin2 x + cos x, x ∈ h0, πi,
c) f (x) =
p
3
(2x − x2 )2 , x ∈ h0, 4i
Zad.11 Wyznaczyć punkty przegięcia oraz przedziały wklęsłości i wypukłości krzywych:
a) y = x3 − 3x2 − 9x + 5,
b) y = earc tg x ,
√
3
c) y = 9 x5 + 5x2 ,
d) y = e
√
3
x
e) y = ln x
Zad.12 Korzystając z różniczki zupełnej obliczyć w przybliżeniu wartości wyrażeń:
a) e0,01 ,
b) ln(0, 99),
c)
√
0, 98 · ln(0, 98),
d)
p
1 + (2, 1)3 ,
e)
4
(2,01)2 .
Zad.13 Obliczyć podane granice stosując regułę de l’Hospitala:
ex − x − 1
,
x→0
x2
arc sin x
π − 2 arc tg x
, d) lim
,
1
x→0
x
ln(1 + x )
x
1
1
h) lim (
− 2 ),
e) lim x ln x,
f ) lim xe−2x ,
g) lim (π − x) tg ,
x→+∞
x→0 x sin x
2
x
x→π − √
x→0+
1
1
1 + x2
i) lim (ctg x − ), j) lim x(e x − 1),
k) lim
,
l) lim xx ,
x→−∞
x→−∞
x→0
x
x
x→0+
1
1
2
tg x
x
x
m) lim (ln x) , n) lim ( arc cos x) , o) lim
(sin x) .
−
x→+∞
x→0+ π
x→ π
2
ln x
,
x→+∞ ln(ln x)
a) lim
b) lim
c) lim
x→+∞
Zad.14 Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji:
a) f (x) =
x2 −3
2x−4 ,
−x
e) f (x) = x + e
b) f (x) =
,
1
x
+ arc tg x,
f ) f (x) = x +
ln(3+x)
,
x
2
c) f (x) = 3− x ,
d) f (x) =
1
g) f (x) = (x + 2) · e x ,
Zad.15 Zbadać przebieg zmienności funkcji i naszkicować wykres funkcji:
a) f (x) =
x3
x−1 ,
b) f (x) = x − arc tg x,
Literatura: K.T. Jankowscy ” Zbiór zadań z matematyki”,
M.Gewert, Z.Skoczylas Analiza
matematyczna 1”.
,
c) f (x) =
x
ln x
1−x3
|x−1| ,