( , )= sin y x t A t k x π π

Wydział Inżynierii Środowiska (IŚ); kierunek IŚ. Lista nr 6 do kursu Fizyka, r. ak. 2014/15.
Lista zawiera zadania przeznaczone do samodzielnego rozwiązania.
Karta przedmiotu:http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/fis.pdf; zasady zaliczenia:http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/zcis.pdf;
zasady zaliczenia egzaminu:http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/zeis.pdf; tabele wzorów:http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/twmis.pdf; ta
lista pod adresem:http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/l2is15.pdf. Studentka/student jest zobowiązana(y) do wydrukowania ww. kartę
przedmiotu, tabelę wzorów, list zadań i przynoszenia tabel i list na zajęcia w portfolio. Lista nr 6 ma na celu zdobycie przez studentów
wiedzy matematyczno-fizycznej oraz nabycie umiejętności rozwiązywania zadań dotyczących drgań i ruchu falowego. Zadania nie
rozwiązane na zajęciach lub krótko omówione mogą być treściami sprawdzianów.
35. Ciało o masie 10 kg wykonuje drgania harmoniczne proste opisane wzorem x(t) =
0,06·cos[3πt + π/3] (użyto jednostki SI). Ile wynosi okres i częstość drgań? Dla chwili t
= 2 s wyznaczyć: przemieszczenie, prędkość, przyspieszenie, energię drgań, fazę i siłę
przyłożoną do ciała.
36. Masa m jest przyczepiona do dwóch sprężyn o stałych sprężystości k1 i k2 (patrz
rysunki obok). W obu przypadkach zostaje ona wychylona z położenia równowagi i puszczona; porusza się bez tarcia. Pokazać, że wykonuje ona ruch harmoniczny prosty o okresach odpowiednio
TA = 2π
m ( k1 + k2 )
m
i TB = 2π
.
k1k2
k1 + k2
37. Jednorodną kulę o masie M i promieniu R podwieszono w punkcie Pivot odległym o d
od jej środka masy, co przedstawia rys.po prawej stronie. Wyznacz częstotliwość małych
drgań kuli wychylonej z położenia równowagi.
38. Na doskonale gładkim stole leży klocek o masie 1 kg. Klocek przymocowany jest
do ściany za pomocą sprężyny o współczynniku sprężystości k=500 N/m (patrz
rysunek po lewej stronie) i zaniedbywalnie małej masie. W klocek ten uderza lecący
poziomo pocisk i grzęźnie w nim. Prędkość pocisku przed zderzeniem wynosi 50
m/s, a jego masa 0,1 kg. Po zderzeniu klocek wraz z uwięzionym w nim pociskiem
wykonuje drgania harmoniczne. Jaka jest energia całkowita tych drgań? O ile zostanie ściśnięta sprężyna? Jaka
będzie amplituda i częstotliwość drgań?
39. Fala poprzeczna y ( x , t ) = A sin (ω ⋅ t − k ⋅ x ) o długości λ = 1,56 m, A = 2·10-5 m biegnie w naciągniętej strunie
o liniowej gęstości masy 10-4 kg/m. Punkty struny przebywają dystans od położenia równowagi do maksymalnego
wychylenia (odkształcenia) w czasie 0,5 ms. Oblicz: okres, częstotliwość, prędkość tej fali, siłę naciągu struny,
maksymalną prędkość i maksymalne przyspieszenie ruchu drgającego dowolnego elementu struny. Napisz jawną
postać matematyczną tej fali stosując jednostki SI.
40. Fala podłużna u( x, t ) = 3 ⋅ 10−6 cos ( 4 ⋅ 103π t − 0,8π x ) biegnie w stalowym pręcie o gęstości masy 7900 kg/m3
i polu przekroju porzecznego 4·10-4 m2. Ile wynosi: a) średnia energia wnoszona przez falę do fragmentu ośrodka
o długości ∆x = 0,001 m, b) średnia moc fali, (c) średnia intensywność fali, (d) średnia gęstość energii fali w pręcie,
(e) ciśnienie, jakie wywiera ta fala na ściankę, do której jest przymocowany pręt, gdy fala odbija się całkowicie od
ściany. Ws-ka: Patrz materiał wykladów lub zad. 12-16 przeznaczone do samodzielnego rozwiązania.
41. A) W skorupie ziemskiej fale podłużne mają prędkość c = 8 km/s a fale poprzeczne c⊥ = 4,5 km/s . Stacja
sejsmograficzna zarejestrowała oba typy fal wywołane trzęsieniem ziemi, przy czym fale podłużne odebrała o 18
min wcześniej. Oszacuj w jakiej odległości od stacji znajdowało się epicentrum trzęsienia ziemi? B) Kamień
wrzucono do głębokiej studni. Po upływie t sekund usłyszano plusk. Czy można wyznaczyć głębokość studni?
Jakie dane są do tego niezbędne?
Wrocław, 25 II 2015
W. Salejda
Zadania do samodzielnego rozwiązania (siłownia umysłowa)
1. Układ złożony z dwóch klocków (m = 1 kg i M = 10 kg; lżejszy klocek spoczywa na
cięższym) i sprężyny (k = 300N/m) ustawiono na poziomej idealnie gładkiej powierzchni.
Współczynnik tarcia statycznego między klockami wynosi 0,4. Dla jakich amplitud ruchu
harmonicznego układu mniejszy klocek pozostanie nieruchomy?
2. Wyprowadź wzór na okres drgań wahadła fizycznego
3. Przy jakiej prędkości samochód poruszający się po drodze z betonowych płyt będzie silnie drgał w kierunku pionowym,
jeśli długość płyty wynosi L, a nacisk na resor, który ugina się o ∆x pod działaniem siły Fx, wynosi N1?
1
4. Pokaż, korzystając z tabeli pochodnych funkcji trygonometrycznych, że rozwiązaniami równanie ruchu drgań
d2 x (t )
harmonicznych prostych
x(t ) = ω02 ⋅ x ( t ) są funkcje: a) x ( t ) = x0 sin (ω0t + ϕ 0 ) , b) x ( t ) = x1 cos (ω0t + α1 ) , gdzie
= ɺɺ
dt 2
x0 , ϕ 0 , x1 , α1 są parametrami wyznaczanymi z warunków początkowych. Przyjmując za rozwiązanie funkcję podaną w a)
wyznacz wartości parametrów x0 , ϕ 0 , jeśli w chwili początkowej t0=0 mamy x ( t0 ) = A i v (t0 ) =
dx ( t )
= V0 .
dt t = t
0
5. Ciężarek o masie m przymocowany do poziomej sprężyny wykonuje ruch drgający harmoniczny poruszając się po idealnie
gładkiej poziomej powierzchni. W czasie t pokonuje drogę d między skrajnymi wychyleniami z położenia równowagi. Ile
wynosi energia mechaniczna tych drgań?
6. Klocek o masie 0,25 kg przymocowany do sprężyny wykonuje na doskonale gładkim stole drgania harmoniczne o energii
całkowitej równej 50 J. Wyznacz wartość energii kinetycznej tego klocka w momencie, gdy jego wychylenie liczone od
punktu równowagi jest równe połowie wartości amplitudy drgań.
7. Ile wynosi okres drgań wahadła matematycznego: a) W windzie jadącej w górę z przyspieszeniem a? b) W windzie jadącej
w dół z przyspieszeniem a?
8. Do końców jednorodnego pręta o dł. L i masie M przytwierdzone są punktowe masy m1 i m2, co pokazuje rysunek po lewej stronie. Wyznacz częstotliwość małych drgań układu wychylonego z położenia
równowagi. Ws-ka. Należy najpierw wyznaczyć odległość d środka masy układu od osi obrotu,
następnie moment bezwładności J całego układu względem tej osi i na końcu częstotliwość.
9. Ciało o masie 0,8 kg jest podwieszono do pionowej sprężyny z k = 42 N/m i zanurzone w cieczy,
która działa na ciało siłą oporu F = −bv = −bxɺ , gdzie b = 0,7 N·s/m. Wyznacz okres drgań tłumionych.
Ile wynosi logarytmiczny dekrement dla tego ruchu? Podaj zależność położenia od czasu x(t), jeśli dla t
= 0, x = 0, a dla t = 1 s, x = 0,12 m. Ws-ka: Przyjąć rozwiązanie w postaci
x ( t ) = A exp( − β t )cos (ω ' t − ϕ ) , gdzie ω ' = ω02 − β 2 , .
10. Rysunek obok przedstawia początkowe położenie wahadła fizycznego, którym jest jednorodny pręt o
masie 0,20 kg. Drgania pręta są tłumione na skutek tarcia w punkcie podwieszenia, a siła oporów jest
proporcjonalna do dθ/dt. Po 8 s od momentu swobodnego puszczenia amplituda zmalało do wartości 5,5o.
Jeśli przyjąć, że x ( t ) = A exp( − β t )cos (ω ' t ) , gdzie ω ' = ω02 − β 2 , , to jaka jest wartość parametru β? Jaki
jest okres drgań?
11. Rysunki poniżej przedstawiają tunele wewnątrz jednorodnej planety o
masie M i promieniu R. Pokazać, że równanie ruchu dla ciała o masie m0 w
2
g
tunelu ma postać równania oscylatora harmonicznego d x (2 t ) = ɺɺ
x (t ) = x ( t ) ,
dt
R
gdzie g — przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni planety, a x oznacza
odległość wskazaną na rysunkach. Oszacować okres oscylacji dla ciała w tunelu we wnętrzu
Ziemi i porównać go z okresem obiegu Ziemi przez satelitę na niskiej orbicie. Szkic
rozwiązania. Na ciało znajdujące się w odległości x (patrz rys) działa siła grawitacyjna
pochodząca od masy m(r) zgromadzona w kuli o promieniu r (patrz rysunek). Wartość tej siły
wynosi F(x) = G m0 m(r) /r2 i jest skierowana do środka Ziemi. Na kierunek tunelu działa siła
F(x)·x/r . Ponieważ m(r) = (4/3)πr3 M/[(4/3)πR3], więc m(r) = r3 ·M/R3 i wartość siły F(x)·x/r =
(G m0 /r2)· r3 ·M/R3 = (G·M/R3)·r = m0·g·r/R, gdzie g = G·M/R2 – przyspieszenie na powierzchni
2
g
planety). Zatem równanie ruchu przyjmuje postać m0 d x (2 t ) = m0 ɺɺ
x (t ) = m0 x ( t ) , z którego
dt
R
wynika, że ω0 = (g/R)1/2 i okres drgań wynosi T = 2π R g .
12. Fala
poprzeczna
biegnąca
w
sznurze
ma
postać
(w
SI)
y( x, t ) = 0,35sin(10π t − 3π x + π /4). Ile wynosi prędkość c i jaki jest kierunek rozchodzenia
się tej fali? Jakie jest wychylenie punktów ośrodka dla t = 0 i x = 0,1 m? Ile wynosi długość i częstość tej fali? Ile wynosi
maksymalna wartość prędkości poprzecznej?
13. Fala podłużna biegnąca w stalowym pręcie o gęstości 7900 kg/m3 i polu przekroju porzecznego 4·10-4 m2 postaci (w SI)
u( x, t ) = 3 ⋅ 10−6 ⋅ cos(4 ⋅ 103π t − 0,8π x ). Ile wynosi średnia energia fali we fragmencie ośrodka o długości ∆x = 0,001 m? Wska: Posłużyć się wzorem 〈∆Emech 〉 = ( ρ S ∆x )(ω A)2 / 2.
14. Ile wynosi średnia moc fali z zadania 23? Ws-ka. Skorzystać ze wzoru 〈∆W 〉 = ρ S ⋅ c(ω ⋅ A)2 / 2.
15. Ile wynosi średnia intensywność fali z zadania 23? Ws-ka: Wykorzystać wzór 〈 I 〉 = ρ ⋅ c ⋅ (ω ⋅ A) 2 / 2.
16. Ile wynosi średnia gęstość energii fali w pręcie z zad. 23? Ws-ka: Stosowny wzór 〈 ρ E 〉 = ρ ⋅ A2ω 2 / 2.
2
d2 x (t ) E
+ x ( t ) = 0,
17. Zagadnienie egzaminacyjne. Równanie ruchu drgań wahadła matematycznego ma postać
dt 2
L
gdzie E jest natężeniem pola grawitacyjnego w miejscu, gdzie wahadło wykonuje ruch drgający.
A1) Dla jakich wartości stałego parametru z funkcja x ( t ) = A ⋅ sin ( z ⋅ t + α ) jest rozwiązaniem
powyższego
równania ruchu?
A2) Jak okres T drgań wahadła matematycznego z A1) zależy od z, a jak od E i długości L wahadła?
A3) Masa Ziemi i jej średni promień wynoszą, odpowiednio, 6·1024 kg i 6400 km. Te same dane dla Marsa są równe
6,4·1024kg i 3400 km. Wyznacz stosunek okresów TZiemi TMarsa drgań wahadeł matematycznych na powierzchniach tych
planet; G=6,7⋅10-11m3/(kg⋅s2).
A4) Załóżmy, że dwa identyczne tłoki rozmieszczone są na powierzchni Ziemi i Marsa i poruszają się pionowo ruchem
harmonicznym. Na poziomych powierzchniach tłoków znajdują się klocki o masach m. Niechaj okresy drgań tłoków wynoszą 2 sek. Dla jakich wartości amplitud drgań tłoków na Ziemi i na Marsie, klocki oderwą się od tłoków?
A5) Na rys. obok przedstawiony jest dźwig burzący, którego kula o masie 1200 kg jest podwieszona na linie o długości
9 m. Potraktuj układ jako wahadło matematyczne i wyznacz okres małych drgań kuli.
A6) Początkowy kąt wychylenia kuli od pionu wynosi 60o (nie jest pokazany na rys. po
prawej stronie). Kula uderza w betonową ścianę burzonego muru, gdy lina tworzy kąt
30o z pionem (moment uderzenia pokazany na rysunku). Zderzenie trwa 0,002 s,
podczas którego praktycznie cała energia kuli jest przekazywana burzonej ścianie
muru, przy czym kula przemieszcza się w murze na odległość 1 cm. Wyznacz średnią
wartość siły z jaką kula podczas takiego uderzenia działa na mur.
A7) Na rys. obok przedstawiony jest pręt o podanych
wymiarach, masie M, który może wykonywać małe drgania wokół punktu zawieszenia O.
Wyznacz okres T małych drgań tego pręta jako funkcję x i L. tj. T(x,L). Dla jakich wartości x
okres T jest najmniejszy?
A8) W latach 80-ych XX wieku nawierzchnię autostrady A-4 stanowiły betonowe płyty każda
o długości L. Przez kilkadziesiąt lat użytkowania, po 1945 r., nawierzchnia uległa znacznym
deformacjom w wyniku pionowych przesunięć płyt oraz ich zużycia w pobliżu styków. Niektórzy
złośliwie nazywali ją "najdłuższymi schodami nowoczesnej Europy". Samochód o masie M wiozący pasażerów o
łącznej masie m, jadący w latach 80-ych XX w. po starej autostradzie A-4, wyposażony w resory o współczynniku
sprężystości K, przy określonej prędkości ruchu
V0 wykonywał w kierunku pionowym drgania o
znacznie większej amplitudzie niż przy
prędkościach ruchu V ≠ V0. Oblicz wartość V0 i
wyjaśnij opisane zjawisko. Obliczenia wykonaj
dla: K = 65 000 N/m, M = 800 kg, M = 230 kg, L
= 7 m. Wynik podaj w km/h.
A9) Poszukiwacze planet pozasłonecznych
twierdzą, że na chwilę obecną odkryli prawie
2000 takich obiektów krążących wokół gwiazdy
(lub gwiazd) innej niż Słońce. Jedna z takich
planet kulistych ma masę trzykrotnie mniejszą
od masy Ziemi a jej promień stanowi 75%
promienia Ziemi. Dla jakiej długości L okres
drgań wahadła matematycznego umieszczonego
na powierzchni tej planety byłby równy 1s?
Więcej o planetach pozasłonecznych m.in. na
stronach: http://astro.berkeley.edu/~echiang/fomalhaut/fom.html; https://sarahaskew.wordpress.com/tag/keck/.
Szukaj samodzielnie za pomocą haseł: planety pozasłoneczne, exoplanets.
Wrocław, 25 II 2015
W. Salejda
3