Elementy teorii gier, Matematyka WPPT semestr zimowy 2013/2014

Elementy teorii gier, Matematyka WPPT
semestr zimowy 2013/2014
III lista zadań
1. Jeśli wartość dolna gry jest równa wartości górnej, mówimy, że gra ma wartość. Zgodnie z twierdzeniem
z wykładu każda gra o sumie zerowej, która ma równowagę, ma też wartość. Implikacja w drugą stronę
nie musi być jednak prawdziwa. Podaj przykład gry o sumie zerowej, w której jeden z graczy ma
skończoną liczbę strategii czystych, drugi przeliczalnie wiele, posiadającej wartość, ale nie mającej
równowagi (nawet w strategiach mieszanych). Uzasadnij, że ma one powyższe własności.
2. Jednym z kluczowych twierdzeń w optymalizacji jest tzw. twierdzenie o dualności dla programowania liniowego. Mówi ono, że wektor x = x∗ minimalizujący funkcję liniową cT x przy ograniczeniach
Ax ­ b, x ­ 0 istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wektor y = y ∗ maksymalizujący funkcję
liniową y T b przy ograniczeniach y T A ¬ c, y ­ 01 . Ponadto cT x∗ = y ∗T b. Pokaż, że twierdzenie von
Neumanna wynika z twierdzenia o dualności.
Uwaga: Nie należy się przejmować tym, że w programie liniowym wartość gry (jako jedna ze zmiennych) musi być nieujemna.
3. Znajdź wartość dolną i górną oraz strategie bezpieczeństwa w strategiach czystych, a następnie równowagę oraz wartość (to, jaka będzie, wynika z twierdzenia z wykładu) w strategiach zrandomizowanych
dla gry macierzowej o macierzy wypłat pierwszego gracza


1 −3 −2 4
2 −1 3  .
(a) A =  3
−1
5
3 2


0 4
2
0
 1 0
5
2 
.
(b) A = 
 −1 3 −3
3 
−1 2
0 −2
4. (a) Pokaż dla gry dwumacierzowej, że dowolna kombinacja wypukła jej równowag Nasha (traktowanych jako rozkłady prawdopodobieństwa na produkcie zbiorów strategii czystych graczy, tzn.
jeśli µ = (µ1 , . . . , µn ) i σ = (σ1 , . . . , σm ) są równowagą, rozważamy rozkład prawdopodobieństwa
na produkcie pij = µi σj ) jest równowagą skorelowaną w tej grze. (Czyli, innymi słowy, dowolna
równowaga skorelowana z publicznymi sygnałami jest równowagą skorelowaną).
(b) Rozważ grę dwumacierzową z macierzami wypłat
4 1
4 5
A=
, B=
.
5 0
1 0
Znajdź dla niej wszystkie równowagi Nasha. Następnie pokaż (zapisując warunki na to, że rozkład
prawdopodobieństwa jest równowagą skorelowaną, i znajdując rozkład, który spełnia te warunki,
a nie jest kombinacją wypukłą równowag Nasha), że istnieją w niej równowagi skorelowane, które
nie są równowagami skorelowanymi z publicznymi sygnałami.
Wskazówka: Załóż np., że dla tego rozkładu p11 > 0, a p22 = 0.
5. Pokaż, że jeśli równowaga skorelowana jest miarą produktową (czyli jeśli jest postaci pij = µi σj dla
jakichś rozkładów prawdopodobieństwa na zbiorach strategii graczy µ i σ), to µ i σ są równowagą
Nasha.
6. (a) Pokaż, że jeśli w grze dwumacierzowej wiersz i jest silnie zdominowany, to w dowolnej równowadze
skorelowanej p∗ , p∗ij = 0 dla dowolnego j (czyli przy szukaniu równowag skorelowanych również
można wykreślić zdominowane wiersze i kolumny).
(b) Korzystając z tej własności, znajdź wszystkie równowagi skorelowane w grze dwumacierzowej z
macierzami wypłat graczy




4
0
3
0 3
1
5 −1  , B =  1 0 −1  .
A= 0
2 −1
2
3 2
5
Wskazówka: Zapisz odpowiednie nierówności i pokaż, że mają tylko jedno rozwiązanie.
1A
jest tutaj macierzą m × n, b wektorem długości m, c – wektorem długości n.