plik - pdf - Politechnika Białostocka

System M/M/1/L
System ten w odró nieniu do wcze niej omawianych systemów posiada kolejk .
Jednak jest ona ograniczona, jej maksymalna pojemno
Maksymalnie w systemie mo e znajdowa
si
L jest warto ci sko czon L<∞.
L + 1 zgłosze , z czego jedno b dzie
obsługiwane a pozostałe L b dzie oczekiwa w kolejce. Zgłoszenia napływaj ce w czasie,
gdy jest „pełny” otrzymuj odmow obsługi i odchodz nieobsłu one, przy czym nie ma to
wpływu na przebieg procesów w systemie. Zgłoszenia ju obsłu one i te, które otrzymały
odmow , natychmiast opuszczaj system.
W danej chwili system jest w stanie k, je li liczba znajduj cych si w nich zgłosze
jest równa k.
Stany systemu:
H0 – brak zgłosze w systemie,
H1 – jedno zgłoszenie w systemie (zgłoszenie jest obsługiwane),
H2 – dwa zgłoszenia w systemie (jedno zgłoszenie jest obsługiwane, a drugie czeka w
kolejce),
…
HL – L zgłosze w systemie (jedno zgłoszenie jest obsługiwane i L – 1 znajduje si w
kolejce).
HL+1 – L +1 zgłosze w systemie (jedno zgłoszenie na stanowisku obsługi i L w
kolejce; ka de przybyłe w tym czasie zgłoszenie jest tracone).
Graf stanów:
H0 µ1 λ0 H1 µ2
λ1 H2 µ3 λ2
…
µL+1 λL HL+1
Je li zało ymy, e λ0 = λ1 = λ2 = Lλ L = λ oraz µ1 = µ 2 = L = µ L +1 = µ to:
Qi =
λi
= ρ i dla i = 1, 2, …, L+1 oraz Q0 = 1 .
µi
Prawdopodobie stwo, e w systemie w danej chwili jest i zgłosze obliczmy stosuj c
nast puj cy wzór: pi =
ρi
L +1
j =0
ρ
dla i = 0, 1, …, L+1.
j
Po uproszczeniu tego wzoru otrzymujemy: pi = p0 ⋅ ρ i , gdzie p0 =
1− ρ
.
1 − ρ L+2
L +1
Suma prawdopodobie stw w poszczególnych stanach jest równa jeden:
i =0
pi = 1 .
Charakterystyki systemu:
Prawdopodobie stwo
straty
zgłoszenia,
czyli
prawdopodobie stwo
tego,
e
poczekalnia si zapełni, a przybyłemu zgłoszeniu system odmówi obsługi (zostanie
utracone): p str = p L +1 =
ρ L+1 (1 − ρ )
.
1 − ρ L+2
Prawdopodobie stwo obsługi zgłoszenia, czyli prawdopodobie stwo tego,
e
stanowisko obsługi b dzie wolne lub b dzie wolne miejsce w poczekalni:
pobs = 1 − pstr =
rednia
długo
1 − ρ L +1
.
1 − ρ L+2
kolejki
(kolejka
v = 1 ⋅ p 2 + 2 ⋅ p 2 + L + L ⋅ p L +1 =
rednia liczba zgłosze
zaczyna
si
tworzy
od
stanu
H2):
ρ 2 [1 + ρ L ( L ρ − ( L + 1)) ] .
(1 − ρ L + 2 )(1 − ρ )
na stanowisku obsługi (stanowisko obsługi jest zaj te w
stanach od H1 do HL+1): l = 1 ⋅ p1 + 1 ⋅ p 2 + L + 1 ⋅ p L +1 = 1 ⋅ (1 − p0 ) =
ρ (1 − ρ L+1 )
.
1 − ρ L+2
rednia liczba zgłosze znajduj cych si w systemie, czyli zgłoszenia w kolejce oraz
zgłoszenie obsługiwane w danej chwili (stany od H1 do HL+1):
n = 1⋅ p1 + 2 ⋅ p2 + L + ( L + 1) ⋅ pL+1 =
L +1
i =1
ipi =
ρ [1 − ( L + 2) ρ L+1 + ( L + 1) ρ L+2 ]
= v +l
(1 − ρ )(1 − ρ L+2 )
redni czas pobytu zgłoszenia w kolejce, czyli czas jaki zgłoszenie sp dza w kolejce
zanim zostanie obsłu one:
ρ [1 + ρ L ( Lρ − (L + 1))] v
w = p1 ⋅ + p2 ⋅ + L+ pL ⋅ + pL+1 ⋅ 0 =
pi =
=
µ
µ
µ
µ (1 − ρ )(1 − ρ L+2 )
λ
i =1 µ
1
2
L
L
i
redni czas obsługi zgłoszenia na stanowisku obsługi: s = pobs ⋅
1
µ
=
1 − ρ L+1 1 l
⋅ =
1 − ρ L+2 µ λ
redni czas pobytu zgłoszenia w systemie, czyli suma czasu pobytu zgłoszenia w
kolejce i czasu jego obsługi: q = w + s =
1
n
1 1 − ( L + 2) ρ L +1 + ( L + 1) ρ L + 2
= 1.
L+2
µ
λ
(1 − ρ )(1 − ρ )
Por. Walenty Oniszczuk: Metody modelowania, Politechnika Białostocka, Białystok 1995, s. 41 – 46
Przykład
„Gabinet dentystyczny”
Pewien dentysta posiada gabinet z poczekalni , w której s trzy miejsca. W ci gu
godziny do gabinetu przychodzi rednio 2 pacjentów. rednio jeden pacjent jest obsługiwany
przez 20 minut. Zakładamy, e pacjenci przychodz do gabinetu niezale nie od siebie, a
ost py mi dzy pojawianiem si kolejnych zgłosze i czasy ich obsługi mo na przybli y
rozkładowi wykładniczemu. Nale y dokona dokładnej analizy działania opisanego systemu2.
Zadany system jest systemem z markowowskimi procesami przybywania zgłosze do
systemu i ich obsługi, posiada ograniczon poczekalnie i jedno stanowisko obsługi.
Jest to zatem system M/M/1/L, gdzie L = 3.
rednia intensywno
λ wynosi 2 zgłoszenia w ci gu
napływu nowych zgłosze
godziny, zatem λ0 = λ1 = λ2 = λ3 = λ = 2
rednio czas trwania obsługi jednego zgłoszenia
zatem rednia intensywno
obsługi zgłosze
1
µ
trwa 20 minut, czyli
1
godziny,
3
µ wynosi 3 zgłoszenia na godzin
oraz µ1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 = µ = 3 .
System mo e znajdowa si w czterech stanach:
- H0 – brak zgłosze (gabinet i poczekalnia s puste);
- H1 – jedno zgłoszenie w systemie (dentysta obsługuje klienta a w poczekalni nie ma
nikogo);
- H3 – dwa zgłoszenia w systemie (dentysta obsługuje klienta i w poczekalni czeka
jeden klient);
- H4 – trzy zgłoszenia w systemie (dentysta obsługuje klienta i w poczekalni czeka
dwóch klient), ka de przybyłe w tym czasie zgłoszenie jest tracone;
H0 µ1 λ0 H1 µ2
λ1 H2 µ3 λ2 H3 µ4 λ3 H4
Prawdopodobie stwa stanów:
Por. Tadeusz Czachórski: Modele kolejkowe systemów komputerowych, Wydawnictwo Politechniki l skiej,
Gliwice 1999, s. 71 - 72
2
Por. Walenty Oniszczuk: Metody modelowania, Politechnika Białostocka, Białystok 1995, s. 75
p0 =
1
4
k =0
=
Qk
1
1+
2 4 8 16
+ +
+
3 9 27 81
=
1
81
=
211 211
81
81 2 54
⋅ =
211 3 211
81 4 36
p2 = p0 ⋅ Q2 =
⋅ =
211 9 211
81 8
24
p3 = p0 ⋅ Q3 =
⋅
=
211 27 211
81 16 16
p4 = p0 ⋅ Q4 =
⋅ =
211 81 211
p1 = p0 ⋅ Q1 =
4
i =0
pi =
81
54
36
24
16 211
+
+
+
+
=
= 1.
211 211 211 211 211 211
Prawdopodobie stwo odmowy obsługi pacjenta: p str = p4 =
16
.
211
rednia liczba pacjentów oczekuj cych na obsług :
v = 1⋅ p1 + 2 ⋅ p2 + 3 ⋅ p3 + 4 ⋅ p4 =
54 72 72 64 262
51
+
+
+
=
=1
.
211 211 211 211 211
211
rednia liczba pacjentów obsługiwanych (zgłosze
l = 1⋅ p1 + 1⋅ p2 + 1⋅ p3 + 1⋅ p4 =
na stanowisku obsługi):
54 36 24 16 130
.
+
+
+
=
211 211 211 211 211
rednia liczba klientów u dentysty (w gabinecie i poczekalni): n = l + v =
redni czas oczekiwania na obsług (w godzinach): w =
v
λ
=
131
211
392
171
=1
.
211
211
redni czas, po jakim pacjent opuszcza gabinet (czas obsługi i oczekiwania na ni ):
q=
n
λ
=
196
.
211
Obserwuj c rozkład prawdopodobie stw mo emy stwierdzi , e nasz dentysta nie ma
zbyt wielu klientów. Najbardziej prawdopodobne jest to,
e gabinet b dzie pusty.
Prawdopodobie stwo odmowy zabiegu jest niewielkie i wynosi
16
≈ 0.075 , czyli ok. 7%
211
przybywaj cych pacjentów nie zostaje obsłu ona.
rednia liczba pacjentów w gabinecie wynosi
392
≈ 1.86 , mo emy wi c stwierdzi , e
211
zwykle u dentysty jest tylko dwóch pacjentów – jeden obsługiwany
oczekuj cy w kolejce
262
≈ 1.24 . Zwykle pacjenci musz
211
130
≈ 0.62
211
czeka
jeden
na obsług
131
≈ 0.62 godziny, czyli ok. 37 minut, zatem sp dzaj u dentysty około godziny.
211
Zadania
1. Przechwytywanie obrazu
Na komputerze przechwytywany jest obraz z karty telewizyjnej ze redni szybko ci
n
klatek/sekund .
Obraz
jest
zapisywany
w
postaci
skompresowanej.
Program
przechwytuj cy ma ustawiony bufor na nieskompresowane klatki. Mo e on pomie ci L
klatek. rednio czas kompresowania pojedynczej klatki trwa m milisekund. Zakładamy, e
procesy napływu klatek i ich kompresji s
procesami markowowskimi. Oblicz
prawdopodobie stwo skompresowania klatki i jej utracenia, redni liczb kompresowanych
klatek i redni liczb klatek znajduj cych si w buforze, redni liczb traconych klatek,
redni czas, jaki upływa od chwili przechwycenia klatki do momentu uko czenia jej
kompresji, obci enie komputera (systemu), je eli:
a) n = 25; L = 5; m = 4.16, 4, 3.85, 3.7, 3.57;
b) n = 25; L = 10; m = 3.85, 3.7, 3.57, 3.45, 3.3;
c) n = 30; L = 25; m = 4.16, 3.85, 3.57, 3.45, 3.3;
d) n = 30; L = 5, 10, 15, 20, 30; m = 4;
e) n = 25; L = 10, 15, 20, 25, 30; m = 3.7;
f) n = 30; L = 5, 15, 25, 30, 35; m = 3.85;
Przedstaw wyniki graficznie.
1. Gabinet kosmetyczny
Działanie pewnego gabinetu kosmetycznego mo emy opisa
modelem M/M/1/L.
W ci gu o miogodzinnego dnia pracy przybywa rednio n klientek. Jedna klientka sp dza na
rednio m minut. Oblicz prawdopodobie stwa stanów systemu,
fotelu
redni
liczb
oczekuj cych na zabieg klientek oraz redni czas jaki ka da z nich musi czeka na obsług ,
redni liczb klientek w gabinecie (w systemie), redni czas, jaki klientka musi sp dzi w
gabinecie (w systemie), obci enie kosmetyczki.
a) n = 20; L = 2; m = 10, 15, 20, 25, 30;
b) n = 12; L = 1; m = 15, 18, 20, 23, 25;
c) n = 10, 12, 14, 16,18; L = 1; m = 20;
d) n = 8, 9, 10, 11, 15; L = 2; m = 25;
e) n = 25; L = 1, 2, 3, 4, 5; m = 10;
f) n = 10; L = 1, 2, 3, 4, 5; m = 15;
Przedstaw wyniki graficznie.
2. Stacja benzynowa z dystrybutorem gazu
Pewna stacja benzynowa posiada jeden dystrybutor gazu, do którego maksymalnie
mo e si
zatankowa
ustawi
gaz.
L pojazdów. Dziennie na stacj
przyje d a rednio n klientów, aby
rednio jeden pojazd jest obsługiwany przez m minut. Oblicz
prawdopodobie stwa stanów systemu, redni liczb oczekuj cych pojazdów nap dzanych
gazem oraz redni czas, jaki musz sp dzi na stacji zanim zostan obsłu eni. Jakie jest
prawdopodobie stwo, e klient zastanie wolny dystrybutor? Jakie jest prawdopodobie stwo,
e nie b dzie miejsca w kolejce?
a) n = 100; L = 2; m = 1, 1.5, 2, 2.5, 3;
b) n = 200; L = 4; m = 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5;
c) n = 110, 120, 140, 160,180; L = 3; m = 1.5;
d) n = 280, 290, 310, 320, 350; L = 5; m = 1.2;
e) n = 250; L = 2, 3, 4, 5,6; m = 1.3;
f) n = 110; L = 1, 2, 3, 4, 5; m = 2.5;
Przedstaw wyniki graficznie.