Ćwiczenia z Matematyki I dla studentów Zarządzania

Ćwiczenia z Matematyki I dla studentów
Zarządzania
1
Ciągi
Zadanie 1. Oblicz granice ciągów
n2 +2n−7
a) an = −5+n−3n
2,
√
b) an = n2 + 2n − n,
2n
c) an = 1 + n2
.
Zadanie 2. Oblicz granice ciągów
a) an = −2n+1
2+3n ,
√
b) an = n 5 · 3n + 3 · 2n + 1,
n
c) an = (−1)
2n+3 .
Zadanie 3. Oblicz granice ciągów
2n
n+1
a) an = n−1
,
n
n
2·3 −2
b) an = 3·2
n +5·3n ,
√
n
c) an = 3n3 + 2n2 + 1.
Zadanie 4. Oblicz granice ciągów
2n2 +n−3
a) an = −3n
,
√ 2 +n−2 √
b) an = √n2 + 5n − n2 + n + 1,
c) an = n 3n + 5 · 22n − 1.
2
Granice funkcji
Zadanie 5. √Oblicz granice
√ funkcji
11 + x − 7 − x
a) lim
,
x→−2
x+2
2x
b) lim
,
x→0 tg x
sin x
c) lim 2
.
x→∞ x + 1
1
Zadanie 6. Oblicz granice funkcji
x−1
√
a) lim √
,
x→1
x+3− 5−x
b) lim x ln x,
x→0+
1 − cos2 x
.
x→0
2x2
c) lim
Zadanie 7. Oblicz granice funkcji
a) lim xx ,
x→0+√
5x − 1 − (x + 1)
b) lim
,
x→1
x−1
x2
c) lim x .
x→∞ e
Zadanie 8. Oblicz granice funkcji
x−2
a) lim √
,
x→2
x + 2 − (4 − x)
ex − e−x
b) lim
,
x→0
x
1
c) lim x x .
x→+∞
3
Asymptoty
Zadanie 9. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji
2x2 − 1
.
x+1
f (x) =
Zadanie 10. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji
f (x) =
x2 + 1
.
x−1
Zadanie 11. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji
f (x) =
2x2 + 1
.
3x − 2
Zadanie 12. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji
x
f (x) = xe x−1 .
4
Zastosowania rachunku różniczkowego
Zadanie 13. Zbadaj monotoniczność i wyznacz wszystkie ekstrema lokalne
funkcji
p
f (x) = x2 + 1.
2
Zadanie 14. Wyznacz ekstrema lokalne i zbadaj monotoniczność funkcji
f (x) = ln 1 − x2 .
Zadanie 15. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji
f (x) = 2x3 + 3x2 − 12x − 5
w przedziale h−3; 2i.
Zadanie 16. Wyznacz ekstrema lokalne i zbadaj monotoniczność funkcji
p
f (x) = ln 1 − x2 .
Zadanie 17. Wyznacz wszystkie ekstrema lokalne i zbadaj monotoniczność
funkcji
f (x) = x2 ln x.
Zadanie 18. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji
f (x) = 2x3 − 9x2 + 12x − 1
w przedziale h0; 3i.
Zadanie 19. Zbadaj monotoniczność i wyznacz wszystkie ekstrema lokalne
funkcji
x−1
f (x) = √ .
x x
Zadanie 20. Zbadaj monotoniczność i wyznacz wszystkie ekstrema lokalne
funkcji
−2
f (x) = xe x .
Zadanie 21. Zbadaj monotoniczność i wyznacz wszystkie ekstrema lokalne
funkcji
p
x−2
f (x) = 2 4x − x2 − arc sin
.
2
Zadanie 22. Zbadaj monotoniczność i wyznacz wszystkie ekstrema lokalne
funkcji
x
f (x) = √
.
ln x − 1
Zadanie 23. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji
f (x) = ln3 x − 3 ln2 x + 2
w przedziale he; e3 i.
Zadanie 24. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji
f (x) = arctg
w przedziale h0; 2i.
3
2−x
2+x
Zadanie 25. Zbadaj wklęsłość-wypukłość funkcji
f (x) = ln 4 + x2
oraz wyznacz punkty przegięcia wykresu tej funkcji.
Zadanie 26. Zbadaj wklęsłość-wypukłość funkcji
x
f (x) =
1 − ln x
oraz wyznacz punkty przegięcia wykresu tej funkcji.
Zadanie 27. Zbadaj wklęsłość-wypukłość funkcji
f (x) =
ex
2
(x + 1)
oraz wyznacz punkty przegięcia wykresu tej funkcji.
Zadanie 28. Zbadaj wklęsłość-wypukłość funkcji
√
f (x) = x 2 − ln x
oraz wyznacz punkty przegięcia wykresu tej funkcji.
5
Układy równań liniowych
Zadanie 29. Rozwiąż układ równań

−y
 x
−y

−2x +y
+2z
+3z
−z
= −1
=1
.
=3
Zadanie 30. Rozwiąż układ równań

 x +2y
−y

2x +3y
+z
+z
+3z
=3
= −2 .
=4
Zadanie 31. Rozwiąż układ równań

y
−z

x +2y

x
+2z
Zadanie 32. Rozwiąż układ równań

y

−2x

−2x −2y
+u
+u
−u
+z
+3z
+z
Zadanie 33. Rozwiąż układ równań

 x −2y +z
y
+z

2x −3y +3z
4
=1
= −1 .
= −3
=2
=3
.
= −1
−u
+3u
+u
= −1
=4
.
=2