Wykład jedenasty Prawo Wielkich Liczb i Twierdzenia Graniczne

Wykład jedenasty
Prawo Wielkich Liczb i Twierdzenia Graniczne
Niech (Xi )ni=1 b˛edzie ciagiem
˛
niezależnych zmiennych losowych o tych samych rozkładach. Twierdzenia
graniczne mówia˛ o zachowaniu si˛e sumy X1 + X2 + · · · + Xn .
Dotychczas poznaliśmy nast˛epujace
˛ twierdzenia dotyczace
˛ sum zmiennych losowych:
1. Jeśli (Xi )ni=1 sa˛ niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach zero-jedynkowych takich, że
P (Xi = 1) = p ∈ (0; 1), P (Xi = 0) = 1 − p,
to zmienna losowa Sn = X1 + · · · Xn ma rozkład B(n, p).
2. Jeśli zmienna losowa Sn ma rozkład B(n, p), to dla małych wartości p
lim P (Sn = k) = e−λ ·
n→∞
λk
,
k!
gdzie λ = n · p.
Twierdzenie 1. Prawo Wielkich Liczb Bernoulliego
Jeśli zmienna losowa Sn ma rozkład B(n, p), to dla każdego ε > 0
Sn
lim P | − p| 6 ε = 1.
n→∞
n
Powyższe twierdzenie mówi, że jeśli Sn jest liczba˛ sukcesów w n doświadczeniach Bernoulliego, z
prawdopodobieństwem sukcesu w jednej próbie równym p, to przy n → ∞ cz˛estość pojawienia si˛e
Sn
sukcesu, czyli
zbiega do p.
n
1. Rzucajac
˛ wielokrotnie symetryczna˛ moneta,˛ cz˛estość wypadni˛ecia orła (reszki) stabilizuje si˛e w
1
pobliżu ;
2
1
2. Rzucajac
˛ wielokrotnie kostka˛ cz˛estość wypadni˛ecia szóstki b˛edzie w przybliżeniu równa .
6
˛
Twierdzenie 2. Centralne Twierdzenie Graniczne Lindeberga-Levy’ego Niech (Xi )ni=1 b˛edzie ciagiem
2
niezaleP
żnych zmiennych losowych o takim samym rozkładzie takich, że EXi = m, V Xi = σ . Niech
Yn = ni=1 Xi . Wtedy dla dowolnego t ∈ R
Yn − n · m
√
lim P
6 t = Φ(t),
(1)
n→∞
σ· n
gdzie Φ jest dystrybuanta˛ rozkładu N (0, 1).
Wniosek.
PnJeśli spełnione sa˛ założenia powyższego twierdzenia, to dla du2 żych n zmienna losowa
Yn =
k=1 Xk ma w przybliżeniu rozkład normalny N n · m, n · σ . To oznacza, że zmienna
Yn − n · m
losowa √
ma w przybliżeniu rozkład normalny N (0, 1) i dla a < b
n·σ
a−n·m
Y −n·m
b−n·m
b−n·m
a−n·m
√
√
√
< √
< √
≈Φ
−Φ
.
P (a < Y < b) = P
nσ
nσ
nσ
nσ
nσ
1
Twierdzenie 3. Twierdzenie Moivre’a-Laplace’a
Jeśli (Xi )ni=1 jest ciagiem
˛
niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie zero-jedynkowym
Pn takim, że
P (Xi = 1) = p ∈ (0; 1), P (Xi = 0) = 1 − p dla każdego i = 1, . . . n oraz Sn = i=1 Xi , to dla
dowolnego t ∈ R
!
Sn − n · p
6 t = Φ(t).
lim P p
n→∞
n · p · (1 − p)
Wniosek.
Pn Jeśli spełnione sa˛ założenia powyższego twierdzenia, to dla dużych n zmienna losowa
Yn = k=1 Xk ma w przybliżeniu rozkład normalny N (n · p, n · p · (1 − p)). To oznacza, że zmienna
Yn − n · p
losowa p
ma w przybliżeniu rozkład normalny N (0, 1) i dla a < b
n · p · (1 − p)
!
Y −n·p
b−n·p
a−n·p
<p
<p
≈
P (a < Y < b) = P p
n · p · (1 − p)
n · p · (1 − p)
n · p · (1 − p)
≈Φ
b−n·p
!
p
n · p · (1 − p)
−Φ
a−n·p
p
n · p · (1 − p)
!
.
Przykład 1. Edi zbiera złom i sprzedaje. Dziennie udaje mu si˛e zarobić średnio 20zł, z odchyleniem
standardowym 10zł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przez 180 dni uda mu si˛e zarobić pona 3500zł?
Niech Xi -kwota zarobiona w i-tym dniu, gdzie i = 1, 2, . . . , 180. Wtedy X1 , . . . , X180√
sa˛ niezależnymi
zmiennymi losowymi o takim samym rozkładzie, w którym m = EXi = 20, σ = V Xi = 10. Z
180
X
Centralnego Twierdzenia Granicznego wynika, że zmienna losowa Y180 =
Xi ma w przybliżeniu
i=1
rozkład N (180 · 20, 180 · 100). Ostatecznie wi˛ec
P (Y180
3500 − 3600
√
> 3500) = 1 − P (Y180 6 3500) ≈ 1 − Φ
180 · 10
≈ 1 − Φ(−0, 75) = 1 − (1 − Φ(0, 75)) = Φ(0, 75) = 0, 7734.
Przykład 2. Przy pisaniu sms’a prawdopodobieństwo popełnienia bł˛edu przy pisaniu jednego znaku
jest równe 0, 15. Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczba popełnionych bł˛edów przy pisaniu wiadomości złożonej ze 160 znaków należy do przedziału (20; 28)? (bł˛edy popełniane sa˛ niezależnie od
siebie).
Niech
Xi =
1 ,
0 ,
przy pisaniu i-tego znaku popełniono blad
˛
,
przy pisaniu i-tego znaku nie popełniono bl˛edu
gdzie i = 1, . . . , 160. Wtedy zmienne X1 , . . . , X160 maja˛ rozkłady zero-jedynkowe takie, że
P (Xi =P1) = 0, 15 = p. Z twierdzenia Moivre’a-Laplace’a wynika, że zmienna losowa
Y160 = 160
i=1 Xi ma w przybliżeniu rozkład normalny N (160 · 0, 15, 160 · 0, 15 · 0, 85). Zatem
20 − 160 · 0, 15
28 − 160 · 0, 15
−Φ √
P (20 < Y160 < 28) ≈ Φ √
160 · 0, 15 · 0, 85
160 · 0, 15 · 0, 85
≈ Φ(0, 89) − Φ(−0, 89) = Φ(0, 89) − (1 − Φ(0, 89)) = 2 · Φ(0, 89) − 1 = 2 · 0, 8133 − 1 = 0, 6266.
2
Przykład 3. Na konferencj˛e naukowa˛ zaproszono 120 osób. Szacuje si˛e, że prawdopodobieństwo, iż
zaproszona osoba rzeczywiście przyb˛edzie na konferencj˛e wynosi 0, 8. Ile co najmniej filiżanek trzeba
przygotować, aby z prawdopodobieństwem 0, 95 każdy z uczestników konferencji mógł napić si˛e kawy
lub herbaty?
Niech
Xi =
1 ,
0 ,
i-ta osoba przyb˛edzie
,
i-tej osoby nie b˛edzie
gdzie i = 1, . . . , 120. Wtedy zmienne X1 , . . . , X120 maja˛ rozkłady zero-jedynkowe takie, że
P (Xi =P1) = 0, 8 = p. Z twierdzenia Moivre’a-Laplace’a wynika, że zmienna losowa
Y120 = 120
i=1 Xi ma w przybliżeniu rozkład normalny N (120 · 0, 8, 120 · 0, 8 · 0, 2).
Należy znaleźć takie M , dla którego P (Y120 6 M ) = 0, 95. Po narysowaniu wykresu g˛estośco
rozkładu normalnego widać, że aby powyższe prawdopodobieństwo nogło wynosić 0, 95, musi być
M > 120 · 0, 8. Zatem
P (Y120 6 M ) ≈ Φ
M − 120 · 0, 8
√
120 · 0, 8 · 0, 2
=Φ
M − 96
√
19, 2
.
Ponieważ M > 96, wi˛ec odczytujemy z tablic funkcji Φ wartość x, dla której Φ(x) = 0, 95. Dostajemy
√ −96 = 1, 64, co oznacza, że M = 103, 19. Należy wi˛
Φ(1, 64) ≈ 0, 95. Zatem M
ec przygotować co
19,2
najmniej 104 filiżanki.
3