rozkład gamma
Transkrypt
rozkład gamma
Przykłady rozkładów zmiennych losowych. Rozkłady dyskretne Zmienna losowa X ma rozkład jednopunktowy ⇔ P ( X = x 0 ) = 1 ∧ P ( X ≠ x0 ) = 0 . Zmienna losowa X ma rozkład dwupunktowy ⇔ ∃ 0 < p < 1 : P( X = x1 ) = p, P( X = x2 ) = 1 − p . Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy (Bernoulliego) ⇔ n n−k ∃ n ∈ N , 0 < p < 1: P ( X = k ) = p k (1 − p ) dla k ∈ {0,..., n}. k Zmienna losowa X ma rozkład geometryczny ⇔ k −1 ∃ 0 < p < 1: P( X = k ) = p(1 − p ) dla k = 1,2,3,... Zmienna losowa X ma rozkład hipergeometryczny ⇔ n M − n k m − k ∃ n, m, M ∈ N (M ≥ m ) : P ( X = k ) = dla k ∈ {0,..., m} M m Zmienna losowa X ma rozkład Poissona ⇔ ∃ λ > 0: P ( X = k ) = λ k k! e −λ dla k = 0,1,2,... Rozkłady ciągłe. Zmienna losowa X ma rozkład prostokątny (jednostajny) ⇔ 1 dla x ∈ a; b , ∃ a, b ∈ R : a < b ∧ f ( x ) = b − a 0 dla x < a ∧ x > b. Zmienna losowa X ma rozkład Cauchy’ego ⇔ ∀x∈R f (x ) = 1 1 . π 1+ x2 ⋅ Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy ⇔ dla x ≤ 0, 0 ∃ λ > 0 : f ( x ) = −λx dla x > 0. λe Zmienna losowa X ma rozkład normalny (Gaussa) ⇔ (x − m)2 1 ⋅ exp − 2 2 σ σ 2π ∃m ∈ R, σ > 0: f (x) = Zmienna losowa χ 2 ma rozkład o gęstości danej wzorem 1 1 − x n −1 1 2 2 e x 1 n 1 k n ( x ) = 2 2 Γ n 2 0 dla x > 0, dla x ≤ 0. Zmienna losowa X ma rozkład gamma ⇔ x − a b x e ∃ a, b > 0 : f ( x ) = 0 Γ(a + 1)b a+1 dla x > 0, 0 dla x ≤ 0. Uwaga. ∞ 1 Γ( x ) := ∫ e −t t x −1 dt , dla x > 0 ⇒ Γ( x + 1) = xΓ( x ), Γ = π . 2 0