Rachunek prawdopodobienstwa i statystyka Z2 1. Wiadomo, ˙ze na

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Z2
1. Wiadomo, że na pytanie nr 5 w pewnej ankiecie prawdziwa˛ odpowiedź daje 80% m˛eżczyzn i 90% kobiet.
Na jednym z arkuszy nie zaznaczono płci respondenta. Wiedzac,
˛ że 60% arkuszy tej ankiety wypełnili
m˛eżczyźni, a reszt˛e kobiety, wyznaczyć prawdopodobieństwo, że odpowiedź na pytanie nr 5 we wspomnianym arkuszu jest prawdziwa.
2. Po upływie pewnego czasu T każda komórka może zginać,
˛ przeżyć albo podzielić si˛e na dwie z prawdopodobieństwami odpowiednio: 1/4, 1/4, 1/2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że po upływie czasu
2T b˛eda˛ dwie komórki, jeśli na poczatku
˛ była jedna komórka?
3. Prawdopodobieństwo, że pacjent przeżyje pewna˛ operacj˛e transplantacji jest równe 0, 55. Prawdopodobieństwo,
że organizm pacjenta, który przeżył operacj˛e transplantacji odrzuci przeszczepiony narzad
˛ w ciagu
˛ miesiaca
˛
jest równe 0, 2. Jakie jest prawdopodobieństwo przeżycia obu tych krytycznych etapów leczenia?
4. Sa˛ dwie urny. W pierwszej jest 5 kul białych i 5 czarnych, w drugiej 3 białe i 7 czarnych. Z pierwszej
urny wyj˛eto jedna˛ kul˛e i przełożono do drugiej urny. Nast˛epnie z drugiej urny wylosowano jedna˛ kul˛e.
Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że z drugiej urny wylosowano biała˛ kul˛e?
5. Test na obecność pewnego wirusa w organizmie człowieka daje poprawna˛ odpowiedź w 90% przypadków,
gdy wirus jest rzeczywiście obecny, i w 70% przypadków, gdy wirus nie jest obecny. W przypadku
pewnego pacjenta wynik testu był:
(a) pozytywny (test wskazał obecność wirusa w organizmie pacjenta);
(b) negatywny.
Wiedzac,
˛ że na 100 osób w całej populacji wirusem zarażona jest jedna osoba, obliczyć prawdopodobieństwo,
że pacjent jest zarażony.
6. Pan Olgierd może mieć i synów, i = 0, 1, . . . , 4, z prawdopodobieństwami równymi odpowiednio:
p0 = 0.4, p1 = p2 = 0.2, p3 = p4 = 0.1. Każdy z tych synów może mieć i synów z tymi samymi
prawdopodobieństwami, niezależnie od ojca i braci. Obliczyć prawdopodobieństwo, że protoplasta rodu
b˛edzie miał dokładnie 2 wnuków.
1
7. Kot łowi k myszy dziennie z prawdopodobieństwem pk = e−1 ·
, k = 0, 1, . . .. Każda złowiona
k!
mysz ucieka z prawdopodobieństwem = 0.5, a jeśli jej si˛e to nie uda, to kot ja˛ zjada. Określamy
zdarzenia: Ak := kot złowił danego dnia k myszy; Bj := kot zjadł tego dnia j myszy. Obliczyć prawdopodobieństwa: P (Bj |Ak ) , P (Bj ) , P (Ak |Bj ).
8. Gracz X wymienia liczb˛e 2 z prawdopodobieństwem q, liczb˛e 3 z prawdopodobieństwem 1 − q, gdzie
0 < q < 1. Gracz Y również musi powiedziec jedna˛ z tych liczb. Gdy suma liczb b˛edzie nieparzysta,
wygrywa X, w przeciwnym przypadku wygrywa Y . Jak powinien post˛epować gracz Y , aby zapewnić
sobie jak najwi˛eksze prawdopodobieństwo wygranej, jeśli zna wartość q?
9. Pani Aniela ma troje dzieci. Zdefiniujmy zdarzenia: A - wszystkie dzieci maja˛ ta˛ sama˛ płeć; B - jest co
najwyżej jeden chłopiec; C - w rodzinie jest chłopiec i dziewczynka.
Przy założeniu, że prawdopodobieństwo urodzenia chłopca jest takie samo jak dziewczynki:
(a) pokazać, że A nie zależy od B, a B nie zależy od C;
(b) czy A nie zależy od C?
10. Rzucono 10 razy symetryczna˛ kostka.˛ Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pierwszym rzucie otrzymano
szóstk˛e, jeśli wiadomo, że
(a) we wszystkich rzutach otrzymano dokładnie 3 szóstki;
(b) w nast˛epnych 9 rzutach otrzymano same szóstki?