ALGEBRA Z GEOMETRI ˛A ANALITYCZN ˛A ALGEBRA LINIOWA 1

ALGEBRA Z GEOMETRIA¾ ANALITYCZNA¾
ALGEBRA LINIOWA 1
Wszystkie warianty kursu
Lista zdań obejmuje ca÷y materia÷kursu oraz określa przybliz·ony stopień trudności zadań, które pojawia¾
sie¾ na kolokwiach i egzaminach. Na ćwiczeniach nalez·y rozwiazać
¾
przynajmniej jeden podpunkt z kaz·dego
zadania. Wyjatkiem
¾
sa¾ zadania oznaczone litera¾ (p) oraz symbolem (*). Zadania oznaczone litera¾ (p) sa¾
proste. Te zadania nalez·y rozwiazać
¾ samodzielnie. Z kolei zadania oznaczone gwiazdka¾ (*) sa¾ trudniejsze. Te
nieobowiazkowe
¾
zadania kierujemy do ambitnych studentów.
Zachecamy
¾
studentów do wery…kowania rozwiaz
¾ azań
¾
zadań za pomoca¾ programów komputerowych. W
Internecie moz·na znaleźć wiele programów do obliczeń numerycznych i symbolicznych. Programy te moz·na
wykorzystać m.in. znajdowania pierwiastków wielomianów, do wyznaczania i rysowania pierwiastków z liczb zespolonych, obliczania wyznaczników, badania liniowej niezalez·ności wektorów, rozwiazywania
¾
uk÷adów równań
liniowych itp. Polecamy strone¾ internetowa¾ Wolfram Alpha. Warto korzystać z darmowych programów:
Maxima, Microsoft Mathematics, Octave, R, Sage, Scilab, a takz·e programów p÷atnych: Derive,
Mathematica, Matlab, Maple, Scienti…c WorkPlace. Wiele popularnych kalkulatorów naukowych jest
zaprogramowanych do wykonywania obliczeń numerycznych i symbolicznych oraz do prezentowania wykresów
funkcji.
Uzdolnionych studentów zachecamy
¾
do przygotowania sie¾ w czasie semestru i nastepnie
¾
udzia÷u w egzaminach na ocene¾ celujac
¾ a¾ z algebry i analizy. Zadania z tych egzaminów z ubieg÷ych lat moz·na znaleźć na stronie
internetowej
http://www.im.pwr.wroc.pl/kursy-ogolnouczelniane/oceny-celujace.html
Przed kolokwiami i egzaminami zajeć
¾ warto zapoznać sie¾ z zestawieniem typowych b÷edów
¾
pope÷
nianych
przez studentów na sprawdzianach z matematyki.
http://prac.im.pwr.wroc.pl/~skoczylas/typowe_bledy_studentow.pdf
Opracowanie: doc. dr Zbigniew Skoczylas
Lista zadań
1. Podać przyk÷ady liczb, dla których nie zachodza¾ podane równości:
p
p
p
1
a) (x + y)2 = x2 + y 2 ; b)
x + y = x + y; c) x1 + y1 = x+y
;
p
u
x+u
x
2
f ) sin 2x = 2 sin x;
d)
x = x;
e) y + v = y+v ;
ln a
h) jx + yj = jxj + jyj ; i) ; ln b = ln (a b)
j) an am = an m :
2. Za pomoca¾ indukcji matematycznej uzasadnić, z·e dla kaz·dej liczby naturalnej n zachodza¾ toz·samości:
1) = n2 ;
a) 1 + 3 + : : : + (2n
b)
1
12
+
1
23
+ ::: +
c) 1 + 3 + : : : + 3n
1
n(n+1)
1
=
1
2
=
n
n+1 ;
(3n
1) ;
i2
d) 13 + 23 + : : : + n3 = n(n+1)
:
2
h
3. Korzystajac
¾ z indukcji matematycznej uzasadnić nierówności:
a) 2n > n2 dla n > 5;
b)
1
12
+
c) n! >
1
22
2n
+ ::: +
1
n2
62
1
n
dla n > 4;
d) (1 + x) > 1 + nx dla x >
n
e) n! <
n n
2
dla n > 6:
dla n 2 N;
1 oraz n 2 N (nierówność Bernoulliego);
1
4. Metoda¾ indukcji matematycznej pokazać, z·e dla kaz·dej liczby naturalnej n liczba:
a) n5
n jest podzielna przez 5;
8n
+ 6 jest podzielna przez 7:
b)
n(n+1)
2
5. *Uzasadnić, z·e n prostych moz·e podzielić p÷aszczyzne¾ na maksymalnie
najwiecej
¾ obszarów p÷
aszczyzne¾ moz·na podzielić n okregami?
¾
6. Zastosować wzór dwumianowy Newtona do wyraz·eń:
p 6
p
5
a) (2x + y)4 ; b) c
2 ; c) x + x13 ; d) ( u
p
4
+ 1 obszarów. Na ile
v)8 :
7. *Korzystajac
¾ ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy:
n
n
n
P
P
P
k
n
n k
n
a)
k ( 1) :
k 2 ; c)
k ; b)
k=0
k=0
k=0
15
8. a) W rozwinieciu
¾ wyraz·enia a3 + a12
p
4
b) W rozwinieciu
¾ wyraz·enia
x5
3
x3
znaleźć wspó÷czynnik przy a5 ;
7
p
znaleźć wspó÷czynnik przy 4 x:
FFFFF
9. Porównujac
¾ cześci
¾ rzeczywiste i urojone obu stron równań znaleźć ich rozwiazania:
¾
i)z; b) z 2 + 4 = 0; c) (1 + 3i) z + (2
a) z = (2
3; d*) z 3 = 1:
5i) z = 2i
10. Na p÷aszczyźnie zespolonej narysować zbiory liczb zespolonych spe÷niajacych
¾
podane warunki:
4i) ; b) Re z 2 = 0; c) Im z 2 6 8; d) Re
a) Re (z + 1) = Im (2z
1
z
> Im (iz) :
11. Korzystajac
¾ z interpretacji geometrycznej modu÷u róz·nicy liczb zespolonych wyznaczyć i narysować zbiory
liczb zespolonych spe÷
niajacych
¾
podane warunki:
3ij < 4; b) jz + 5ij > j3
a) jz + 2
d) jz + 3ij < jz
g)
z 3i
z
1
4ij ; e) jiz + 5
z 2 +4
> 1; h)
z 2i
4ij ; c) jz
1j = j1 + 5i
2ij < j1 + ij ; f ) jz + 2
6 1; i) z 2 + 2iz
zj ;
3ij < 5;
1 < 9:
12. Na p÷aszczyźnie zespolonej narysować zbiory liczb zespolonych spe÷niajacych
¾
podane warunki:
a)
arg (z) = 2 ; b)
d) arg ( z) = 4 ;
6
i) 6 3 ;
< arg (z
e) 0 < arg (z) 6
2
3
c)
2
3
4
; f)
< arg (iz) < ;
6 arg
1
z
6
3
2
:
13. Korzystajac
¾ ze wzoru de Moivre’a obliczyć:
a)
(1
i)11 ;
1
2
b)
+i
p
3
2
8
; c)
p
2i
12
9
p
5
; d)
2
p
i52
10
:
14. Wyznaczyć i narysować na p÷
aszczyźnie zespolonej elementy pierwiastków:
p
p
p
p
3
4
a)
16; b)
8i; c) 3 2 2i; d) 6 1:
15. W zbiorze liczb zespolonych rozwiazać
¾ podane równania:
a) z 2
2z + 10 = 0; b) z 2 + 3iz + 4 = 0; c) z 4 + 5z 2 + 4 = 0;
d) z 2 + (1
3i) z
2
i = 0;
e) z 6 = (1
i)12 ;
f ) (z
i)4 = (z + 1)4 :
FFFFF
16. Znaleźć wszystkie pierwiastki ca÷
kowite wielomianów:
a) x3 + 3x2
4; b)
x4
2x3 + x2
8x
12; c) x4
x2
2:
17. Znaleźć wszystkie pierwiastki wymierne wielomianów:
a)
6x3
5x2
2x + 1; b) 3x3
2x2 + 3x
2;
2
c) 6x4 + 7x2 + 2:
18. (p) Wyznaczyć pierwiastki rzeczywiste lub zespolone wraz z krotnościami wielomianów:
a) (x
1) (x + 2)3 ; b) (2x + 6)2 (1
4x)5 ;
c)
z2
1
z2 + 1
3
z2 + 9
4
:
19. Nie wykonujac
¾ dzieleń wyznaczyć reszty z dzielenia wielomianu P przez wielomian Q; jez·eli:
a) P (x) = x8 + 3x5 + x2 + 4; Q (x) = x2
b) P (x) =
x2007
c) P (x) = x99
d*) P (x) =
+ 3x + 2008; Q (x) =
x2
2x98 + 4x97 ; Q (x) = x4
x2006
+
x1002
1; Q (x) =
e*) P (x) = x444 + x111 + x
x4
1;
+ 1;
16;
+ 1;
2
1; Q (x) = x2 + 1
:
20. Pokazać, z·e jez·eli liczba zespolona z1 jest pierwiastkiem wielomianu rzeczywistego P , to liczba z1 takz·e jest
pierwiastkiem wielomianu P: Korzystajac
¾ z tego faktu znaleźć pozosta÷e pierwiastki zespolone wielomianu
P (x) = x4 4x3 + 12x2 16x + 15 wiedzac,
¾ z·e jednym z nich jest x1 = 1 + 2i:
21. Podane wielomiany roz÷
oz·yć na nierozk÷adalne czynniki rzeczywiste:
a) x3
27;
b) x4 + 16; c) x4 + x2 + 4; d*) x6 + 1:
22. Podane funkcje wymierne roz÷
oz·yć na rzeczywiste u÷amki proste:
a)
2x+5
;
x2 x 2
b)
x+9
;
x(x+3)2
c)
3x2 +4x+3
;
x3 x2 +4x 4
d)
x3 2x2 7x+6
:
x4 +10x2 +9
FFFFF
23. Niech ~
a = (1; 1; 2; 3) ; ~b = (5; 4; 2; 0) bed
¾ a¾ wektorami z przestrzeni R4 :
Wyznaczyć wektory ~
x oraz y
~ ; jez·eli:
a) ~
x = 2~
a ~b;
b) ~
a
c)
~
x = ~b + 2~
x;
~
x
y
~ = ~
a;
~
3~
x + 2~
y = b:
24. Obliczyć:
a) Odleg÷ość punktów A = (1; 2; 3; 0; 0) ; B = (0; 1; 2; 3; 4) w przestrzeni R5 ;
b) Obliczyć kat
¾ miedzy
¾
wektorami ~a = ( 1; 0; 2; 2) ; ~b = (0; 2; 1; 2) w przestrzeni R4 ;
25. Dla jakich wartości parametru p; wektory ~
a = (p; 1; p; 1) ; ~b = (p; p; 1; 9) sa¾ prostopad÷e w przestrzeni
4
R ?
26. *Jaki zbiór w przestrzeni R4 tworza¾końce wersorów, które sa¾prostopad÷e do wektorów: ~a = (1; 1; 0; 0) ;~b =
(0; 0; 1; 1)?
FFFFF
27. (p) Trójkat
¾ jest rozpiety
¾ na wektorach ~
a; ~b: Wyrazić środkowe trójkata
¾ przez wektory ~
a; ~b:
28. *Za pomoca¾ rachunku wektorowego pokazać, z·e środki boków dowolnego czworokata
¾ sa¾ wierzcho÷
kami
równoleg÷oboku.
29. (p) Równoleg÷
obok jest rozpiety
¾ na wektorach ~
a = ( 3; 4) ; ~b = (1; 2). Wyznaczyć kat
¾ ostry miedzy
¾
przekatnymi
¾
równoleg÷
oboku.
30. D÷ugości wektorów ~
a; ~b wynosza¾ odpowiednio 3; 5: Znamy iloczyn skalarny ~
a ~b =
2: Obliczyć ~
a
~b
2~
a + 3~b :
31. (p) Wyznaczyć równanie prostej, która przechodzi przez punkt P = ( 1; 3) i tworzy kat
¾ 120o z dodatnia¾
cześci
¾ a¾ osi Ox:
32. (p) Napisać wszystkie postacie równania prostej (normalne, kierunkowe, parametryczne) przechodzacej
¾
przez punkty P1 = (2; 3) ; P2 = ( 3; 7) :
3
33. (p) Znaleźć punkty przeciecia
¾ prostej
x = 4 2t;
y = 6 + t;
l:
gdzie t 2 R;
z osiami uk÷
adu wspó÷
rzednych.
¾
Czy punkt P = (4; 7) nalez·y do prostej l?
34. Znaleźć punkt przeciecia
¾ prostych:
k:
x = 1 t;
y = 3 + t;
gdzie t 2 R; l :
x = 2t;
y = 3 t;
gdzie t 2 R;
35. (p) Znaleźć równanie prostej, która przechodzi przez punkt P = ( 1; 2) i jest
a) równoleg÷
a do prostej 3x
y + 2 = 0;
b) prostopad÷
a do prostej x + y = 0:
36. Dla jakiej wartości parametru m; odleg÷ość punktów P = (1; 0) i Q = (m + 3; 2) jest równa 4?
37. (p) Wyznaczyć odleg÷
ość punktu P0 = ( 4; 1) od prostej l o równaniu 3x + 4y + 12 = 0:
38. (p) Znaleźć odleg÷
ość prostych równoleg÷ych l1 ; l2 o równaniach odpowiednio x 2y = 0;
3x+6y 15 = 0:
39. Obliczyć wysokość trójkata
¾ o wierzcho÷kach A = (0; 0) ; B = ( 1; 3) ; C = (2; 5) opuszczona¾ z wierzcho÷
ka
C:
40. *Znaleźć równania dwusiecznych katów
¾
wyznaczonych przez proste o równaniach 3x + 4y
3y + 5 = 0:
2 = 0; 4x
FFFFF
41. a) Dla jakich wartości parametrów p; q wektory ~
a = (1
b) Dla jakich wartości parametru s wektory p
~ = (s; 2; 1
p; 3; 1) ; ~b = ( 2; 4
q; 2) sa¾ równoleg÷
e?
s) ; q
~ = (s; 1; 2) sa¾ prostopad÷e?
42. (p) Znaleźć wersor, który jest prostopad÷y do wektorów u
~ = ( 1; 3; 0) ; ~
v = (0; 1; 1) :
43. (p) Wyznaczyć cosinus kata
¾ miedzy
¾
wektorami p
~ = (0; 3; 4) ; q
~ = (2; 1; 2) :
44. a) Obliczyć pole równoleg÷
oboku rozpietego
¾
na wektorach u
~ = ( 1; 2; 5) ; ~
v = (0; 3; 2) :
b) Obliczyć pole trójkata
¾ o wierzcho÷kach A = (0; 0; 1) ; B = (3; 0; 0) ; C = (0; 5; 0) :
c) Obliczyć wysokość trójkata
¾
45. a) Obliczyć objetość
¾
równoleg÷
ościanu rozpietego
¾
na wektorach: ~
a = (1; 2; 3) ;
( 1; 0; 2) :
~b = (0; 4; 1) ; ~
c =
b) Obliczyć objetość
¾
czworościanu o wierzcho÷kach: A = (1; 1; 1) ; B = (1; 2; 3) ; C = (0; 4; 1) ; D =
(2; 2; 2) :
c) Dla czworościanu z punktu c) obliczyć wysokość upuszczona¾ z wierzcho÷ka A:
46. Znaleźć równania normalne i parametryczne p÷aszczyzny:
a) przechodzacej
¾ przez punkty P = (1; 1; 0) ; Q = (2; 3; 7) ; R = (4; 0; 1) ;
b) przechodzacej
¾ przez punkt A = ( 2; 5; 4) oraz przez oś Oz;
c) przechodzacej
¾ przez punkt A = ( 2; 5; 4) oraz prostopad÷ej do osi Oy:
47. a) P÷aszczyzne¾
: 2x + y z 7 = 0 zapisać w postaci parametrycznej.
8
s + t;
< x =
y =
2
2t; przekszta÷cić do postaci normalnej.
b) P÷aszczyzne¾ :
:
z =
3 + 3s t
48. Znaleźć równanie parametryczne i kraw¾
edziowe prostej:
a) przechodzacej
¾ przez punkty A = ( 3; 4; 1) ; B = (0; 2; 1) :
b) przechodzacej
¾ przez punkt P = (3; 1; 2) i przecinajacej
¾ prostopadle oś Oy:
4
49. a) Prosta¾ l :
x+y 3 = 0
y+z 1 = 0
b) Prosta¾ l : x = 3; y = 2
zapisać w postaci parametrycznej.
2t; z = t zapisać w postaci kraw¾
edziowej.
50. Wyznaczyć punkt przeciecia:
¾
a) prostej l : x = t; y = 1
2t; z =
b) p÷aszczyzn
z
: x + 2y
1
c) prostych l1 : x = 1
3 + 2t oraz p÷aszczyzny
5 = 0;
2
t; y = 1; z =
: x + 2y + 2 = 0;
: 3x
3
y
2z
5 = 0;
: x + y + z = 0;
3 + 2t; l2 : x = s; y = 3
2s; z = 2
5s:
51. Obliczyć odleg÷
ość:
a) punktu P = (0; 1; 2) od p÷
aszczyzny
b) p÷aszczyzn równoleg÷
ych
1
:x
: 3x
2y + 2z
4y + 12z
3 = 0;
2
c) punktu P = (2; 5; 1) od prostej l : x = t; y = 1
:
1 = 0;
2x + 4y
2t; z =
4z + 18 = 0;
3 + 2t;
d) prostych równoleg÷
ych
x+y+z
x 2y z
l1 :
e) prostych skośnych l1 : x = 1
3 = 0
; l2 :
1 = 0
t; y = 1; z =
x+y+z 3 = 0
;
x 2y z + 4 = 0
3 + 2t; l2 : x = s; y = 3
2s; z = 1
52. Wyznaczyć rzut prostopad÷
y punktu P = (1; 2; 0) na:
a) p÷aszczyzne¾
: x + y + 3z
b) prosta¾ l : x = 1
5 = 0;
t; y = 2t; z = 3t:
53. Obliczyć kat
¾ miedzy:
¾
a) p÷aszczyznami
b) prosta¾ l :
1
:x
y + 3z = 0;
x+y+z
x 2y z
c) prostymi l1 : x =
2
3 = 0
1 = 0
:
2x + y
z + 5 = 0;
i p÷aszczyzna¾ : x + y = 0;
t; y = 1 + 2t; z =
3; l2 : x = 0; y =
2s; z = 2 + s:
FFFFF
54. We wskazanej przestrzeni zbadać liniowa¾ niezalez·ność uk÷adów wektorów:
a) R2 ; ~
a1 = (2; 3) ; ~
a2 = ( 1; 0) ;
3 ~
b) R ; b1 = (1; 2; 3) ; ~b2 = (3; 2; 1) ; ~b3 = (1; 1; 1) ;
c) R4 ; ~
c1 = (1; 0; 0; 0) ; ~
c2 = ( 1; 1; 0; 0) ; ~
c3 = (1; 1; 1; 0) ; ~
c4 = ( 1; 1; 1; 1) :
55. Zbadać, czy podane uk÷
ady wektorów sa¾ bazami wskazanych przestrzeni liniowych Rn :
a) f(1; 2; 0) ; ( 1; 0; 3) ; (0; 2; 3)g ; R3 ;
b) f(1; 0; 0; 0) ; (1; 1; 0; 0) ; (1; 1; 1; 0) ; (1; 1; 1; 1)g ; R4 ;
c) f(1; 1; 0; 2) ; (1; 0; 3; 0) ; (0; 1; 3; 0) ; (0; 0; 0; 1)g ; R4 :
56. Znaleźć bazy i wymiary podprzestrzeni:
a)
b)
c)
A = (x; y; z) 2 R3 : 3x + 2y
z=0 ;
4
B = (x; y; z; t) 2 R : x = 2y =
t ;
5
C = (u; v; x; y; z) 2 R : u + v = 0; x + y + x = 0 :
57. Zbadać, czy podane przekszta÷
cenia sa¾ liniowe:
a) F : R2 ! R; F (x1; x2 ) = x1
3x2 ;
b) F : R3 ! R3 ; F (x; y; z) = ( x; 5x + y; y
c) F : R !
R4 ;
F (x) =
0; x2 ; 0;
2z) ;
3x ;
d) F : R4 ! R2 ; F (x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) = (x1 x2 ; x3 x4 ) :
5
5s:
58. Znaleźć macierze przekszta÷
ceń liniowych w standardowych bazach:
a) F : R2 ! R3 ;
F (x; y) = (x; y; x
d) F : R4 ! R2 ;
F (x; y; z; t) = (x + y + z + t; y
b) F :
R3
!
R4 ;
y) ;
F (x; y; z) = (y; z; x; x + y + z) ;
t; ) :
59. a) Uzasadnić, z·e obrót na p÷
aszczyźnie R2 wokó÷poczatku
¾
uk÷adu wspó÷rzednych
¾
o kat ' jest przekszta÷ceniem liniowym. Znaleźć macierz tego obrotu w bazach standardowych.
b) Pokazać, z·e symetria wzledem
¾
osi Oz w przestrzeni R3 jest przekszta÷ceniem liniowym. Znaleźć macierz
tej symetrii w bazach standardowych.
FFFFF
60. (p) Dla par macierzy A; B wykonać (jeśli to jest moz·liwe) wskazane dzia÷ania 3A
A2 :
1 4
0
6
a) A =
; B=
;
2 0
8 2
A= 1
2 3
1
607
7
c) A = 6
435 ;
0
2
1
d) A = 4 2
3
b)
3 2 ; B= 2
B=
0
1
0
1
2 B;
AT ; AB; BA;
4 0 ;
2 1 0 5 ;
3
1
45 ;
2
3
2 0
B = 4 4 15 :
0 3
2
61. (p) Rozwiazać
¾ równanie macierzowe
02
3
1
2
3
1 0
4 3
3 @4 3 35 X A = X+ 4 0 65 :
2 5
1 2
62. (p) Znaleźć niewiadome x; y; z spe÷
niajace
¾ równanie
2
3 6
x+2 y+3
=
y z
3
0
T
:
63. Podać przyk÷ady macierzy kwadratowych A; B; które spe÷niaja¾ podane warunki:
a) AB 6= BA;
b) AB = 0; ale A 6= 0; B 6= 0;
c)
A2 = 0; ale A 6= 0:
64. *Pokazać, z·e kaz·da¾ macierz kwadratowa¾ moz·na przedstawić jednoznacznie jako sume¾ macierzy symetrycznej AT = A i antysymetrycznej AT = A . Napisać to przedstawienie dla macierzy
2
0
6 3
B=6
42
6
1
5
4
0
4
2
3
0
3
2
87
7:
45
1
65. Dane sa¾ przekszta÷
cenia liniowe: L : R2 ! R3 określone wzorem L (x; y) = (x; y; x + y) oraz K : R3 ! R
określone wzorem K (u; v; w) = u w: Korzystajac
¾ z twierdzenia o postaci macierzy z÷oz·enia przekszta÷
ceń
znaleźć macierz przekszta÷
cenia K L:
FFFFF
6
66. Napisać rozwiniecia
¾
Laplace’a wyznaczników wg wskazanych kolumn lub wierszy (nie obliczać wyznaczników w otrzymanych rozwinieciach):
¾
a)
1 4
3 1
2 5
3
0 ; trzecia kolumna;
2
b)
1
2
5
2
4
4
4
0
3
2
1
0
c)
2
3
4
5
0
3
0
0
0
5
1
2
7
0
; czwarty wiersz.
6
3
67. Obliczyć podane wyznaczniki:
a)
2
3
5
; b)
7
1
3
2
1
2
2
2
4 ;
1
0
7
:
4
2
68. Korzystajac
¾ z w÷
asności wyznaczników uzasadnić, z·e podane macierze sa¾ osobliwe:
2
3
2
3
2
3
1 5 2
2
2
4
4
1 2 3
67 5 2
57
7:
2 2 5 ; b) 44 4 45 ;
a) 4 1
c) 6
45 7 4
45
3
5
6
3 2 1
3 3 0
3
2
3
a b 0
a b
69. a) Wiadomo, z·e det 4c d 05 = 24: Obliczyć det
;
c d
5
2 3
2
3
3 0 0 0
61 x y 0 7
x y
7
b) Wiadomo, z·e det 6
45 z t 0 5 = 18: Obliczyć det z t :
7
4 5
2
70. Jakie sa¾ moz·liwe wartości wyznacznika macierzy kwadratowej A stopnia n spe÷niajacej
¾ podane warunki:
a) A3 = 4A dla n = 3; 4; b) AT =
A2
dla n = 3; 4 ?
71. Obliczyć det (2A) ; jez·eli det (3A) = 54 i det (4A) = 128:
72. a) Obliczyć pole równoleg÷
oboku rozpietego
¾
na wektorach: ~a = (2; 4) ; ~b = (3; 7) ;
b) Obliczyć objetość
¾
równoleg÷
ościanu rozpietego
¾
na wektorach: ~a = (1; 1; 0), ~b = (0; 1; 1), ~c = (1; 0; 1) :
73. *Obliczyć
2
1 2
62 2
6
a) 6
63 3
44 4
5 5
wyznaczniki macierzy:
3
2
3 4 5
2
6 0
3 4 57
6
7
6
3 4 57
7 ; b) 6 0
5
4 0
4 4 5
1
5 5 5
1
2
0
0
0
0
1
2
0
0
0
0
1
2
0
FFFFF
3
0
0 7
7
0 7
7;
15
2
2
5 3 0 :::
62 5 3 : : :
6
6
c) 6 0 2 5 : : :
6 .. .. .. . .
4. . .
.
0 0 0 :::
3
0
07
7
07
7
7
35
5 n
:
n
74. Korzystajac
¾ z twierdzenia o postaci macierzy odwrotnej wyznaczyć macierze odwrotne do :
2
3
2
3
0 1 0 0
1 0
0
62 0 0 07
2 5
7
4
3
1
0 5 ; c) 6
a) A =
; b) A =
40 0 0 35 :
3 8
2 5
1
0 0 4 0
75. Korzystajac
¾ z metody do÷aczonej
¾
macierzy jednostkowej znaleźć
2
2
3
1
1 4
12
6
1
2
4
2
0 5 ; c) A = 6
a) A =
; b) A = 40
40
3
1
0 2
6
0
7
macierze odwrotne do :
3
0
1 0
1
0 07
7:
2 1 35
0
0 1
76. Wiadomo, z·e
(2A)
1
Wyznaczyć A:
2
4
4
8
=
10
0
2
12
3
0
0 5:
6
77. Wiadomo, z·e det (A) = 4 oraz det (B) = 3: Obliczyć:
h
i
a) det A (6B) 1 ; b) det A 1 B 3 A2 :
78. Znaleźć rozwiazania
¾
równań macierzowych:
3
1
2
1
4
1
b)
2
1
;
0
3
3
1 5;
4
c)
5 1 2
;
1 2 3
a)
d)
5
0 3
X=
2
4
2
3
2
2 0
1 1 5 X =4
6
1
2
3
3 0 4
X 4 1 1 15 =
2 0 3
2 1
3 2
2
X
3 2
2 8
=
;
5
3
0 5
3 1
2 0 3
e) X 4 1 1 15
3 0 4
1
1
f)
1
2
X
2 1 3 ;
=
1
5 6
2 7
=
:
4 5
1 4
79. Korzystajac
¾ ze wzorów Cramera wyznaczyć wskazana¾ niewiadoma¾ z uk÷adów równań liniowych:
a)
2x
y = 0
; niewiadoma y;
3x + 2y = 5
8
< x
2x
b)
:
4x
8
2x
>
>
<
x
c)
2x
>
>
:
x
+ y + 2z =
y + 2z =
+ y + 4z =
1
4 ; niewiadoma x;
2
+ 3y + 11z + 5t =
+ y + 5z + 2t =
+ y + 3z + 2t =
+ y + 3z + 4t =
2
1
; niewiadoma z:
3
3
FFFFF
80. Korzystajac
¾ z interpretacji geometrycznej przekszta÷ceń liniowych znaleźć ich jadra,
¾
obrazy i rzedy:
¾
a) L : R2 ! R2 ; obrót o kat
¾
b) L :
R2
!
R2 ;
=
3
wokó÷poczatku
¾
uk÷adu.
rzut prostokatny
¾
na prosta¾ x + y = 0:
c) L : R3 ! R3 ; symetria wzgledem
¾
p÷
aszczyzny y = z:
d) L : R3 ! R3 ; obrót wokó÷osi Oy o kat
¾
2:
81. Wyznaczyć jadra,
¾
obrazy oraz rzedy
¾ przekszta÷ceń liniowych:
a) L : R2 ! R; F (x1; x2 ) = x1
3x2 ;
b) L : R2 ! R2 ; F (x; y) = (x + y; 2x + 2y) ;
c) L : R3 ! R3 ; F (x; y; z) = ( x; 5x + y; y
2z) ;
d) L : R ! R4 ; F (x) = (0; x; 0; x) :
8
82. Metoda¾ eliminacji
8
< x + y
2x
y
a)
:
4x + y
8
3x
2y
>
>
<
2x
3y
b)
x + 2y
>
>
:
x
y
Gaussa rozwiazać
¾ podane uk÷ady równań:
+ 2z =
+ 2z =
+ 4z =
+
1
4 ;
2
5z + t
z + 5t
4t
4z + 9t
=
=
=
=
3
3
:
3
22
83. a) Znaleźć trójmian kwadratowy, który przechodzi przez punkty ( 1; 2) ; (0; 1) ; (2; 4) :
b) Wyznaczyć wspó÷
czynniki a; b; c funkcji y = a2x + b3x + c4x ; która w punktach
odpowiednio wartości 43 ; 1; 1:
c) Funkcja y (x) = A cos 2x+B sin 2x spe÷nia równanie róz·niczkowe y 00
wspó÷czynniki A; B:
84. a) Dla jakich wartości parametru m; podany uk÷ad jednorodny
8
< mx + y + 2z =
2x
y + mz =
:
mx + y + 4z =
1; 0; 1 przyjmuje
6y 0 +13y = 25 sin 2x:Wyznaczyć
ma niezerowe rozwiazanie
¾
0
0 ?
0
b) Dla jakich wartości parametrów a; b; c; d; podany uk÷ad równań liniowych jest sprzeczny
8
x + y
= a
>
>
<
z + t = b
?
x
+
z
= c
>
>
:
y
+ t = d
c) Znaleźć wszystkie wartości parametru p; dla których podany uk÷ad równań liniowych ma tylko jedno
rozwiazanie
¾
8
3z =
1
< x + 2y
2x
py + z = 3 :
:
2x + y
pz = 5
FFFFF
85. Korzystajac
¾ z de…nicji wyznaczyć wektory i wartości w÷asne przekszta÷ceń liniowych:
a) symetria wzgledem
¾
osi Ox w przestrzeni R2 ;
b) obrót w przestrzeni R3 wokó÷osi Oy o kat
¾
6;
c) symetria w przestrzeni R3 wzgledem
¾
p÷aszczyny xOz;
d) rzut prostokatny
¾
w przestrzeni R3 na oś Oz :
86. Znaleźć wartości i wektory w÷
asne przeszta÷ceń liniowych:
a) L : R2 ! R2 ; F (x; y) = (x + y; 2x + 2y) ;
c) L : R3 ! R3 ; F (x; y; z) = ( x; 5x + y; y
2z) ;
d) L : R4 ! R4 ; F (x; y; z; t) = (0; x; 0; x) :
FFFFF
87. (p) Napisać równanie okregu,
¾
którego średnica¾ jest odcinek o końcach A = ( 1; 3), B = (5; 7) :
88. (p) Wyznaczyć wspó÷
rzedne
¾
środka i promień okregu
¾ x2
4x + y 2 + 6y + 2 = 0:
89. Znaleźć równanie okregu
¾ opisanego na trójkacie
¾ ABC o wierzcho÷kach A = (0; 0), B = (8; 0), C = (0; 6).
90. Znaleźć równanie okregu,
¾
który przechodzi przez punkty P = (3; 4), Q = (5; 2) i ma środek na osi Ox.
9
91. *Wyznaczyć równanie okregu,
¾
który jest styczny do obu osi uk÷adu wspó÷rzednych
¾
oraz przechodzi przez
punkt A = (5; 8): Ile rozwiazań
¾
ma zadanie?
92. Znaleźć równanie stycznej okregu
¾ x2 + y 2 = 25:
a) w punkcie ( 3; 4);
b) przechodzacej
¾ przez punkt ( 5; 10);
c) równoleg÷
ej do prostej x
y
4 = 0;
d) prostopad÷
ej do prostej x + 2y = 0:
93. (p) Wyznaczyć osie, wspó÷rzedne
¾
ognisk oraz mimośród elipsy
x2 y 2
+
= 1:
16
9
94. Punkty F1 = ( 5; 0) ; F2 = (5; 0) sa¾ ogniskami elipsy. Znaleźć równanie tej elipsy, jez·eli widomo, z·e
jednym z jej wierzcho÷
ków jest punkt W = (0; 3)
95. Naszkicować elipse¾ o równaniu 4x2
8x + 9y 2 + 36y + 4 = 0:
96. (p) Wyznaczyć osie, wspó÷rzedne
¾
ognisk oraz równania asymptot hiperboli
x2
144
y2
= 1:
25
97. Narysować hiperbole¾ wraz z asymptotami:
a)
b)
(y+5)2
16
4x2
(x 2)2
= 1;
9
25y 2 + 8x = 0:
98. Wyznaczyć wspó÷
rzedne
¾
ogniska, wierzcho÷ka oraz podać równanie kierownicy paraboli o równaniu: a)
2
2
y = 12x; b) y = x + 6x:
99. Napisać równanie paraboli, której:
a) kierownica¾ jest prosta y =
2; a punkt W = ( 1; 6) - wierzcho÷kiem;
b) kierownica¾ jest prosta x = 1; a punkt W = (5; 1) - wierzcho÷kiem.
100. Jakie krzywe przedstawiaja¾ równania:
a) x2
y 2 + 4 = 0;
b) (x
y)2 = 1;
c) x2 + y 2 = 2xy?
10