Ci agi liczbowe. Funkcje elementarne.
Transkrypt
Ci agi liczbowe. Funkcje elementarne.
Lista nr 5 EiT, sem.I, studia zaoczne, 2006/07. Ciagi liczbowe. Funkcje elementarne. , 1. Obliczyć granice, ciagu o wyrazie ogólnym: , (2n − 1)3 2n3 − 4n − 1 , b) a) , 6n + 3n2 − n3 (4n − 1)2 (1 − 5n) √ ( n + 3)2 2n + (−1)n e) , f) , n+1 n √ √ √ j) n2 + n − n, i) n + 2 − n, 3 · 22n+2 − 10 , 5 · 4n−1 + 3 r √ 1 n n 100 r) 10 − , 10100 n n+5 v) , n m) −8n−1 , 7n+1 s n n 3 2 s) n + , 3 4 −n+3 4 x) 1 − , n n) 2. Obliczyć granice, ciagu o wyrazie ogólnym: , p p √ √ √ a) n + n − n − n, b) n10 − 2n2 + 2, d) 2−n cos nπ, e) n sin n! , n2 + 1 (−1)n , 2n − 1 √ n2 − 1 h) √ , 3 n3 + 1 4n−1 − 5 l) 2n , 2 −7 √ p) n 10n + 9n + 8n , 3 10 −√ , n n √ √ 1 + 2n2 − 1 + 4n2 g) , n √ k) 3 n3 + 4n2 − n, n n+1 3 2 −1 o) , 2 3n+1 − 1 n 2 t) 1 + , n 2 n2 n +6 y) , n2 c) c) d) 1− u) z) 1 n2 n n2 + 2 2n2 + 1 , n2 1 3n cos n3 − , 2n 6n + 1 f) n(ln(n + 1) − ln n) 3. Korzystajac monotonicznym i ograniczonym uzasadnić zbieżność podanych ciagów: , z twierdzenia o ciagu , , (n!)2 1 1 1 n3 a) an = , b) bn = + + ··· + , c) cn = n , (2n)! n+1 n+2 2n 10 1 1 1 d) dn = 1 + + ··· + n 4 + 1! 42 + 2! 4 + n! 4. Określić dziedziny naturalne oraz zbiory wartości podanych funkcji: p a) f (x) = log(x2 − 1), b) f (x) = ctg πx, c) f (x) = 1 + 2 4 sin(x), 5. Uzasadnić, że podane funkcje sa, rosnace na wskazanych zbiorach: , 2 a) f (x) = x , x ∈ h0; ∞), b) g(x) = x41+1 , x ∈ (−∞; 0i, √ d) p(x) = x + 1, x ∈ h−1; ∞) 6. Uzasadnić, że podane funkcje sa, malejace na wskazanych zbiorach: , a) f (x) = 3 − 4x, x ∈ R, b) g(x) = x2 − 2x, x ∈ (−∞; 1i, 1 d) p(x) = 1+x , x ∈ (−∞; −1) d) f (x) = 2−|x| c) h(x) = √ 3 c) h(x) = x, x ∈ (∞; 0i; 1 1+x2 , 7. Określić funkcje zlożone f ◦ f , f ◦ g, g ◦ f , g ◦ g oraz ich dziedziny, jeżeli: √ a) f (x) = x2 , g(x) = x, b) f (x) = 2x , g(x) = cos x, c) f (x) = x3 , g(x) = 1 x d) f (x) = 1+x2 , g(x) = x 8. Znaleźć funkcje f i g takie, że h = g ◦ f , jeżeli: a) h(x) = 2−|x| 2+|x| , b) h(x) = sin2 x, c) h(x) = log(x2 + 1), d) h(x) = √ x ∈ h0; ∞); 1 √ 3 x; x+2 9. Uzasadnić, że podane funkcje sa, różnowartościowe na wskazanych zbiorach: √ c) h(x) = x + 1, x ∈ h0; ∞) a) f (x) = x3 + 1, x ∈ R, b) g(x) = x12 , x ∈ (−∞; 0), 10. Znaleźć funkcje odwrotne do podanych: a) f (x) = x2 − 2x, x ∈ h1; ∞), 3x dla x < 0 d) p(x) = , x∈R 5x dla x > 0 b) g(x) = 2 − √ 5 x + 1, x ∈ R, c) h(x) = x3 |x|, x ∈ R; 11. Wykazać, że prawdziwe sa, wzory: a) ch2 x − sh2 x = 1, b) tgh x · ctgh x = 1, c) sh(x + y) = sh x ch y + ch x sh y; d) sh(x − y) = sh x ch y − ch x sh y, e) ch(x + y) = ch x ch y + sh x sh y, f) ch(x − y) = ch x ch y − sh x sh y; g) sh(2x) = 2 sh x ch x, h) ch(2x) = sh2 x + ch2 x, i) sh x + sh y = 2 sh x+y x−y ch 2 2