Lista zadań z STW

Zestawy zadań z działu „Szczególna Teoria Względności” dla IFT+IF
Zestaw Ia
1. Zakładając ruch układu „primowanego” z prędkością u względem układu „nieprimowanego”
wykazać niezmienniczość praw Newtona (transformacja Galileusza).
2. Mając dane transformacje Lorentza:
‫ݔ‬′ = ൬
௫ି௨௧
ඥଵି௨మ /௖ మ
൰, ‫ ݕ‬ᇱ = ‫ݕ‬,
‫ݐ‬′ = ൬
௧ି௨௫/௖ మ
ඥଵି௨మ /௖ మ
‫ ݖ‬ᇱ = ‫ݖ‬,
൰,
wyznaczyć wzór na prędkość i przyspieszenie ciała w układzie S’ poruszającym się
(„primowanym”). (Zakładamy ruch układu S’ z prędkością u w kierunku osi x).
3. Udowodnić niezmienniczość interwału
‫ݏ‬′ଶ = ܿ ଶ ‫ݐ‬′ଶ − ‫ݔ‬′ଶ − ‫ݕ‬′ଶ − ‫ݖ‬′ଶ = ‫ ݏ‬ଶ
względem transformacji Lorentza
4. Zakładając zależność energii całkowitej od masy ciała ‫ ܿ݉ = ܧ‬ଶ udowodnić związek:
‫ ܧ‬ଶ = ‫݌‬ଶ ܿ ଶ + ݉଴ଶ ܿ ସ
oraz dowieść, że wtedy musimy mieć ݉ =
௠బ
ඥଵି௩ మ /௖ మ
. (skorzystać z zależności
ௗா
ௗ௧
= ࡲ ∙ ࢜).
5. Wyprowadzić związek na różnicę czasu otrzymaną w rozważaniach przelotu wiązki światła
pomiędzy zwierciadłami w doświadczeniu Michelsona-Morleya i na tej podstawie wyprowadzić
zależność na relatywistyczne skrócenie długości oraz dylatację czasu.
Zestaw Ib
1. Jakiej zmianie masy odpowiada zmiana energii ܳ = 4.186J?
ଵ
2. Wykazać, że wzór ‫ܧ‬௞ = ݉‫ ݒ‬ଶ nie daje energii kinetycznej cząstki relatywistycznej nawet wtedy,
ଶ
gdy we wzorze tym m jest masą relatywistyczną. Dowód przeprowadzić przez rozłożenie na
szereg wyrażeń: ‫ܧ‬௞ = ݉଴ ܿ ଶ ൬
ଵ
ඥଵି௩ మ /௖ మ
ଵ
ଵ
− 1൰ oraz ଶ ݉‫ ݒ‬ଶ = ଶ
௠బ
ඥଵି௩ మ /௖ మ
‫ݒ‬ଶ.
3. Jaką prędkość musi mieć cząstka, aby jej energia kinetyczna równała się energii masy
spoczynkowej?
4. Obliczyć długość fali fotonu, którego energia równa się energii spoczynkowej elektronu.
5. Załoga statku kosmicznego mierzy jego długość i otrzymuje wynik ݀ = 400m. Jaką długość
statku zmierzy obserwator na Ziemi, jeśli wiadomo, że prędkość statku ‫ = ݑ‬0.99ܿ?
6. Miony (µ) to cząstki rozpadające się w atmosferze ziemskiej docierające do powierzchni Ziemi
wraz z promieniowaniem kosmicznym.
a) Wiedząc, że średni czas życia mionu to około ‫ = ݐ‬2.2µs oblicz, jaką drogę mogą przebyć te
cząstki zakładając mechanikę klasyczną.
b) Używając wyników Szczególnej Teorii Względności oblicz, jaką minimalną prędkość muszą
mieć miony jeśli wiadomo, że docierają one do powierzchni Ziemi z górnych warstw atmosfery
(݀ = 10km)?
Zestaw Ic
1. Po 10s od chwili wybuchu wulkanu na Ziemi zaobserwowano protuberancję na Słońcu. Czy
może istnieć związek przyczynowy między tymi zdarzeniami? Czy istnieje taki układ
odniesienia, w którym wybuch wulkanu nastąpiłby w tej samej chwili co protuberancja?
2. Względem układu O porusza się ze stałą prędkością v wzdłuż osi x układ O’. W układzie O’
znajduje się pręt o długości l0 tworzący kąt φ’ z osią x’. Jaką długość pręta i jaki kąt zmierzy
obserwator O?
3. Względem układu odniesienia O porusza się wzdłuż osi x ze stałą prędkością v układ O’.
Wiadomo, że w obydwu układach odniesienia interwał czasoprzestrzenny ma tę samą wartość.
Wykazać, że transformacja:
− sinhψ  t
 t ′   coshψ
 

=
c  
 x ′
  − c sinhψ coshψ   x 
pozostawia niezmieniony interwał czasoprzestrzenny. Podać związek kąta ψ z prędkością układu
O’. Przeprowadzić analogię ze zwykłymi obrotami w przestrzeni euklidesowej.
4. Dwa pręty poruszają się ku sobie wzdłuż osi x, każdy ze stałą prędkością v względem układu
odniesienia związanego z osią x. Długość spoczynkowa każdego pręta wynosi l0. Obliczyć, jaką
długość mijanego pręta zmierzy obserwator poruszający się wraz z jednym z prętów.
5.Mierząc charakterystyczne długości fal (wzbudzone pierwiastki) w widmie promieniowania
galaktyki w gwiazdozbiorze Andromedy zaobserwowano, że są one większe w porównaniu
z długością fal emitowanych przez te same źródła w warunkach ziemskich o ok. 0.5%.
a) Znaleźć kierunek ruchu galaktyki. Przybliża się ona czy oddala od Ziemi?
b) Obliczyć prędkość radialną galaktyki względem Ziemi.
6. Rakieta odbywa przelot między Ziemią a odległą o cl lat świetlnych gwiazdą. Rakieta leci ze
stałym przyspieszeniem a mierzonym przez załogę rakiety. Obliczyć całkowity czas pokładowy
potrzebny na przelot rakiety z Ziemi do gwiazdy.