planimetria 2a powt

Zad. 1 Na bokach
(zobacz rysunek).
i
równoległoboku
Udowodnij, że
.
Zad. 2 Przez wierzchołek
prostokąta
w punktach
i odpowiednio. Wykaż, że
zbudowano kwadraty
i
poprowadzono prostą, która przecięła proste
i
.
Zad. 3 Dane są 2 koła styczne zewnętrznie o promieniach i (
) oraz środkach
i
. Do tych
kół poprowadzono wspólną styczną, która jest styczna do tych okręgów w punktach
i odpowiednio
(
). Oblicz pole trójkąta
, gdzie jest punktem przecięcia się prostych
i
.
Zad. 4 Prosta równoległa do jednego boku trójkąta dzieli jego pole na połowy. W jakim stosunku prosta
ta dzieli pozostałe boki trójkąta?
Zad. 5 Przyprostokątne trójkąta
mają długości 10 i 24. Przeciwprostokątna trójkąta
podobnego do niego ma długość 39. Oblicz pole trójkąta
.
Zad. 6 Wyznacz współrzędne środka jednokładności, w której obrazem okręgu o równaniu
jest okrąg o równaniu
, a skala tej jednokładności jest
liczbą ujemną.
Zad. 7 Przekształcenie
.
określone jest w następujący sposób:
, gdzie
a. Wykaż, że przekształcenie jest izometrią.
b. W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj trójkąt o wierzchołkach
,
,
, a następnie znajdź jego obraz w przekształceniu .
c. Wyznacz równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta
poprowadzoną na bok
.
d. Oblicz pole trójkąta
, który jest obrazem trójkąta
w jednokładności o środku w punkcie
(0,0) i skali
.
Zad. 8 Na zewnątrz kwadratu
na bokach
. Uzasadnij, że proste
i
są prostopadłe.
i
zbudowano trójkąty równoboczne
i
Zad. 9 Dane są punkty
i
. Odcinek
jest
obrazem odcinka
w jednokładności o skali dodatniej i środku , jak i w jednokładności o skali
ujemnej i środku . Oblicz współrzędne punktów i .
Zad. 10 Dany jest czworokąt wypukły
niebędący równoległobokiem. Punkty M, N są
odpowiednio środkami boków AB i CD . Punkty P i Q są odpowiednio środkami przekątnych AC i BD.
Uzasadnij, że MQ jest równoległe do PN.
Zad. 11 Na zewnątrz kwadratu
. Uzasadnij, że trójkąt
na bokach
i
jest równoboczny.
zbudowano trójkąty równoboczne
i
Zad. 12 Na zewnątrz trójkąta prostokątnego
zbudowano kwadrat
Punkt
leży na prostej
Zad. 13 Punkty
pole trójkąta
i kąt
, w którym
.
oraz
. Oblicz pole trójkąta
.
są środkami boków trójkąta
. Pole trójkąta
jest równe 4. Oblicz
.
Zad. 14 Prosta przechodząca przez wierzchołek równoległoboku
przecina jego przekątną
w punkcie i bok
w punkcie , a prostą
w punkcie . Udowodnij, że
Zad. 15 Trójkąty prostokątne równoramienne
i
są położone tak, jak na poniższym rysunku (w
obu trójkątach kąt przy wierzchołku jest prosty). Wykaż, że
.
Zad. 16. Prosta równoległa do boku
trójkąta
przecina boki
oraz
odpowiednio w
punktach i (zobacz rysunek). Wiadomo, że pole trójkąta
wynosi
, zaś pole trapezu
jest równe
. Wykaż, że
Zad. 17 Dany jest punkt
.
i prosta
o równaniu
a. Wyznacz równanie prostej , która jest obrazem prostej
b. Oblicz odległość między prostymi i .
Zad. 18 Oblicz współrzędne środka
odcinek
i skalę
i wiadomo, że
Zad. 19 Proste zawierające ramiona
i
,
oraz obwód trójkąta
.
w symetrii względem punktu
jednokładności, w której obrazem odcinka
,
,
trapezu
równy
i
.
jest
.
przecinają się w punkcie . Dane są:
. Oblicz obwód trójkąta
.
Zad. 20 Kwadrat F2 jest obrazem kwadratu F1, którego wierzchołkami są punkty A(2,5), B(2,2), C(-1,2),
D(-1,5) w symetrii osiowej względem prostej y=-x. Kwadrat G2 jest obrazem kwadratu G1, którego
wierzchołkami są punkty E(-6,-8), F(-2, -8), G(-2, -4), H(-6, -4) w przesunięciu równoległym o wektor
=[7,5]. Wykaż, że figura G2 jest obrazem figury F2 w jednokładności J i wyznacz jej skalę.
Zad. 21 Obrazem odcinka AB, gdzie A(1,0), B(2,1) w jednokładności o skali k>1 i środku P jest odcinek
CD, gdzie C(4,0), D(6,2). Zapisz równanie okręgu o środku w punkcie P i promieniu AB.
Zad. 22 Sprawdź, czy przekształcenie P((x,y))= (-2x-1, 2y+3) jest podobieństwem.
Zad. 23 Znajdź obraz prostej y=2x-3
a) w symetrii środkowej względem punktu (2; 0,5)
b) w translacji o wektor =[-1, 6]
c) w symetrii osiowej względem prostej y=x-1.