Analiza matematyczna 2 Lista zadań‡

Analiza matematyczna 2
Lista zadań‡
Opracowanie: dr Marian Gewert, doc. Zbigniew Skoczylas
Lista 1
1. Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
(a)
(d)
Z∞
dx
;
(x + 2)2
1
Z−3
−∞
Z∞
dx
;
3x + 5
(c)
Z0 π
(e)
+ arc tg x dx;
2
(f)
(b)
√
3
1
dx
;
x2 − 4
−∞
Z∞
x sin x dx;
π
Z∞
−∞
dx
.
x2 −4x + 13
2. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
Z∞
Z∞
Z∞
dx
dx
x(x + 1) dx
√
√
(a)
;
(b)
;
(c)
;
x ( x + 1)
x−3
x4 + x + 1
4
(d)
10
Z∞
−∞
x2 + 1 dx
;
x4 + x2 + 1
(e)
1
Z∞
(x + sin x) dx
;
x3
(f)
Z∞ √
2
π
2 + cos x dx
√
.
x−1
* 3. Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
Z∞ √
Z−1
Z∞ 2
( x + 1) dx
x dx
(x + 1) dx
√
√
;
(a)
;
(c)
;
(b)
5
x (x + 1)
x −3
1 − x3
1
(d)
Z∞
−∞
5
1
sin
dx;
x
2
(e)
1
Z∞
1
x2 dx
;
x3 −sin x
(f*)
Z−1
e2x + 1 dx
.
ex − 1
−∞
1
oraz osią Ox.
+4
(b) Obliczyć objętość bryły powstałej z obrotu wokół osi Ox obszaru D = (x, y) ∈ R 2 : x ­ 0, 0 ¬ y ¬ e−x .
1
(c) Uzasadnić, że pole powierzchni powstałej z obrotu wykresu funkcji y = √ dla x ­ 1 wokół osi Ox ma
x x
skończoną wartość.
4. (a) Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą y =
x2
5. Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju:
Zπ
Z0
Z3
dx
dx
dx
√
;
(b)
(a)
;
(c)
;
5
2
sin x
x(x − 3)
x
π
−1
(d)
Ze
2
2
ln x dx
;
x
(e)
Z5
3
0
2x dx
;
2x − 8
(f*)
Ze
sin ln x dx
.
x
0
6. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju:
√
(a)
Z2
(d)
Z4
1
1
√ arc tg dx;
x
x
ex dx
;
x3
(c)
dx
√ ;
x2 + x
(e*)
Z2
0
Zπ
0
0
0
0
(b)
Z2
dx
√
;
16 − x4
(f*)
Z3
1
cos2 x dx
√
;
3
x−π
x6 dx
.
(x − 1)2
‡
Zadania oznaczone gwiazdką są nieobowiązkowe. Nie należy ich przerabiać na ćwiczeniach. Przeznaczone są dla
studentów, którzy chcą poszerzyć swoją wiedzę z analizy.
1
* 7. Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju:
Zπ
Z1 2x
Zπ
e − 1 dx
sin3 x dx
dx
√
√
;
(c)
;
(b)
(a)
;
3
3
4
x4
cos
x
x
0
0
(d)
Z1
dx
;
(arc sin x)2
(e*)
0
(g*)
Z2
1
π
2
Z0
dx
√
;
x
e − e2x
Z1
dx
;
x
e − cos x
−1
dx
√ ;
2
x − x
(h*)
0
Zπ
(f*)
0
Z2
(i*)
dx
;
x − sin x
2x
1
dx
.
− x2
* 8. Zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych, które są jednocześnie całkami niewłaściwymi pierwszego
i drugiego rodzaju:
Z∞
Z∞
Z∞
dx
dx
dx
√ ;
;
(b)
;
(c)
(a)
x2 − 1
x + sin x
x3 + x
(d)
1
0
Z∞
Z∞
0
dx
;
x
3 − 2x
(e)
0
dx
;
ln x
(f)
1
Z∞
2
x2
dx
√
.
x−2
9. Wyznaczyć wartości główne całek niewłaściwych:
Z∞ x
Z∞
Z∞ 3
e dx
x cos x dx
;
(b)
;
(c)
e−|x+5| dx;
(a)
x2 + 4
ex + 1
−∞
−∞
(d
Z∞
−∞
3
2
x −x
dx;
(e
Z9
−4
−∞
dx
p ;
|x|
(f)
Z1
sin x
dx.
x2
−1
Lista 2
10. Znaleźć sumy częściowe podanych szeregów i następnie zbadać ich zbieżność:
∞
∞
∞
∞ n
X
X
X
X
n−1
1
1
5
√
;
(b)
;
(c)
;
(d)
(a)
√ .
6
n!
(2n − 1)(2n + 1)
n+1+ n
n=2
n=1
n=1
n=0
Uwaga. W przykładzie (b) przyjąć, że Sn =
n
X
ak , n ­ 2.
k=2
11. Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność szeregów:
(a)
∞
X
1
;
2+n
n
n=1
(b)
∞
X
n
;
2+4
n
n=1
(c)
∞
X
ln n
;
n2
n=2
(d)
∞
X
1
√
.
n
n
+1
n=1
12. Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność szeregów:
∞
X
n2 + n + 1
(a)
;
2n3 − 1
n=1
∞
X
n+1
√
(b)
;
n3 + 1
n=1
∞
X
2n − 1
;
(c)
3n − 1
n=1
π
n
3
(d)
π .
n=1 sin n
2
13. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność szeregów:
∞
∞
∞
X
X
X
3
n+1
π
(a)
;
(b)
;
(c)
sin n ;
2
2
n +2
n +1
2
n=1
n=1
n=1
(d)
∞
X
2n + sin n!
;
3n
n=0
(e)
∞
X
3 − 2 cos n2
√
;
n
n=1
(f)
∞
X
3n + 1
.
n3n + 2n
n=1
14. Korzystając z kryterium d’Alemberta zbadać zbieżność szeregów:
2
∞ sin
X
(a)
(d)
∞
X
100n
;
n!
n=1
∞
X
(b)
∞
X
n2 sin
n=1
2
(n!)
;
(2n)!
n=1
(e)
π
;
2n
(c)
∞
X
nn
;
3n n!
n=1
(f)
∞
X
n!
;
n
n
n=1
∞
X
2n + 1
.
n5 + 1
n=1
15. Korzystając z kryterium Cauchy’ego zbadać zbieżność szeregów:
(a)
∞
X
(n + 1)2n
n;
(2n2 + 1)
n=1
(b)
∞
X
2n + 3n
;
3n + 4n
n=1
(c)
∞
X
2
3 n nn
;
(n + 1)n2
n=1
(d)
∞
X
arc cosn
n=1
1
.
n2
* 16. Wykazać zbieżność odpowiedniego szeregu i następnie na podstawie warunku koniecznego zbieżności
szeregów uzasadnić podane równości:
n5
= 0;
n→∞ 7n
(a) lim
nn
= 0;
n→∞ (n!)2
nn
= ∞;
n→∞ n!
(b) lim
(c) lim
(d*) lim
n→∞
(3n)!(4n)!
= 0.
(5n)!(2n)!
17. Korzystając z twierdzenia Leibniza uzasadnić zbieżność szeregów:
∞
∞
∞
X
X
X
√
√ 4n
π
n
n+1
(b)
(−1) n
;
(c)
tg cos nπ;
(a)
(−1)
n+1− n ;
n
4
+
5
n
n=0
n=4
n=1
(d)
∞
X
(−1)n+1
n=1
3n
;
n!
(e)
∞
X
(−1)n
n=2
ln2 n
;
n
(f*)
∞
X
(−1)n
.
ln 1 +
n
n=2
* 18. Obliczyć sumy przybliżone podanych szeregów ze wskazaną dokładnością:
∞
∞
X
X
(−1)n+1
(−1)n
−6
(a)
,
δ
=
10
;
(b)
, δ = 10−3 .
n
n10
(2n
+
1)!
n=1
n=0
Lista 3
19. Zbadać zbieżność oraz zbieżność bezwzględną szeregów:
n
∞
∞ ∞
X
X
X
(−1)n n
−2n
(−1)n+1
;
;
(b)
;
(c)
(a)
2n + 1
n2 + 1
3n + 5
n=2
n=1
n=1
(d)
∞
X
⌊ n2 ⌋
∞
X
(−1)
(f*)
.
n+1
n=0
∞
X
(−2)n
(e)
;
3n + 1
n=0
√
n
3−1 ;
(−1)
n
n=2
20. Wyznaczyć przedziały zbieżności szeregów potęgowych:
(a)
(d)
∞
X
xn
;
n2n
n=1
∞
X
xn
;
n
2 + 3n
n=0
(b)
∞
X
(c)
n
(x + 1)n ;
2+1
n
n=1
(f*)
n=1
(e)
∞
X
(x + 3)n
;
n3
n=1
n(x − 2)n ;
∞
X
∞
X
n!xn
.
nn
n=1
21. Znaleźć szeregi Maclaurina podanych funkcji i określić przedziały ich zbieżności:
2
x
(a)
;
(b) cos ;
(c) xe−2x ;
1 − 3x
2
x
;
(e) sinh x;
(f*) sin4 x.
(d)
9 + x2
22. Korzystając z rozwinięć Maclaurina funkcji elementarnych obliczyć pochodne:
x
(a) f (50) (0), f (x) = x sin x;
(b) f (2014) (0), f (x) = x ;
e
x3
(21)
(10)
(c) f
(0), f (x) =
;
(d) f
(0), f (x) = sin2 3x.
1 + x2
′
23. Wyznaczyć szeregi potęgowe funkcji f (x) oraz
Zx
f (t) dt, jeżeli funkcja f określona jest wzorem:
0
(a) f (x) =
1
;
2x − 1
(b) f (x) =
1
;
1 + x2
2
(c*) f (x) = ex .
3
24. Stosując twierdzenia o różniczkowaniu i/lub całkowaniu szeregów potęgowych obliczyć sumy szeregów:
∞
∞
∞
X
X
X
1
2n − 1
n(n + 1)
(a)
;
(b)
;
(c)
.
n
n
(n
+
1)2
3
4n
n=0
n=2
n=1
* 25. Obliczyć podane całki oznaczone ze wskazaną dokładnością:
Z1
Z1
2
sin x2 dx, δ = 0.0001.
ex dx, δ = 0.001;
(a)
0
0
Lista 4
26. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne funkcji:
r
x2 + y 2 − 4
x
x
x2 y
p
;
(d)
f
(x,
y)
=
ln
(a) f (x, y) =
;
(b)
f
(x,
y)
=
;
;
(c)
f
(x,
y)
=
x − y2
y
9 − x2 − y 2
x2 + y 2 − 25
p
√
√
(e) g(x, y, z) = x + y − 1 + z − 2;
(f) g(x, y, z) = arc sin x2 + y 2 + z 2 − 2 .
27. Naszkicować wykresy funkcji:
p
p
(a) f (x, y) = 1 − x2 + y 2 ;
(b) f (x, y) = 3 + 2x − x2 − y 2 ;
(e) f (x, y) = x2 − 1;
(d) f (x, y) = sin y;
* 28. Uzasadnić, że nie istnieją granice:
x2 y
x2 y 2
;
(b)
lim
;
(a)
lim
(x,y)→(0,0) x4 + y 2
(x,y)→(0,0) x4 + y 4
(c)
sin2 x
;
(x,y)→(π,0) y 2
lim
(c) f (x, y) = x2 − 2x + y 2 + 2y + 3;
(f) f (x, y) = 1 − |x|.
(d)
x+y−2
.
(x,y)→(1,1) x2 + y 2 − 2
lim
* 29. Obliczyć granice:
(a)
(d)
lim
(x,y)→(0,0)
1 − cos x2 + y 2
2
(x2 + y 2 )
;
x2 y 2 − 4x2 − y 2 + 4
;
xy − 2x − y + 2
(x,y)→(1,2)
lim
(b)
xy 2
;
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
(c)
(e)
tg x3 − y 3
;
(x,y)→(0,0)
x−y
(f)
lim
lim
x4 − y 4
;
(x,y)→(0,0) x2 − y 2
lim
lim
(x,y)→(0,0)
1
x2 + y 2 sin
.
xy
30. Korzystając z definicji obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu fx , fy funkcji f i pochodne cząstkowe
gx , gy , gz funkcji g we wskazanych punktach:
p
x + y2
(a) f (x, y) = x2 y, (0, 1);
(b) f (x, y) = x4 + y 4 , (0, 0);
(c) g(x, y, z) =
, (−1, 0, 1).
z
31. Obliczyć pochodne cząstkowe fx , fy funkcji f i pochodne cząstkowe gx , gy , gz funkcji g:
x2 + y 2
;
xy
p
(d) f (x, y) = x x2 + y 2 ;
(a) f (x, y) =
(g) g(x, y, z) =
x
;
x2 + y 2 + z 2
1 − xy
;
x+y
p
(e) f (x, y) = ln x + x2 + y 2 ;
(b) f (x, y) = arc tg
(h) g(x, y, z) = sin(x cos(y sin z));
(c) f (x, y) = e
sin
y
x
;
xz
+ yz 3 ;
(f) g(x, y, z) = x2 +
y
r
q
√
(i) g(x, y, z) = x + y + z.
Lista 5
* 32. Sprawdzić, że podana funkcja spełnia wskazane równanie:
(a) f (x, y) = ln x2 + xy + y 2 , xfx + yfy = 2;
√
y
f
(b) f (x, y) = x sin , xfx + yfy = .
x
2
33. Obliczyć pochodne cząstkowe drugiego rzędu fxx , fxy , fyx , fyy funkcji f i pochodne cząstkowe gxx , gxy ,
gxz , gyx , gyy , gyz , gzx , gzy , gzz funkcji g i sprawdzić, że pochodne cząstkowe mieszane są równe:
(a) f (x, y) = sin x2 + y 2 ;
(d) f (x, y) = y ln xy;
y
;
x
(b) f (x, y) = xexy ;
(c) f (x, y) = x +
1
;
(e) g(x, y, z) = p
2
x + y2 + z 2
(f) g(x, y, z) = ln x2 + y 4 + z 6 + 1 .
4
34. Obliczyć pochodne cząstkowe:
(a) hxyy ,
h(x, y) = sin xy;
(b) hyyxy ,
h(x, y) =
x+y
;
x−y
(c) hxyz ,
h(x, y, z) =
x2 y 3
.
z
* 35. Sprawdzić, że funkcje:
y
(a) z = arc tg ;
x
spełniają równanie
(b) z = x +
r
x
;
y
y
(c) z = x + ln 1 +
;
x
(d) z = x +
√
xy
x2 zxx + 2xyzxy + y 2 zyy = 0, (x, y > 0).
36. Napisać równania płaszczyzn stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach wykresu:
p
(b) z = ex+2y , (x0 , y0 , z0 ) = (2, −1, z0);
(a) z = x2 y + 1, (x0 , y0 , z0 ) = (1, 3, z0 );
!
√
arc sin x
1
3
(c) z =
(d) z = xy , (x0 , y0 , z0 ) = (2, 4, z0 ).
, (x0 , y0 , z0 ) = − ,
, z0 ;
arc cos y
2 2
37. (a) Na wykresie funkcji z = arc tg
płaszczyzny x + y − z = 5.
x
wskazać punkty, w których płaszczyzna styczna jest równoległa do
y
(a) Wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji z = arc ctg
prostej x =
t
t
, y = , z = t, t ∈ R.
2
2
1 − xy
, która jest prostopadła do
x+y
Lista 6
38. (a) Wysokość i promień podstawy stożka zmierzono z dokładnością ±1 mm. Otrzymano h = 350 mm oraz
r = 145 mm. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć objętość V tego stożka?
(b) Krawędzie prostopadłościanu mają długości a = 3 m, b = 4 m, c = 12 m. Obliczyć w przybliżeniu, jak
zmieni się długość przekątnej prostopadłościanu d, jeżeli długości wszystkich krawędzi zwiększymy o 2 cm.
(c) Oszacować błąd względny δV objętości prostopadłościamu V , jeżeli pomiaru jego boków x, y, z dokonano z
dokładnością odpowiednio ∆x , ∆y , ∆z .
* 39. Sprawdzić, że podane funkcje spełniają wskazane równania:
z
(b) z = xf (sin(x − y)) , zx + zy = ;
(a) z = f x2 + y 2 , yzx − xzy = 0;
x
y
y x
, xzx + yzy = nz (n ∈ N); (d*) z = g(x) + h
, xyzxy + y 2 zyy + xzx + 2yzy = 0.
(c) z = xn f
x
y
x
* 40. Korzystając z definicji obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach:
!
√
p
3 1
2
2
(a) f (x, y) = x + y , (x0 , y0 ) = (0, 0), v =
;
,
2 2
√ √ !
2
2
√
(b) f (x, y) = 3 xy, (x0 , y0 ) = (1, 0), v =
;
,
2
2
3 4 12
(c) g(x, y, z) = x2 + yz, (x0 , y0 , z0 ) = (−1, 0, 1), v =
, ,
.
13 13 13
41. Obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach:
12 5
2
2
;
,
(a) f (x, y) = x + y , (x0 , y0 ) = (−3, 4), v =
13 13
y
3 4
(b) f (x, y) = x − 2 + y, (x0 , y0 ) = (1, 1), v =
;
,−
x
5 5
√ !
1 3
3
xyz
.
,− ,
(c) g(x, y, z) = e , (x0 , y0 , z0 ) = (−1, 1, −1), v =
2 4 4
5
1
42. (a) Obliczyć pochodną kierunkową funkcji f (x, y) = y − x + 2 ln(xy). w punkcie − , −1 w kierunku
2
wersora v tworzącego kąt α z dodatnim zwrotem osi Ox. Dla jakiego kąta α pochodna ta ma wartość 0, a dla
jakiego przyjmuje wartość największą?
√
(b) Wyznaczyć wersory v, w kierunku których funkcja f (x, y) = ex x + y 2 w punkcie (0, 2) ma pochodną
kierunkową równą 0.
2
Lista 7
43. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji:
(a) f (x, y) = 3(x − 1)2 + 4(y + 2)2 ;
(c) f (x, y) = x3 + 3xy 2 − 51x − 24y;
(e) f (x, y) = xy 2 (12 − x − y), (x, y > 0);
(g) f (x, y) = xy + ln y + x2 ;
(b) f (x, y) = x3 + y 3 − 3xy;
√
(d) f (x, y) = y x − y 2 − x + 6y;
8 x
+ + y, (x, y > 0);
x
y
1
1
(h) f (x, y) = 4xy + + .
x y
(f) f (x, y) =
44. Wyznaczyć ekstrema podanych funkcji, których argumenty spełniają wskazane warunki:
(a) f (x, y) = x2 + y 2 , 3x + 2y = 6;
(b) f (x, y) = x2 + y 2 − 8x + 10, x − y 2 + 1 = 0;
(c) f (x, y) = x2 y − ln x, 8x + 3y = 0;
(d) f (x, y) = 2x + 3y, x2 + y 2 = 1.
45. Znaleźć najmniejsze i największe wartości podanych funkcji na wskazanych zbiorach:
(a) f (x, y) = 2x3 + 4x2 + y 2 − 2xy, D = (x, y) ∈ R2 : x2 ¬ y ¬ 4 ;
(b) f (x, y) = x2 + y 2 − 6x + 4y, D = (x, y) ∈ R2 : x + y ¬ 4, 2x + y ¬ 6, x ­ 0, y ­ 0 ;
(c) f (x, y) = x2 + y 2 , D = (x, y ∈ R2 : |x| + |y| ¬ 2 ;
(d) f (x, y) = xy 2 + 4xy − 4x, D = (x, y) ∈ R2 : −3 ¬ x ¬ 3, −3 ¬ y ¬ 0 ;
(e) f (x, y) = x4 + y 4 , D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ¬ 9 .
46. (a) W trójkącie o wierzchołkach A = (−1, 5), B = (1, 4), C = (2, −3) znaleźć punkt M = (x0 , y0 ), dla
którego suma kwadratów jego odległości od wierzchołków jest najmniejsza.
(b) Jakie powinny być długość a, szerokość b i wysokość h prostopadłościennej otwartej wanny o pojemności V ,
aby ilość blachy zużytej do jej zrobienia była najmniejsza?
(c) Znaleźć odległość między prostymi skośnymi:
x + y − 1 = 0,
k:
z+1
= 0,
l:
x − y + 3 = 0,
z−2
= 0.
(d) Prostopadłościenny magazyn ma mieć objętość V = 216 m3 . Do budowy ścian magazynu używane są płyty
w cenie 30 zł/m2 , do budowy podłogi w cenie 40 zł/m2 , a sufitu w cenie 20 zł/m2 . Znaleźć długość a, szerokość
b i wysokość c magazynu, którego koszt budowy będzie najmniejszy.
(f) Firma produkuje drzwi wewnętrzne i zewnętrzne w cenach zbytu odpowiednio 500 zł i 2000 zł za sztukę.
Koszt wyprodukowania x sztuk drzwi wewnętrznych i y zewnetrznych wynosi
K(x, y) = x2 − xy + y 2 [zł].
Ile sztuk drzwi każdego rodzaju powinna wyprodukować firma, aby osiągnąć największy zysk?
Lista 8
47. Obliczyć całki podwójne po wskazanych prostokątach:
ZZ
ZZ
2
(a)
x + xy − x − 2y dxdy, R = [0, 1] × [0, 1]; (b)
(c)
R
ZZ
(x sin xy) dxdy, R = [0, 1] × [π, 2π];
(d)
R
R
ZZ
R
6
dxdy
, R = [0, 2] × [0, 1];
(x + y + 1)3
e2x−y dxdy, R = [0, 1] × [−1, 0].
48. Całkę podwójną
ZZ
f (x, y) dxdy zamienić na całki iterowane, jeżeli obszar D ograniczony jest krzywymi o
D
równaniach:
(a) y = x2 , y = x + 2;
(b) x2 + y 2 = 4, y = 2x − x2 , x = 0 (x, y ­ 0);
(c) x2 − 4x + y 2 + 6y − 51 = 0;
(d) x2 − y 2 = 1, x2 + y 2 = 3 (x < 0).
49. Obliczyć całki iterowane:
(a)
Z2
dx
1
Zx
2
y
dy;
x2
(b)
Z4
1
x
dx
Z2x
x
√
x2 y − x dy;
(c)
Z2
dx
3
x +y
3
0
−2
Narysować obszary całkowania.
√
Z4−x2
dy;
(d)
Z3
0
Zy p
dy
y 2 + 16 dx.
0
50. Narysować obszar całkowania, a następnie zmienić kolejność całkowania w całkach:
(a)
Z1
−1
Z|x|
dx f (x, y) dy;
Z2
dx
(e)
Zπ
y2
dy
√
Z2
f (x, y) dx;
y 2 −1
− 2
√
−1
0
√
(d)
(b)
Z1
Z0
f (x, y) dy;
(c)
π
2
dx
Ze
dx
√
0
− 1−x2
dx
Z4
sin
Z x
f (x, y) dy;
(f)
cos x
1
√
2
Z x
f (x, y) dy;
4x−x2
Z1
f (x, y) dy.
ln x
51. Obliczyć całki po obszarach normalnych ograniczonych wskazanymi krzywymi:
ZZ
ZZ
√
1
2
2
(a)
xy dxdy, D : y = x, y = 2 − x ;
(b)
x2 y dxdy, D : y = −2, y = , y = − −x;
x
D
D
√
x, x = 0, y = 1;
(d)
D
ZZ
ZZ
(f)
ZZ
(xy + x) dxdy, D : x = 0, y = −1, y = 3 − x2 (x ­ 0);
ZZ
(2x − 3y + 2) dxdy, D : y = 0, y = π, x = −1, x = sin y.
(c)
ZZ
(e)
x2 exy dxdy, D : y = x, y = 1, x = 0;
ZZ
√
2
ex dxdy, D : y = 0, y = 2x, x = ln 3;
x
e y dxdy, D : y =
D
D
(g)
xy + 4x2 dxdy, D : y = x + 3, y = x2 + 3x + 3;
D
(h)
D
D
* 52. Obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach:
ZZ
ZZ
(a)
min(x, y) dxdy, D = [0, 1]×[0, 2]; (b)
⌊x + y⌋ dxdy, D = [0, 2]×[0, 2];
(c)
(d)
D
ZZ
D
ZZ
D
D
|x − y| dxdy, D = (x, y) ∈ R2 : x ­ 0, 0 ¬ y ¬ 3 − 2x ;
sgn x2 − y 2 + 2 dxdy, D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ¬ 4 .
Uwaga. Symbol min(a, b) oznacza mniejszą spośród liczb a, b, z kolei ⌊u⌋ oznacza część całkowitą liczby u.
53. Obliczyć wartości średnie podanych funkcji na wskazanych obszarach:
h πi
(a) f (x, y) = sin x cos y, D = [0, π] × 0, ; (b) f (x, y) = x + y, D : 0 ¬ y ¬ π, 0 ¬ x ¬ sin y.
2
* 54. Stosując odpowiednią zamianę zmiennych obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach:
ZZ
(x + y)2
dxdy, D : x + y = −1, x + y = 1, x − y = 1, x − y = 3;
(a)
(x − y)3
D
(b)
ZZ
1
dxdy
, D : y = x, y = 2x, y = − x + 1, y = −2x + 4;
y
2
(c)
ZZ
xy dxdy, D : xy = 1, xy = 2, y = x2 , y = 3x3 ;
D
D
7
(d*)
ZZ
D
x4 − y 4 dxdy, D : x2 + y 2 = 3, x2 + y 2 = 5, x2 − y 2 = 1, x2 − y 2 = 2 (x ­ 0, y ­ 0).
Lista 9
55. Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach:
ZZ
ZZ
√
(b)
xy 2 dxdy, D : x ­ 0, 1 ¬ x2 + y 2 ¬ 2;
(a)
xy dxdy, D : x2 + y 2 ¬ 1, √x3 ¬ y ¬ 3x;
(c)
(e)
D
ZZ
D
ZZ
D
2 x2 +y 2
y e
2
2
dxdy, D : x ­ 0, y ­ 0, x + y ¬ 1;
(d)
x2 + y 2 dxdy, D : y ­ 0, y ¬ x2 + y 2 ¬ x;
(f)
D
ZZ
D
ZZ
x2 dxdy, D : x2 + y 2 ¬ 2y;
y dxy, D : x2 + y 2 ¬ 2x.
D
Obszar D naszkicować we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych.
56. Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi:
(a) y 2 = 4x, x + y = 3, y = 0 (y ­ 0);
(b) x2 + y 2 − 2y = 0, x2 + y 2 − 4y = 0;
√
(d) x2 + y 2 = 2y, y = 3|x|.
(c) x + y = 4, x + y = 8, x − 3y = 0, x − 3y = 5;
57. Obliczyć objętości brył ograniczonych powierzchniami:
(a) y = z, y = 2x, y = 2, z = 0, z = y;
(b) x2 + y 2 + z 2 = 4. z = 1 (z ­ 1);
(c) x2 + y 2 − 2y = 0, z = x2 + y 2 , z = 0;
(e*) (x − 1)2 + (y − 1)2 = 1, z = xy, z = 0;
(d) z = 5 − x2 + y 2 , x = 0, y = 0, x + y = 1, z = 0;
(f*) 2z = x2 + y 2 , y + z = 4.
58. Obliczyć pola płatów:
(a) z = x2 + y 2 , x2 + y 2 ¬ 1; (b) x2 + y 2 + z 2 = R2 , x2 + y 2 − Rx ¬ 0, z ­ 0; (c) z =
59. Obliczyć masy podanych obszarów o wskazanych gęstościach powierzchniowych:
(a) D = (x, y) ∈ R2 : 0 ¬ x ¬ π, 0 ¬ y ¬ sin x , σ(x, y) = x;
(b) D = (x, y) ∈ R2 : 1 ¬ x2 + y 2 ¬ 4, y ­ 0 , σ(x, y) = |x|.
60. Znaleźć położenia środków masy obszarów jednorodnych:
(a) D — trójkąt równoramienny o podstawie a i wysokości h;
(b) D = (x, y) ∈ R2 : 0 ¬ x ¬ π, 0 ¬ y ¬ sin2 x ;
(c) D = (x, y) ∈ R2 : x2 ¬ y ¬ 1 ;
(d) D = (x, y) ∈ R2 : 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ ex .
61. Obliczyć momenty bezwładności podanych obszarów względem wskazanych osi:
(a) D – kwadrat jednorodny o boku a, przekątna kwadratu, przyjąć σ(x, y) = 1;
p
(b) D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ¬ R2 , y ­ 0 , oś Ox, przyjąć σ(x, y) = x2 + y 2 ;
(c) D = (x, y) ∈ R2 : 0 ¬ y ¬ 1 − x2 , oś symetrii obszaru, przyjąć σ(x, y) = x2 ;
(d) D = (x, y) ∈ R2 : 0 ¬ x ¬ π, 0 ¬ y ¬ sin x , oś Ox, przyjąć σ(x, y) = x.
Lista 10
62. Obliczyć podane całki potrójne po wskazanych prostopadłościanach:
ZZZ
x dxdydz
(a)
, U = [1, 2] × [1, e] × [1, e];
yz
U
ZZ
Z
(b)
(x + y + z) dxdydz, U = [1, 2] × [2, 3] × [3, 4];
(c)
ZZUZ
sin x sin(x + y) sin(x + y + z) dxdydz, U = [0, π] × [0, π] × [0, π];
U
8
p
x2 + y 2 , 1 ¬ z ¬ 2.
(d)
ZZZ
(x + y)ex+z dxdydz, U = [0, 1] × [0, 1] × [0, 1].
U
63. Całkę potrójną z funkcji g(x, y, z) po obszarze U zamienić na całki iterowane, jeżeli U jest ograniczony
powierzchniami o podanych równaniach:
p
p
(a) z = 2 x2 + y 2 , z = 6;
(b) x2 + y 2 + z 2 = 25, z = 4, (z ­ 4);
(c) z = x2 + y 2 , z = 20 − x2 − y 2 .
* 64. Narysować obszar całkowania i następnie zmienić kolejność całkowania:
√ 2 2
3
4−x −y
3−3x−
2−2x
Z
Z0
Z2
Z 2y
Z
Z1
dy
dx
f (x, y, z) dz;
(b)
dy
dx
f (x, y, z) dz;
(a)
√
√
2
−2
0
0
0
2
2
− 4−x
(c)
Z3
√
√
dz
0
Zz
dx
√
− z
√
Zz−x2
f (x, y, z) dy;
(d)
Z1
0
− z−x2
dx
√
Z1−x2
−
dy
0
Z1
4−x −y
f (x, y, z) dz.
x2 +y 2
65. Obliczyć całki potrójne z podanych funkcji po wskazanych obszarach:
(a) g(x, y, z) = ex+y+z , U : x ¬ 0, −x ¬ y ¬ 1, 0 ¬ z ¬ −x;
(b) g(x, y, z) =
1
, U : x ­ 0, y ­ 0, 0 ¬ z ¬ 1−x−y;
(3x+2y +z +1)4
(c) g(x, y, z) = x2 + y 2 , U : x2 + y 2 ¬ 4, 1 − x ¬ z ¬ 2 − x;
(d) g(x, y, z) = x2 y 2 , U : 0 ¬ x ¬ y ¬ z ¬ 1.
* 66. Stosując odpowiednią zamianę zmiennych obliczyć całki potrójne:
ZZZ
(a)
x(x + y)2 (x + y + z)3 dxdydz, U jest obszarem ograniczonym przez płaszczyzny: x = 0, x = 1, x + y = 1,
U
x + y = 2, x + y + z = 2, x + y + z = 3;
ZZZ 2
y
dxdydz, U jest obszarem ograniczonym przez powierzchnie: y = x, y = 2x, xy = 1, xy = 4,
(b)
x
U
z = y + 2, z = y + 3, x > 0;
ZZZ
x2 + y 2 dxdydz, U jest torusem, tj. bryłą powstałą z obrotu wokół osi Oz koła (x − R)2 + z 2 ¬ r2 ,
(c*)
U
y = 0, 0 < r ¬ R.
Lista 11
67. Wprowadzając współrzędne walcowe obliczyć całki po wskazanych obszarach:
ZZZ
2
x2 + y 2 + z 2 dxdydz, U : x2 + y 2 ¬ 4, 0 ¬ z ¬ 1;
(a)
U
(b)
ZZZ
(c)
ZZZ
U
(d)
U
ZZ
Z
xyz dxdydz, U :
p
p
x2 + y 2 ¬ z ¬ 1 − x2 − y 2 ;
x2 + y 2 dxdydz, U : x2 + y 2 + z 2 ¬ R2 , x2 + y 2 + z 2 ¬ 2Rz;
(x + y + z) dxdydz, U : x2 + y 2 ¬ 1, 0 ¬ z ¬ 2 − x − y.
U
68. Wprowadzając współrzędne sferyczne obliczyć całki po wskazanych obszarach:
ZZZ
dxdydz
p
(a)
, U : 4 ¬ x2 + y 2 + z 2 ¬ 9;
x2 + y 2 + z 2
U
ZZZ
p
p
x2 + y 2 dxdydz, U : x2 + y 2 ¬ z ¬ 1 − x2 − y 2 ;
(b)
U
9
(c)
(d)
ZZZ
U
ZZ
Z
z 2 dxdydz, U : x2 + y 2 + (z − R)2 ¬ R2 (R > 0);
x2 dxdydz, U : x2 + y 2 + z 2 ¬ 4x.
U
69. Obliczyć objętości obszarów U ograniczonych podanymi powierzchniami:
(a) x2 + y 2 = 9, x + y + z = 1, x + y + z = 5;
(b) x = −1, x = 2, z = 4 − y 2 , z = 2 + y 2 ;
(c) z =
1
, z = 0, x2 + y 2 = 1;
1 + x2 + y 2
(d) x2 + y 2 + z 2 = 2, y = 1 (y ­ 1).
70. Obliczyć masy obszarów o zadanych gęstościach objętościowych:
(a) U = [0, a] × [0, b] × [0, c], γ(x, y, z) = x + y + z oraz a, b, c > 0;
(b) U : x2 + y 2 + z 2 ¬ 9, γ(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 .
71. Wyznaczyć położenia środków masy podanych obszarów jednorodnych:
(a) U : 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ 1 − x, 0 ¬ z ¬ 1 − x;
(b) stożek o promieniu podstawy R i wysokości H;
p
(c) U : x2 + y 2 ¬ z ¬ 2 − x2 − y 2 .
72. Obliczyć momenty bezwładności względem wskazanych osi podanych obszarów jednorodnych o masie M :
(a) walec o promieniu podstawy R i wysokości H, względem osi walca;
(b) stożek o promieniu podstawy R i wysokości H, względem osi stożka;
(c) walec o promieniu podstawy R i wysokości H, względem średnicy podstawy.
Lista 12
73. Korzystając z definicji obliczyć transformaty Laplace’a funkcji:
(a) 2t − 1;
(b) sin 2t;
(c) t2 ;
(d) te−t ;
y
(g)
(e) e2t cos 2t;
y
(h)
y = f (t)
(f) sinh t;
y
(i)
y = g(t)
1
y = h(t)
1
1
t
1
1
t
2
1
t
74. Wyznaczyć funkcje ciągłe, których transformaty Laplace’a mają postać:
s
1
1
;
(b) 2
;
(c) 2
;
(a)
s+2
s + 4s + 5
s − 4s + 3
s+2
s2 + 1
s+9
(d)
;
(e)
;
(f) 2
2;
2
2
2
(s + 1)(s − 2) (s + 4)
s
+
6s + 13
s (s − 1)
(g)
2s + 3
;
3
s + 4s2 + 5s
(h)
3s2
;
(s3 − 1)2
(i)
e−s
.
s+1
75. Metodą operatorową rozwiązać zagadnienia początkowe dla równań różniczkowych liniowych o stałych
współczynnikach:
(a) y ′ − y = 1, y(0) = 1;
(b) y ′ − 2y = sin t, y(0) = 0;
(c) y ′′ + y ′ = 0, y(0) = 1, y ′ (0) = 1;
(d) y ′′ + 3y ′ = e−3t , y(0) = 0, y ′ (0) = −1;
(e) y ′′ − 2y ′ + 2y = sin t, y(0) = 0, y ′ (0) = 1;
(f) y ′′ − 2y ′ + y = 1 + t, y(0) = 0, y ′ (0) = 0;
(g) y ′′ + 4y ′ + 4y = t2 , y(0) = 0, y ′ (0) = 0;
(h) y ′′ + 4y ′ + 13y = te−t , y(0) = 0, y ′ (0) = 2.
* 76. Korzystając z własności przekształcenia Laplace’a obliczyć transformaty funkcji:
(a) sin4 t;
(b) cos 4t cos 2t;
(c) t2 cos t;
(d) t sinh 3t;
(e) tet cos t;
(f) e3t sin2 t;
(g) 1(t − 2) sin(t − 2);
(h) 1(t − 1)et−1 .
10
* 77. Obliczyć sploty par funkcji:
(a) f (t) = et , g(t) = e2t ;
(b) f (t) = cos 3t, g(t) = cos t;
(c) f (t) = 1(t), g(t) = sin t;
(d) f (t) = et , g(t) = t.
* 78. Korzystając ze wzoru Borela wyznaczyć funkcje, których transformaty dane są wzorami:
1
1
1
s
(a)
; (b)
; (c) 2 2
; (d)
2.
2
2
(s + 1)(s + 2)
(s − 1) (s + 2)
s (s + 1)
(s + 1)
Lista 13
79. Korzystając z definicji wyznaczyć transformaty Fouriera funkcji:

π
(

 cos t dla |t| ¬ ,
sin t dla |t| ¬ π,
2
(a) f (t) =
(b) f (t) =
π

0
dla |t| > π;
 0
dla |t| > ;
2
(
2
t dla |t| ¬ 1,
(d) f (t) =
(e) f (t) = e−|t| ;
0 dla |t| > 1;
r
Z∞
π
−at2
.
Wskazówka. (f*) Wykorzystać równość
e
dt =
a
(c) f (t) =
(
t
0
dla |x| ¬ 1,
dla |x| > 1;
2
(f*) f (t) = e−at , a 6= 0.
−∞
80. Niech c, h ∈ R oraz δ > 0. Wyznaczyć transformatę Fouriera funkcji
y
h
c−
81. Pokazać, że jeżeli F {f (t)} = fˆ(ω), to:
i
1 hˆ
f (ω − α) + fˆ(ω + α) ;
(a) F {f (t) cos αt} =
2
δ
2
cc+
t
δ
2
(b) F {f (t) sin αt} =
i
1 hˆ
f (ω − α) − fˆ(ω + α) .
2i
82. Korzystając z własnści transformaty Fouriera oraz z wyników poprzednich zadań obliczyć transformaty
funkcji:
(a) f (t) = e−3|t−1| ;
(
t
cos
dla
(d) f (t) =
2
0
dla
(b) f (t) = te−|t| ;
(
2 cos t
(e) f (t) =
0
|t| ¬ π,
|t| > π;
2
(c) f (t) = e−4t
dla
dla
t
(g) f (t) = 1(t) · e−t cos t;
(h) f (t) = e−|t| cos ;
2
0 dla t < 0,
Uwaga. 1(t) =
– funkcja Heaviside’a.
1 dla t ­ 0
|t| ¬ π,
−4t−1
;
(f) f (t) = [1(t) − 1(t − 4)] · t;
|t| > π;
(i) f (t) = e−|t| sin 2t.
* 83. Korzystając z zadania 80 oraz transformaty Fouriera pochodnej wyznaczyć transformaty funkcji:
(b)
(a)
y
y
2
2
−2
t
2
−2 −1
1
t
2
* 84. W obwodzie RLC, napięcie x(t) jest sygnałem wejściowym, a napięcie y(t) sygnałem wyjściowym (rys.).
+
+
x(t)
−
R
L
C
Wyznaczyć trnsformatę Fouriera sygnału wyjściowego y(t).
11
y(t)
−
′′
′′′
85. Obliczyć transformatę Fouriera funkcji t2 f (t) + 2f (t), jeżeli fˆ(ω) =
1
.
1 + ω2
86. Wyznaczyć funkcje, których transformaty Fouriera mają postać:
(a)
1
;
1 + 2iω
(b)
1
;
4 + ω2
(c)
e2iω
;
1 + iω
(e)
sin ω cos ω
;
2ω
(f)
1
;
(1 + ω 2 ) (4 + ω 2 )
87. Obliczyć sploty podanych par funkcji i ich transformaty Fouriera:
(a) f (t) = g(t) = 1(t) − 1(t − 1),
(b) f (t) = 1(t) − 1(t − 1), g(t) = 1(t + 1) − 1(t),
(c) f (t) = 1(t) · e−t , g(t) = 1(t) · e−2t ,
2
(d) f (t) = g(t) = e−t .
12