Zestaw - całki

Zestaw - całki
Zadanie 1. Korzystając z podstawowych własności (i tablicy podstawowych całek) obliczyć
)
)
∫ całki nieoznaczone:
∫ (
∫ (
1 √
2
3
a) (3x3 − x2 − 2x + 1) dx; b)
5 sin x + − x dx; c)
−
dx;
x
sin2 x 1 + x2
)
(
)
∫ (
∫
√
2
−3
5
5
√
− + 7ex − 3x dx.
d)
+
+ x3 dx e)
2
x
1 − x2 cos x
Zadanie 2. Korzystając z metody całkowania przez podstawianie obliczyć:
∫
∫
∫
∫
2x2
ex
sin x
a)
dx;
b)
dx;
c)
dx;
d)
3 sin x cos x dx;
3
x
1 + ∫cos x
∫ x +2
∫1 − e√
∫
dx
−2x
x dx
√
; h)
e)
dx; f) ex ex + 1 dx; g)
.
4
4+x
x ln2 x
1 + 2x2
z metody całkowania
przez części
Zadanie
3. Korzystając
∫
∫
∫
∫ obliczyć:
a)
∫
e)
2x ex dx;
x3 ln x dx;
b)
c)
∫
(x2 − x + 1) sin x dx;
e5x cos 4x dx;
f)
d) x2 e−x dx;
∫
∫
√
g)
x ln2 x dx; h) 3x cos x dx.
x sin x dx;
Zadanie
4. Obliczyć całki∫ z funkcji wymiernych:∫
∫
dx
x
2x + 1
a)
; b)
dx; c)
dx
2
(x − 1)(x − 2)
x + 3x + 2
x2 − 1
∫
dx
dx.
(x − 1)2 (x + 1)
d)
Zadanie 5. Korzystając z podstawowych własności obliczyć całki oznaczone:
∫3
a)
∫1 (
∫π
(−x − 2x + 5) dx;
2
b)
(sin x + cos x) dx;
−π
−2
e2x +
c)
)
1
+ ln(x + 1) dx.
x2
0
Zadanie 6. Korzystając z całkowania przez podstawianie obliczyć:
∫2
a)
x
dx;
1 + x2
∫1
ex
dx;
ex + 1
b)
1
∫2π
c)
∫2
cos 2x sin 2x dx;
d)
−π
0
1
√
x2
dx.
x3 − 1
Zadanie 7. Korzystając z całkowania przez części obliczyć:
π
∫2
a)
∫ln 2
x sin x dx;
b)
0
−x
xe
∫e
dx;
c)
∫e
x ln x dx;
a)
2
2 dx
;
x3
∫1
b)
−∞
dx
;
x4
∫∞
c)
1
3
√ dx;
x
ln x dx;
∫2
d)
0
dx
√ ;
3 x
ex sin x dx.
e)
1
Zadanie 8. Obliczyć całki niewłaściwe:
∫∞
d)
1
ln 1
∫π
2
0
∫1
e)
0
dx
;
x2
∫∞
f)
ln x dx.
0
Zadanie 9. Obliczyć pole obszaru ograniczonego liniami:
a) y = 0, y = −x2 + 2; b) y = x2 − 2, y = −x2 + 2; c) y = x2 , y = 4;
d) y = x3 , y = x; e) y = −1, y = −x + 1, y = x + 1; f) y = sin x, y = − sin x.
Zadanie 10. Obliczyć długość krzywej danej równaniami parametrycznymi:
a) x = 3t2 + 1, y = 4t2 − 2, t ∈ [0, 2]; b) x = 2 sin t, y = 2 cos t, t ∈ [−π, 0].