Praca i energia mechaniczna

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I
5. Energia, praca, moc
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej
http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
ENERGIA, PRACA, MOC
 Siła to wielkość wektorowa, która jest miarą oddziaływania
mechanicznego innych ciał (otoczenia) na dane ciało. Jest to
oddziaływanie, które może nadać ciału przyspieszenie.
 Energia jest miarą różnych rodzajów ruchu i miarą zdolności ciał do
ruchu (nieodłączna cecha materii, zarówno na poziomie molekularnym
jak i makroskopowym).
 Każde ciało jest obdarzone energią (ma zapas energii), będącej miarą
jego ruchu. Dla scharakteryzowania różnych rodzajów ruchu i różnych
rodzajów oddziaływań między ciałami, wprowadzamy różne rodzaje
energii: mechaniczną, wewnętrzną, elektromagnetyczną.
 Wzajemne oddziaływanie między ciałami (i elementami jednego
ciała) powoduje zmianę energii ciała, możemy więc opisywać to
oddziaływanie jako przekazywanie energii.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
ENERGIA, PRACA, MOC
W przypadku energii mechanicznej, jej zmianę powoduje wzajemne
oddziaływanie między ciałami poprzez siły. Proces zmiany energii ciała pod
wpływem działającej na nie siły nazywamy procesem wykonania pracy a
przyrost energii ciała w tym procesie to po prostu praca.
(Analogia: energia wewnętrzna a ciepło)
 Praca wykonana przez siłę jest wielkością skalarną, liczbowo równą
iloczynowi składowej siły w kierunku wykonywanego ruchu przez drogę,

przebytą w tym ruchu:
F
W  Fs  s

Fs
 W przypadku zmiennej siły o dowolnym kierunku względem przesunięcia
i dowolnej trajektorii ruchu między punktami A i B, możemy uogólnić
powyższy wzór:


W   F r   dr
B
A
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
ENERGIA, PRACA, MOC
 Jeżeli energia E jest przekazywana z jednego ciała do drugiego, to możemy
zdefiniować również tempo przekazywania tej energii. Wielkość tę
nazywamy mocą:
(dokładniej: jest to moc chwilowa).
dE
P
dt
 PRZYPADEK SZCZEGÓLNY: Jeśli ciało porusza się ze stałą prędkością v
pod działaniem stałej siły F, to możemy obliczyć moc jako:
 
P  F v
(Tak! To jest przykład iloczynu skalarnego!)
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
ENERGIA, PRACA, MOC
 Jednostki:
Siła:
1N  1kg 1m / 1s 2
niuton
Energia, praca:
dżul
1J  1N 1m
elektronowolt
Moc:
wat
1eV  1,6 1019 J
1W  1J / 1s
-
koń mechaniczny
1KM  746W
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
ENERGIA, PRACA, MOC
W mechanice rozróżniamy dwa rodzaje energii:
kinetyczną i potencjalną.
 Energia kinetyczna to energia każdego poruszającego się ciała
mierzona pracą, jaką trzeba wykonać przy jego hamowaniu do
całkowitego zatrzymania.
2
Można ją też obliczyć (ale nie zawsze!) ze wzoru:
mv
Ek 
2


EkB  EkA   Fwyp  dr
B
 Korzystając z definicji pracy można pokazać, że:
A
Jest to twierdzenie o pracy i energii:
Praca wykonana przez zewnętrzną siłę (wypadkową) na drodze od
punktu A do punktu B równa się przyrostowi energii kinetycznej ciała.
 Energia kinetyczna jest więc tzw. funkcją stanu jego ruchu (zależy tylko od wartości
początkowych i końcowych).
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
ENERGIA, PRACA, MOC
 Energia potencjalna to energia zmagazynowana przez ciało do użycia w
przyszłości. Podaje się ją raczej w postaci względnej zmiany (poziom „zera”
wyznaczamy arbitralnie) a konkretna jej postać zależy od typu siły, z którą jest
związana.
 Jeżeli ciało znajduje się pod działaniem pewnej siły F, to zmianę jego
energii potencjalnej U obliczamy jako pracę, którą trzeba wykonać, aby
przesunąć to ciało w obecności tej siły:
 
U    F  ds
B
A
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
ENERGIA, PRACA, MOC
 Grawitacyjną energię potencjalną (czyli energię potencjalną w polu sił
grawitacji) można obliczyć ze wzoru:
 1 1
U r   U Z  mgR   
 RZ r 
2
Z
gdzie UZ oznacza energią potencjalną na powierzchni Ziemi (poziom odniesienia), RZ jest zaś
promieniem Ziemi.
 W przypadku, gdy r
 RZ
(blisko powierzchni Ziemi)
możemy skorzystać z wzoru przybliżonego
U r   U Z  mgh
gdzie:
h  r  RZ
- wysokość nad powierzchnią Ziemi
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
ENERGIA, PRACA, MOC
 Energię potencjalną sprężystości, czyli np. energię rozciągniętej
sprężyny, możemy obliczyć wykorzystując wzór na siłę sprężystą (zgodnie z
prawem Hooke`a):
F  x   kx
gdzie x oznacza wychylenie z położenia równowagi a k jest współczynnikiem proporcjonalności,
zależnym od materiału sprężyny.
 Ustalając „zerowy” poziom energii potencjalnej dla x=0 (sprężyna w
położeniu równowagi, nierozciągnięta), możemy otrzymać wyrażenie na
energię potencjalną sprężyny:
2
kx
U
2
Zauważmy, że wartość energii potencjalnej nie zależy do tego, czy sprężyna jest ściśnięta, czy
rozciągnięta.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
NIEZWYKLE WAŻNE
Myj zęby rano i wieczorem.
CZEMU i PO CO?
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
SIŁY ZACHOWAWCZE
 Siły zachowawcze to takie siły, dla których praca nie zależy
od drogi, po której jest wykonywana. Matematycznie wyraża
to warunek:
 
 F  ds  0
czyli: praca po drodze zamkniętej równa się zeru.
 Przykładem siły niezachowawczej jest np. tarcie.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
ZASADA ZACHOWANIA ENERGII
 Przez wieki ludzie usiłowali
wynaleźć perpetuum mobile
– maszynę, która trwale
dostarczałaby na zewnątrz
energię mechaniczną.
Możliwości tej przeczy jedna z
fundamentalnych zasad fizyki –
zasada zachowania energii, która
narzuca
ograniczenia
na
możliwość
pozyskania
i
na
przechodzenie energii z jednej
formy w inną.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
ZASADA ZACHOWANIA ENERGII
 M. W. Łomonosow (1748) – zasady zachowania masy substancji w przemianach
chemicznych.
 R. Mayer i H. Helmholtz (XIX w.) – ilościowe sformułowanie zasady zachowania i
przemiany energii: w układzie zamkniętym energia może przechodzić z jednego
rodzaju w inne, jedno ciało może je przekazać drugiemu, lecz całkowita jej ilość
pozostaje stała.
 Zamknięty układ zachowawczy to układ ciał, które działają na siebie wzajemnie
siłami zachowawczymi. W takim układzie prawdziwa jest zasada zachowania energii
w mechanice:
Energia mechaniczna zamkniętego układu zachowawczego nie zmienia się podczas
ruchu układu:
E  Ek  E p  const
(całkowita energia układu jako suma energii kinetycznej i potencjalnej jest stała!)
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
ZASADA ZACHOWANIA ENERGII
 Zasada zachowania energii może służyć do rozwiązywania zagadnień
mechaniki, gdy szukamy informacji o końcowym stanie układu bez obliczania
stanów pośrednich.
Przykład:
Ciało zsuwa się po równi pochyłej bez tarcia (siła niezachowawcza!) z wysokości h. Jaką
prędkość v osiąga u podnóża równi?
A
Energia całkowita w punkcie A:
E A  EkA  E pA  0  mgh
B
h
Energia całkowita w punkcie B:
EB  EkB  E pB
mv 2

0
2
Stosując zasadę zachowania energii:
E A  EB
otrzymujemy:
v  2 gh
v
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
ZASADA
ZACHOWANIA
ENERGII
 Przemiany energii w
ruchu sprężystym (bez
tłumienia)
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
ENERGIA A SIŁA
 Energia jako wielkość skalarna pozwala na łatwe rozwiązanie prostych
zagadnień związanych z ruchem.
 Tym niemniej, spora część informacji o ruchu jest „tracona” – skalar
zawsze zawiera mniej informacji, niż wektor…
 Wypadałoby więc mieć możliwość powrotu do opisu „dynamicznego”, czyli
w języku SIŁ i zasad dynamiki Newtona!
 

F r    grad E p r 
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
KRZYWA ENERGII POTENCJALNEJ
 

F r    grad E p r 
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
RÓWNOWAGA
 Układ ciał znajduje się w równowadze, gdy wyprowadzenie go z tego
stanu wymaga działania sił zewnętrznych.
 Równowagę nazywamy trwałą, gdy niewielkie działanie zewnętrzne na
układ ciał wywołuje małą zmianę jego stanu = w układzie pojawiają się
siły wewnętrzne, które starają się przywrócić go do stanu pierwotnego =
energia potencjalna układu w tym stanie osiąga minimum.
 Równowagę nazywamy nietrwałą, gdy dowolnie małe działanie
zewnętrzne na układ ciał wywołuje wyprowadza go z tego stanu = układ
nie powróci do stanu równowagi bez działania sił zewnętrznych =
energia potencjalna układu w tym stanie osiąga maksimum.
 Najbardziej „trwały” jest stan układu, w którym energia potencjalna
przyjmuje możliwie najmniejszą wartość (bezwzględne minimum).