Zagadnienia dynamiki cię gna niewą tpliwie należą do waż nych

M E C H A N I K A T E O R E T Y C Z N A I STOSOWANA 3, 14 (1976) D R G A N I A C I Ę G NA W P Ł A S Z C Z Y Ź N E
I Z W I S U Z U W Z G L Ę D N I E N I EM J E G O S Z T Y W N O Ś CI N A Z G I N A N I E J Ó Z E F N I Z I O Ł , A L I C J A P I E N I Ą
Ż K E
( K R A K Ó W ) 1. Wstęp Zagadnienia dynamiki cię gna niewą tpliwie należą do waż nych zarówno pod wzglę dem zastosowań inż ynierskich, jak i pod wzglę dem poznawczym. Równania ruchu cię gien są układami równań róż niczkowych nieliniowych o pochodnych czą stkowych. Dodatkowo są to układy równań o zmiennych współczynnikach. Wszystko to stwarza poważ ne trud­
noś ci w uzyskaniu nawet przybliż onych, dostatecznie dokładnych, rozwią zań wymienio­
nego układu równań i przeanalizowaniu ruchu cię gna, a tym samym okreś leniu interesują­
cych nas wielkoś ci dynamicznych, jak przyspieszenia, naprę ż eni
a dynamiczne itp. D o znanych, najistotniejszych z tego zakresu zagadnień moż na zaliczyć rozwią zania przy róż nych stopniach uproszczenia, mianowicie : 1. W stanie równowagi oś cię gna pokrywa się z odcinkami linii prostej. Rozważa się nieliniowe drgania poprzeczne cię gna. 2. Rozważa się drgania nieliniowe cię gna o małym zwisie przy zastosowaniu hipotezy K I R C H H O F F A [5] zakładają ce
j moż liwość pominię cia podłuż nych sił bezwładnoś ci i ich wpływu na drgania poprzeczne cię gna. 3. Małe drgania cię gna wokół jego położ enia równowagi statycznej rozpracowane przez A N A N I E W A [1]. 4. Szczególny przypadek poprzedniego, gdzie dodatkowo pomija się wpływ podłuż­
nych sił bezwładnoś ci na drgania poprzeczne. Znane są róż ne przypadki rozwią zań powyż szych zagadnień, w zależ noś i cod warunków brzegowych, obcią ż ń e cię gna dodatkowymi masami itp. Omówione, czę ś ciow
o rozwią zane problemy, dotyczą cię gien idealnie wiotkich, bez uwzglę dnienia sztywnoś ci na zginanie. Wiadomo, że wartość sztywnoś ci wzdłuż nej EA ma istotny wpływ na formy drgań cię gna [3]. W odróż nieniu od struny przy odpowiednio duż ej sztywnoś ci EA pierwsza forma drgań może być antysymetryczna. Celowe jest więc przeanalizowanie wpływu sztywnoś ci gię tnej El na formy i czę stoś i c drgań cię gna, gdyż do tej pory nie zostało to Zrobione. Przedstawiona poniż ej praca stanowi wstęp do znacznie ogólniejszego zagadnienia tłumienia drgań w liniach elektroenergetycznych. W kraju, badania eksperymentalne z tego zakresu prowadzi Biuro Projektów Energetycznych w Krakowie. Zarówno w l i ­
teraturze krajowej, jak i zagranicznej brak jest opracowań teoretycznych z tego zakresu. Stosowane jako tłumiki drgań pę tle stanowią cię gno. Odległość mię dzy punktami zamo­
cowania takiego cię gna wynosi 4,4 [m] przy strzałce zwisu 0,4 [mj. Z literatury wiadomo J . N I ZI OŁ, A . PIENIĄ ŻK E
394 [3], że przy stosunku strzałki zwisu do rozpię toś i c podpór mniejszym od ­ I — < —I 8 \ L 8 / moż na traktować cię gno jako cię gno o małym zwisie i stosować odpowiednie uproszczenia przy analizie drgań wokół jego położ enia równowagi statycznej. W niniejszej pracy zajmiemy się analizą drgań własnych i wymuszonych cię gna w płasz­
czyź nie zwisu. Weź miemy pod uwagę cię gno zamocowane na dwóch sztywnych podpo­
rach przegubowych, którego długość jest wię ksza od rozpię toś i c podpór. Dodatkowo uwzglę dnimy sztywność gię tną cię gna El. W wielu zagadnieniach praktycznych, a dotyczy to głównie przewodów elektro­
energetycznych, drgania wymuszone są drganiami eolskimi. Tego typu drgania wywołane wirami Karmana były przeanalizowane przez B O Ł O T I N A [2], jednak przy traktowaniu przewodu jako struny. 2. Równania ruchu Na rys. 1 jest przedstawione cię gno, gdzie zaznaczono trzy jego konfiguracje: natural­
ną, statyczną (w położ eniu równowagi) i dynamiczną. Bę dziemy uwzglę dniać tylko nie­
liniowość geometryczną. Oprócz założ enia o liniowoś ci fizycznej pominiemy tłumienie cię gna. Ц
i -
,
.
H
0 Rys. 1. Cię gno i jego konfiguracje / — naturalna, 2 — statyczna, 3 — dynamiczna Weź my pod uwagę element ds cię gna odpowiadają cy konfiguracji naturalnej. W kon­
figuracji dynamicznej przyjmie on wielkość ds', którą moż na znaleźć ze zwią zku 0
(2.1) w którym Г jest napię ciem cię gna, A przekrojem poprzecznym, E zaś modułem sprę ż ­y
stoś ci Younga. Ruch cię gna bę dziemy rozważ ać w układzie kartezjań skim, Oxy, zwią zanym z poło­
ż eniem równowagi statycznej (położ enie 2 na rys. 1). N a rys. 2 przedstawiono element cię gna ds' oraż siły na niego działają ce. Składowe napię cia T, we współrzę dnych kartezjań skich Oxy, są nastę pują e c
D RGANI A CIĘ GN
A W PŁASZCZYŹ NI
E ZWISU 395 Przyrosty napię cia w kierunkach х , у wzdłuż elementu ds' bę dą nastę pują e c
(2.3) Rys. 2. Siły działają ce na element cię gna Przy wyprowadzeniu równań uwzglę dnimy także siłę poprzeczną
odpowiednie przyrosty wzdłuż ds' są, odpowiednio: dy д х (2.4) Q. Jej składowe Q-^,
ds" Q CS' ' (2.5) Rozkład sił wzdłuż nych i poprzecznych na osie przyję tego układu współrzę dnych przed­
stawiono na rys. 3. ' ds' ds M+ ds
w
M dy
ds' 'в ? ds' X e7 <mds' Rys. 3. Rozkład sił działają cych na element cię gna Podobnie jak w pracy [7], przyjmiemy założ enie, że składowa prę dkoś i c dowolnego punktu cię gna na kierunek styczny do jego konfiguracji ma wartość stałą. Założ enie to jest uzasadnione i ogólniejsze od omówionych wcześ niej przypadków 1 ­ 4, gdzie pomijano wpływ bezwładnoś ci w kierunku wzdłuż nym. J. N I ZI OŁ, A . PIENIĄ ŻK E
396 W celu okreś lenia siły bezwładnoś ci obliczymy przyspieszenie. Weź my składowe prę d­
koś ci w punkcie P' Dx д х
„ д х т
Dy dy
dy r r l
gdzie K ' jest prę dkoś ci
ą styczną do konfiguracji dynamicznej cię gna. Obliczając dalej pochodną Eulera z wyraż eń (2.6) otrzymujemy składowe przyspie­
szenia 2
d x D x 2 V ' ­ ^ + V' —
lv-^
dtds' ds' У ds' Dt ~ dt 2
2
+
+
2 +
(2.7) 2
d y D y d y +2V——+V dt
Dt ~~ dtds' 2
2
2 2
ds' \ ds' } Na podstawie (2.1) otrzymujemy ~ dt ­ ds dt ­ \
v
1
V
AE} °'
+
0
gdzie obecnie V jest prę dkoś ą ci styczną do konfiguracji naturalnej. 0
W zwią zku z powyż szym układ zależ noś i c (2.7) moż na zapisać nastę pują co
: 2
D x Dt 2
x dl 2
(2.8) dx
+2V
^
d x dt 2
2
D y Dt 2
r
, d / dx \ v
+v
^didY
„ , a d^A
x ^y
2
т
2
° dtds
0 v
­di^( °it)­
д х d° y W zależ noś ciac
h (2.8) składowe 2 K ^ — i 2 K . . , to składowe przyspieszenia Co­
dtds dtds
riolisa, ostatnie zaś człony są składowymi przyspieszenia doś rodkowego. 2
2
0
0
0
0 Sztywność gię tną El wprowadzimy do równań ruchu wychodząc z równania linii ugię cia zapisanego w postaci 2
dx d y (2 9)
2
W W
2
д х dy ~ W2 W _ M(s') (w) WJ J +
Powyż sze równanie zróż niczkujemy jednokrotnie wzglę dem s' i w ten sposób otrzymamy zależ ność na siłę poprzeczną Q. Zależ ność tę napiszemy od razu w zmiennej s wyko­
rzystując w tym celu zwią zek (2.1). Ostatecznie mamy 0
(2 10) K } Q ­
~ I Ы
U
\
L*L *Ł _ **
*L\
f \ \ds ds* ds* ds j­
0
1
+
A E )
0
397 D RGANI A CIĘ GN
A W PŁASZCZYŹ NI
E zwisu Moż emy obecnie przystą pić do napisania równań ruchu. Oznaczymy przez m masę przypadają cą na jednostkę długoś ci cię gna. Z warunku rzutów na kierunki x i у po uwzglę­
dnieniu sił bezwładnoś ci oraz zależ noś i c (2.10) otrzymamy nastę pują y c układ równań: 3
El
a ds
4 1
8x d y ds dsl 0
0 1 + 1 + AE AE 3
0
2
d x dt ds
2
д х dy \ 8у dsl 8s J ds I 8 x [ 0
dx' ~ds
J _ ds
0 0l 0 (2.11) / dx ^ у _ ^ х dy \ dx ' \ds 8s% dsl ds J ds
EJ
0
0
2
0 2
d v d v = m 0
V
ds [ ° 8s )\' 0
0
Stowarzyszone równania równowagi mają postać: 3
dx d y ds ds ds
El 3
d x Idy ds \ds
3 1 + JA
AEJ
0 3 0 0 2
mV (2.12) d T ds
cls
0 3
i 4 0
~dsj' d x dy dx dsl ds ds
3 (ds ) Q
0
3
d x ds
El
d x 0
0 1 + AE 2
= \d y\ m\g+V 'dsl
0
L'
Równania drgań wymuszonych otrzymamy przez dodanie do prawych stron równań (2.11) funkcji wymuszają cych/i(.?o, О ,fi(. o ')• Otrzymamy wówczas nastę pują y c układ równań: s
t
d dx d
3
+ dS
0
3
/ dx d y \ds dsl El
d x dy \ dy dsl Ss ) ~ds
0
0
0 1 + ~AE 2
2
d x d x 2V
- +v
= m dt + ' "' dtds ' '°'ds
0 0 2
0
0
0 V
0 dx ds
+fi(s , t), 0
0 (2.13) dy T ds
1 + 0 d ds
3
' dx d y ^ds ds
El 3 0 0 AE 2
= m 5 Mechanika teoretyczna , d y dt
2
2
+
2
v
d y ° dt 8s
0 +f2(S ,
0
t).
J . N I ZI OŁ, A . PIENIĄ ŻK E
398 D l a liny zamocowanej, jak na rys. 1, zarówno przemieszczenia, jak i momenty zginają­
ce w punktach s = = — у i s = — są równe zeru (gdzie / jest długoś cią cię gna w stanie 0
0
nieodkształconym), a wię c: =
• ( ­ Й
О
' =
' ( ­ Й
О
' (2.14) 2
d.y ds , 5J |, __4 0
0
2
= O, 0
2
<3x d _y 3 x 0. Warunki począ tkowe przyjmiemy w nastę pują ce
j postaci: x(s , 0) = (fi (s ), 0
(2.15) y(s , 0) = <p (s ), 0
0
2
0
д х dt 1=0 = 9>з О о ), = с ч О о )­
ot 3. Drgania swobodne Przeanalizujemy obecnie drgania swobodne cię gna. Weź miemy zatem do dalszych roz­
waż ań układ (2.12). Przyjmiemy, że współrzę dne х , у oraz napię cie T doznają małych przyrostów u, v, r, co wyrazimy nastę pują co
: x = x +u, (3.1) y = +v, t
f=T+x. yi
Współrzę dne x i у i odpowiadają położ eniu równowagi cię gna. Bę dziemy je uważ ali za stałe. Rozważ ymy dalej małe drgania cię gna wokół położ enia równowagi. Podczas tych drgań napię cie w cię gnie bę dzie się zmieniać nieznacznie. Wyraża to trzeci wzór w (3.1). W dalszej analizie wygodniej bę dzie przejść ze zmiennej s na s przy pomocy oczywistej zależ noś i c
t
0
Po podstawieniu (3.1) do (2.12), odpowiednim przekształceniu i uporzą dkowaniu otrzymujemy nastę pują y c układ równań (już w zmiennej s): /, T \ д
l^dxt [
dx y
3
dxi d yi dy ds ds ds t
3
du „д и Л 3
dxi d v dy ds ds ds y
3
L T \ _ _ d a
3
du d y dy, ds ds ds t
3
3
du d v ds ds 3
dy
ds t D RGANI A CIĘ GN
A W PŁASZCZYŹ NIE ZWISU (3.2) [c.d.] dyi ds 3 ds
3
3
1 3
3
_ dv 2 ds dx
d Xi l du\ 2
i
y
d u dyi dx
ds ds ds x t 3
3
3
1
3 3
3
3
d x, dv du ds ds ds d u dy du ds ds ds 3
d u dv du ds ds ds t
3 3
2
d v 2
+
3
du d v d x dyi du ~ds ~ds^ ds ds ds 3
d y, W
3
3
+ ~ds~L "ds + = m G+
3
3 d x dv dx
ds ds ds t
3
t
3
3
dyi dx ds ds ds 3
2
d v „ du d y, dxt + 2­
ds ds ds ds
y + ~dJ 3
3
2
2 2 ds 3 d u dv dx ds ds ds 3
2
dv d y\ ds
du d v dxi ds ds ds 3
ds ds ds ds ds ds d u dx
d u] + 2V + V
dtds +v- ds
ds \' 3
+ 2 3
du d v dv i = m dt
+ 1_ 2
dy,
ds 3
±1 ds ds ds 3 dyi ds 3
1
3
3
du d y, dv ­ ds ds ds d u dv d Xi [ dv \ dv ds ~d? ~ds) ~ Ъ
3
x 33 dx, d v dv — 3
d u dv dy
ds ds ds x
3
dxi d y, dv ­I 3 8 u I dy V ds \ds } v
2 ^ "1 d dyi ds ds ds З д
399 3
2
+ 2V d v dtds +
V
^
+
2
V
2 ds
Podobnie, jak w [7] przyjmiemy, ż e: dx
ds y dyi ds 1, rps, (3.3) tfx, du ds ds AE 1 + gdzie tp, ze wzglę du na przyję e t założ enie fo dy dv ds ds 1 < —, jest wielkoś cią małą. / o Po pominię ciu małych wyż szego rzę du (ip w potę dze wyż szej niż pierwsza), wykorzy­
staniu równań równowagi oraz zależ noś i c(3.3) otrzymamy układ: \2
du d_ T ds ds 1 + ~AE 2
1 + T \ d AE ds +
L +fS ~di. Os + j d v ds
= m
3 2
d u~\ d u d u + V
+ 2V­
ds \' dt dtds 2
2
3
y)S­
2 2
2
T dv + AE ~T~~ds 1 + ~AE Hś ) f + 2
T\
EI
r T
d Г d u 3
3
d v] V А Ё ) & f ar*­ " И
+
dv du \~ds~
AE
T V + 11 + 1E) El­
(3.4) 3* . . . i
+ = m
2
„ , d v
2
\d v Ы +
2
V
2
W*
T
+
V
_, d v L W J . N I ZI OŁ, A . PIENIĄ ŻK E
400 Wprowadź my jeszcze nastę pują e c oznaczenia : (3.5) ——TJ- = M,
7
2
(3.5а ) 2
... ­MV a = — , V = —, = W,
Ą = D, ^ = — . Ponadto przekształcimy pochodne mieszane, wystę pują e c po prawych stronach ukła­
du (3.4), w nastę pują y c sposób: 2 V ^ ­ = 2V±­
dtds
dt l
v
l
v
i analogicznie 2
S ^ Rozwią zania układu (3.4) przyjmiemy w postaci: fa
(3.6) u(s, t) = u{s)e>"#, O ( J , 0 = w ( i > « ' . Po podstawieniu (3.6) do układu (3.4), z uwzglę dnieniem oznaczeń (3.5), otrzymujemy: 2
3
2
2
2
2
­ 2EIy sD u + WD u + AED u + 3Mq a u + A Exp Dv + 2
3
4
+ AEy!sD v + ElipD v + EIyisD v = 0, (3.7) A
3
2
2
2
EIy>sD u + EIy>D u + AEy)Du + AEy>sD u­EID*v+WD v 2
+ 3Ma q v = 0. Nastę pnie dzielimy równania układu (3.7) stronami przez AE i w ten sposób otrzymu­
jemy układ: 2
2
A
3
2
(pt+l)D u + 3piq u+­^ ­y>sD v + ­— y>D v + y>sD v + y>Dv = 0, А A (3.8) / / / 3
2
2
2
— ipsD^u­r­ ~­ipD u + y)sD u + y>Du­ ­ ­D*v + piD v + 3piq v = 0. 7
A
A A Uzyskanie rozwią zania układu równań róż niczkowych czwartego rzę du o zmiennych współczynnikach (3.8) nastrę cza duże kłopoty. W celu uzyskania rozwią zania dokonamy przekształcenia wprowadzając zmienne f i r\ według wzorów: (3.9) Podstawimy (3.9) do układu (3.8). Po odpowiednim przekształceniu i pominię ciu, jako bardzo małych, członów zawierają cych iloczyny ptyt otrzymamy 2
2
3
(pi + l)D i + 3fiq i + 2­~y!D r 1
= 0, (З Л О ) 3
A
2
2
2 — y>D C + 2y>DC­ — D r] + LiD r} + 3piq 7) = 0. A A D RGANI A CIĘ GN
A W PŁASZCZYŹ NIE ZWISU Rozwią zania układu (3.10) 401 bę dziemy poszukiwali w nastę pują ce
j postaci: rs
£ = Ae , r\ = Be". Po podstawieniu powyż szych postaci rozwią zań do układu wiednich działań i uporzą dkowaniu otrzymujemy: 2
Л
1 )
I / 1 ъ
_|(
/ J +
A Г / I 2
+У З ­ — r++pr + 3pq \ = 0. Równanie charakterystyczne układu (3.12) 2
2
А \2­­1р г +2у г wykonaniu odpo­
2
A[{p + \)r + 3pq ] + B ( З
(3.10), l)­~+4(~)
2
Ą
^+[(/г (3.11) ma + \)р
postać ­з А
2
M
­4
2
W
L 2
2
2
2
2
A
+ [3(p+\)pq + 9p q ]r + 9p q = 0. 2
Po pominię ciu składników zawierają cych tp otrzymujemy / I
(3.13) ­• r
r 6
2 2
2
A
+ 1 ­ 3 —ą pr* + 3pq r + 9p q = 0 2
Jest to równanie trzeciego stopnia ze wzglę du na r . Zbadamy znak wyróż nika 3), który w koń cowej formie moż na przedstawić nastę pują co
: (3.14) 9 =
[­27(4) ^
6
+ 9 ^ \ 2
+ 3 ) ­ М
М
+ 2
2
+ 3 j (5p­ l­3p )q +p L ­ l ) J . Jak widać, wyróż nik 3) zależy od q. Ś cisł
e okreś lenie znaku 2J W zależ noś i c od para­
metru q jest moż liwe tylko dla konkretnych wartoś ci, przy czym i tak należy się liczyć z koniecznoś cią rozwią zania nierównoś ci szóstego stopnia. Biorąc pod uwagę powyż sze rozpatrzymy ogólnie przypadki róż nych, moż liwych znaków 3>. Przypadek I—9> > 0. W tym przypadku, ze wzorów Cardano, otrzymujemy jeden pierwiastek rzeczywisty oraz dwa pierwiastki zespolone sprzę ż one
. Ponieważ pierwiastek rzeczywisty może być dodatni lub ujemny istnieją dwie dalsze moż liwoś ci
: — jeden pierwiastek rzeczywisty ujemny, dwa zespolone sprzę ż one
, — jeden pierwiastek rzeczywisty dodatni, dwa zespolone sprzę ż one
. Powracając do równania charakterystycznego (3.13), które jest szóstego stopnia mo­
ż emy otrzymać : , a) sześć pierwiastków zespolonych sprzę ż onych
. b) dwa pierwiastki rzeczywiste, róż nych znaków i cztery zespolone sprzę ż one
Przypadek II— В < 0. Otrzymamy wtedy trzy pierwiastki rzeczywiste, przy czym dwa z nich mogą być dodatnie i jeden ujemny, wzglę dnie dwa ujemne jeden dodatni. Zatem równanie charakterystyczne (3.13) bę dzie miało: , a) cztery pierwiastki rzeczywiste i dwa zespolone sprzę ż one
e i dwa rzeczywiste. b) cztery pierwiastki zespolone sprzę ż on
402 J . N I ZI OŁ, A . PIENIĄ ŻK E
Przypadek 3> = 0 jest szczególnym przypadkiem 3) < O i nie bę dziemy go tutaj roz­
patrywać. W zwią zku г przedstawionymi wyż ej przypadkami pierwiastków równania charakte­
rystycznego, rozwią zania układu równań (3.10) bę dą miały odpowiednio róż ną postać. Przedstawimy je obecnie, dla każ dego przypadku oddzielnie. Przypadek l. Zapiszmy pierwiastki równania charakterystycznego w nastę pują ce
j postaci: ''Z = (3.15) « I ­ib, r = a + ib , U = a ­ib
''s = a + ib , r = a ­ib
2
3 2
3
2 3
3 6 2 3 Całki ogólne układu (3.10) bę dą miały postać: (3.16) ' "б ! Stałe Aj i Bj, (j' = l, 6) są stałymi zespolonymi zwią zanymi nastę pują ą c zależ noś ąci wynikają cą z układu (3.11): B
(3.17) 2 2
. 2
A = _ .(f* + Vr,+3 _
M
_ __Л
=
2—tprf J Г
+ 1Ч >П ^Ч > ) (u + l)r + 3ua
_­_ *
r
= 2 2
+ /
* r + 3
M
( / = 1,...,6). Rozwią zania (3.16) moż na zapisać w postaci rzeczywistej, wprowadzając nowe stałe : A%j, A , A za pomocą zależ noś ci
A = j (А +г А ), Ai = y (A ­iA ), 2J
3j
u
(3.18) 2
l2
и
A = — (A ­iA ), A = j (A A = у (A ­iA ), A = y 3
2l
31
s
A
22
+iA ), 21
22
(A +iA ), 6
32
12
31
32
na podstawie (3.17) i (3.15) słuszne są zwią zki: B = Atty+tyJ,
B = A (J1 + iy ) = /3, . A (B +iy ),
B = A (B + iy ) = B = A (B +iy )i
B = Л
t
(3.19) 3
5
s
3
s
3
s
2
4
6
2
2
Ą
6
Ą
A^­fyt), 2
Ą
( А ­ И > ) = 6
A (B -ty ),
Ą
3
a
A (t3 ­iy ). 6
s
s
D RGANI A CIĘ GN
A W PŁASZCZYŹ NIE ZWISU 403 Po podstawieniu (3.18) i (3.19) odpowiednio do (3.16), z uwzglę dnieniem (3.15), otrzy­
mujemy: ai
ttl
a2S
2S
£ = A e 'cosb s+A e 'smb s+A e cosb s+A e" smb s ll
1
12
l
2l
2
22
+ 2
3S
+ A e" cosb s 31
aiS
(3.20) r) = (A p +A Yi)e cosb s+(A y ­A p )e^ sinb s li
l
12
1
ll
l
12
l
3
22
A e s'mb s, 32
2S
2S
e" cosb s ­ (A , y ­ A B ) e° ń nb 3
2
2
3
22
3
s + 2
+ (A B + A32ys) e^cos b3s­(A31ys­A32ies) 31
3
+ 1
+ (A 8 +A y ) 21
aiS
+ 3
s
a
s
e > sinb s. S
3
Stałe A , A , A wyznaczymy z warunków brzegowych, które po zastosowaniu transfor­
u
2J
3j
macji (3.9) przyjmą postać (3.21) Przystą pimy obecnie do wyznaczenia stałych. Wykorzystując warunki brzegowe (3.21) otrzymamy układ sześ ciu jednorodnych równań algebraicznych na poszukiwane stałe. M a on postać: 2
' cosb1 ( ­ у ] + Л
A e u
1 2
2
е
l
2
" 'smbĄ ^+A
­j e
21
+ Л
22
<? 2
" 'cosb 1 ­ y j 2
cosЈ
s i n Z > 1 ­ 7 Г + ^ 3 i с 2
3 K ) + ­ =­<"з / + A e sinć > | ­ y | = 0, 32
> Л
и
е i . j­eii cos ­ 6 , / ­ M , e 2
A
2
+ A e 22
2 ' l ­i­02' м п у А
^+^л е 1 s m y0 /+^
2
3
1 c o s y 6 / + 2
4,­«э« з< ' 3 1
1 1
~a l J c o s 2 ~Z> /+,4 e s i n ­ j ­ ^ ^ O , 3
z
e 2
32
1 (3.22) Л , / S , c o s | ­ y 6 i / | ­ n s i n | ­ ­ i 6 i / | + ^
1 2
|y cos(­l6 /|+ ? sin(­i6 /)je"
1
1
/
1
+ ^ 2 1 /З з cos I ­ ~ b 11 ­ y s i n I ­ — b 1 + Л
2 2 y c o s | ­ y 6 / j + / 3 s i n | ­ 1 / 3 c o s | ­ y Z > / | + y s i n | ­ ^ 6 / j | e
+ Л
^ 3 2 2
3
3
2
3
5
3
5
+ 2
yfc /j|e
2
л
j
2
" ' + 2 < , 3
3
2
y cos j ­ 16 3 /J + в sin j ­ 16 3 /J e~ ~ 5
+ 2
3
2 1
'­l­
= 0, 404 (3.22) J . N I ZI OŁ, A . PIENIĄ ŻK E
2
2
A |/S,cos~ bj­y^m ^ v ) < ? u
(
+ A | y i cos у b /+/?, s i n y 6, /j e '"' + l2
t
1 1 2
1 \ i * ' 2
/3 cosy6 /­y siny6 /lc 3
2
3
/ I +A l 7 c o s b l + 2
22
3
2
2
2
1 \ T " ' /
1 1 \ 1"»' + /? sin Ш у 6 /1е +/1 , l / 3 c o s y 6 / ­ y s i n y 6 / l e ' + !
3
2
3
5
3
5
3
2
3
+ / 1 | y 5 C 0 S y Z > / + / 3 s i n y 6 / | ^ ' ' ' = 0, 3 2
2
3
5
3
2
A , { [ ­ 2 # , ­ 2 B , a , b , ­ ( a + Z > ) ] s i n | ­ * 6 , / J y i
2
2
+ A {[2 >a ­2y a b +0 (a ­b )]sm^­ 12
4
l
1
l
1
J v ] + 1
2
2
+ [2 ft, + 2 Ј , a , 6 , + y , ( a ­ 6 ) ] c o s l - i 6 , /J e~ + y
2
2
4­ Л i {[ ­ 2y>6 ­ 2B a b ­ у j (a + 6 )] sin | ­ J Z> / J + 2 2
2
3
2
2
2
2
+ [ 2 ­ 2y a b + 6 (a ­ b\)} cos ( ­ ~ b 1 j e
№
3 2
2
3
2
°' +
2
+ A {[2^я ­ 2 у 3 a b + /9 (a| ­ b )]sin | ­ 2 м ) + 2
22
2
2
2
3
2
+ [ 2 y , 7 + 2 ^ a i + y ( f l ­ 6 ) ] c o s | ­
2
2
3
2
2
2
2
""' + jb Ą e
3
2
+ A , {[­2v>Z> ­ 2 Ј a b ­ y (al ­ 6 | ) ] s i n | ­ ~ b IJ + 3
3
5
+ Л
3 2
s
3
3
3
s
2
+ [2y>a ­2y a b 3
3
2
+ e (al­b )]cos(­ i6 /) e~ + ( а 1 + bi)]sin^ ­ jb lj + 5
3
{ [ 2 y a ~ 2 y a b ­ в
3
5
3
2
3
5
3
3
2
2a
+ [ y>b + 2e a b + y (a ­b )]cos^­jb l^e~ '' 2
3
2
A u \(.­2y>b, - e a b ­ y a + [<­
2
l
1
l
1
s
3
3
5
3
= 0, 3
3
. 1 y b )sm~­b l+ 2
l
l
2
2
+ (2y>a +8,a ­B b ­2y t
l
1
1 a, 6 , ) c o s b , l e
2
+
405 D RGANI A CIĘ GN
A W PŁASZCZYŹ NI
E ZWISU (lipa,­2y a b
+ A
(3.22) [c.d.] l
1: 1
2
+ Piaf-Ptb ) i
+ (2ipb, + y a]­y b\+2fi a b )cos­~b l e
i
x
{
( ­ 2y>b ­2[3 a b - + A
2
2 2
3
2
3
2
+
i
3
2
a b ) cos — b 1 e 2
3
2
{
3
2
з
г
l
y a\ + y b\) sin \ b 1 + 2
+ (2г р а +Р а ­р Ь ­2y 2
sin j b j +
2
2
+ 2
2
(2y>a ­ 2y 3 a b + [3 a\ ­ / j b ) sin + A
2
2 2
2
3
3
b 1 + 2
2
2
+ (2y>6 + У з «I ­ У з b\ + 2p a b )cos Z> / c 2
3
2
2
(­2y)b ­2p a b ­y al 3
5
+ (2y>a 3
3
v
+ y bl)sin­^­b l 5
5
s
( ­ 2y «з 5
2
5
­ 5
3
3
5
3
3
s
3
3
U' b l^e " = 0. 2
s
3
+ 3
al ~ Ps b\ + 2ipa ) sin — b 1 + 2
+ (2 >b + y a ­y b +2p a b )cos­~ 3
+ 3
+f3 al­L3 bl­2y a b )cos~b l e 3
4
+ 2
3
3
Warunkiem istnienia niezerowych rozwią zań tego układu jest zerowanie się wyznacznika utworzonego ze współczynników wystę pują cyc
h przy poszukiwanych stałych. Jeż eli współ­
czynniki te oznaczymy kolejno przez с (/ = 1, 6). (j = 1, 6), to z równania ц
(3.23) / ,
ki, k , ..., k
2
E C
\k
C
l
C
2 k ••• 6k — O' 2
6
6 gdzie sumowanie jest po wszystkich moż liwych permutacjach drugich wskaź ników k ,k , ...,k liczb 1,2, . . . , 6 , zaś e jest równe +1 lub — l w zależ noś i c od tego, czy permutacja k ,k ,
k jest parzysta, czy też jest nieparzystą, otrzymujemy ciąg rozwią­
zań na czę stoś i c drgań własnych m„, (co = a„q„). Oczywiś cie a , b , a , b , a , b są funkcjami co.
x
2
0
t
2
6
n
x
t
2
2
3
3
Z zależ noś i c (3.18) moż emy obliczyć cią gi wartoś ci dla a , b , a , b , a „, b .
Nastę pnie z układu równań na stałe (3.22), dla okreś lonej czę stoś i c co wyznaczamy cią gi tych stałych: A\ A" , A" , A" , A" , A (и jest indeksem górnym). Ul
u
2
2i
22
31
ln
2n
2n
3
3n
32
Po przeprowadzeniu powyż szych obliczeń moż emy obecnie okreś lić postacie drgań własnych, dla okreś lonej czę stoś i cco.
J . NIZIOŁ, A . PIENIĄ ŻK E
406 We współrzę dnych u i v są one nastę pują ce
: n
u„(s) = A [(ipy s
ll
+ y>B w
l
l
+ y>y w )sinb,s
lb
l
+
la
?
lS
+ ( 1 ­ v / * i + V / ? i Wia + W i w )cosbis]e"
+
+ A" [(l-y>P,s
+
iD
+ y>P w + yy w )s'mb s
2
1
s
la
l
w
+ (-Wi +Wi
ia+vPi
3
1
w )cosbiS]e"^+
lb
+ A i К У >У З s­rpy w 2
lb
+ \pP w ) sin b s + 2a
3
2b
2
+ (1 ­y>B s+y)B w + fy w ) c o s & s ] e
3
3
2a
3
2i
e25
+ 2
+ ^ [ ( l ­ V > / 9 . y + V / ? w + y)y w )sinfe 5 + 2 2
3
3
2a
3
2fc
2
s
2
+ (~ У >У з + У У з w2 a ­ У >Р з w2 b ) cosb s]e" " + 2
+ A [(yy s+ W s W 3 a +y>Ps w b) sin b s + 31
s
3
3
(3 25) + (1 ­ fB s+fds 3a
+ A [(l­f8 s 32
aiS
w + y>y 5
w )cosb s]e + 5
3b
3
+ y)P w + ipy w )smb s 5
5
3a
s
3b
+ 3
iS
+ (­ Ws s + yys w ­ y>$ w ) cos b s] e° , 3a
n
aiS
v {s) = A [(­y ­y)W )smb s n
ll
l
xb
s
+ (fs + Bi­fW )cosbis]e l
tS
+ A" [(ips + B ­w f)s'mb s l
la
2i
3
2b
A
l
+ (y>s + p
2
s
+ (y +vWi(,)cos6is]e" + 1
+ A [(­y ­y>w )sinb s 3
+ la
i2
3b
2
3
­ y>w ) cos b s] e" " + 2a
2
2
+ 2 2 [y> + Pi ­ 4> 2 a)sinb s + (y + y>w )cosb s]e" '+ w
2
5
3b
2b
+ (y>s + B ­ fw ) cos b s] e >" + 3
5
+ A" [(y>s + P ­ipw )sinb s+(y + 32
s
2
a
+ A [(­y ­y>w )sir\b s 3l
3
3a
3
s
3a
3
3
y)w ) cosb s] e° ', 3b
3
gdzie 42 >
W,a
~af+bf *» = Ж П к 2> '* af+hf ' = 0 . 2 , 3 ) . Rozwią zania układu (3.6) wyrażą się zatem w postaci nastę pują cyc
h szeregów: u(s, t) = 2J u„(s)(C co$(o ,t+Z)*sinft)„0, n
l
(3.26) v(s, t) = У w„(5)(C„cos«„r + Z)„sinw„0. n = l W układzie (3.26) wystę pują stałe C„ i D„, które wyznaczymy z warunków począ tko­
wych, wykorzystując w tym celu warunek ortogonalnoś ci drgań własnych. Przeprowadza­
jąc w znany sposób proces ortogonalizacji [4] dla układu (3.7) otrzymujemy nastę pują y c
warunek ortogonalnoś ci 0 dla n ф k, i (3.27) J (u„u +v v )ds = j(u +v )ds, dla n — k. o k
n
2
k
2
Warunki począ tkowe potrzebne do wyznaczenia stałych są: u(s, 0) = g (s),
t
(3.28)
v(s, 0) = g (s),
2
dv
du_
~~dt
(s.O)
=
(s.O)
gt(*)-
407 D RGANI A CIĘ GN
A W PŁASZCZYŹ NI
E ZWISU Po wykonaniu odpowiednich działań otrzymamy nastę pują e c zależ noś i c na stałe C „ i A , : i
J
(giU„+g v )ds
2
K
i 2
2
f (u +v )ds n
n
o (3.29) i
(g3"n+g*v )ds
j
o n
I
2
u>„ / 2
(u +v )ds Rozpatrzymy obecnie drugą moż liwość wystę pują ą c w przypadku I, tzn.: kiedy równanie charakterystyczne bę dzie posiadało cztery pierwiastki zespolone sprzę ż on
e i dwa pierwiastki rzeczywiste równe lecz przeciwnych znaków. Zapiszemy to w postaci ogólnej: r = c, +id,,
r = Ci —idi, r = c + id , r = c — id , t
(3.30)
3
r
2
s
—
C
2
2
A
r
3 >
2
=
6
~
2
c
3 • Całki ogólne układu (3.10) zapiszemy w postaci: б (3.31) 6 £ = ]>]EJ(?I\
= ]?Hje'J*,
v
7=1 J = l gdzie Ej, HJ dla (J = 1 , 2 , 3 , 4 ) są stałymi zespolonymi, zaś dla (j' = 5,6) stałymi rze­
czywistymi. Wymienione stałe są mię dzy sobą zwią zane nastę pują ą c zależ noś ą ci wynika­
ją cą z (3.11): / / , E
( » • I W ­
j
2 —
= Ł) + <r,i, 3
W
-±. f
j
r
+ / i
rj
2
2
+ 3(iq
(3.32) dla j = 1 , 2 , 3 , 4 , ^ ­ =C, dla j = 5 , 6 . Postę pując podobnie, jak poprzednio, rozwią zanie (3.31) moż na przedstawić w po­
staci trygonometrycznej : CiS
ClS
£ = E e cosd s il
c
+ E e ń nds l2
l
!i
+ E e * cosd s l
2i
+ 2
c
s
+ E e * sin d s + Ł ch c s + E sh c s, 2 2
(3.33) 2
3 2
3
3 2
3
rj = ( Ј i C + ^ 2 f f i ) e c o s r f j ­ ( Ј f f ­ £ , 2 f ) e > * s m ( / J+ Cl,
1
1
c
1
1
11
1
+ ( Ј C + Ł 2 2 0­3)e ^cos^2 21
3
1
1
c
2S
ff ­ Ł 2 C3K sin</ ? + 3
2
2
+ Ј C ch c 5 ­ E C sh c i', 3 1
5
3
3 2
5
3
408 J . N I ZI OŁ, A . PIENIĄ ŻK E
gdzie j(En­iE ) l2
l
j(Eu + iE ) = E , = E , j(E +iE ) lt
­ (E ­iE ) 21
= E 22
i2
3
2l
2
= E , 22
A
stałe E i E są rzeczywiste. 31
32
Przystą pimy do wyznaczenia stałych z układu równań w postaci: Eu cos (
­ у
r f , / J + Ј
ł
s i n | ­ y r f , / ) 2
e x p | ­ y C i / ) + j
+ Ј j | c o s
2
­ у
d łj + E
2
22
s i n | ­ у
lCh
(~ 2
C i
')
4 + E 3 2 S h
С з 1
/• , i (cos­y U
.'
, / + Ј , 2 sin у ^ / | e x p | y Ci Л + JE |cos у d l+E b\n
7
21
x e x p y c
C X
E u j d c o s l ­ y r f j / j ­ f f j s i n l ­ у л ?! + Ј , 2 o­j cos I ­ у
2
2: ,
/ + Ј
P | ­ 2
3
C l /
3
=
°' — d l\y. 22
c h y c
1
{ ~ 2 )
2
/ + Ј ' 3
2
s h y c
3
/ = 0, 1 I
U ! /j + Ci sin I ­ 7
• C l/ U ! /j j exp 7
у
+ (3.34) C,cos( ­ y ( / / | H <r sin 2
3
exp( ­ у c l\ + 2
+ Ј 2 [ g C O s | ­ у J / | I . M! l 2
3
exp| ­ 2"C /I + 2
2
+ /:'.,, C c h ( ­ y C 3 / ) ­ Ј 3 a , C 5 S h ( , ­ i c / | = 0, 5
Ј i i J C I c o s у fi?! / o*! s i n у
U ! / | + Ex 2 7
3
|o­! c
o s y dJ+Ci 2
3
2
/ Jjexp — C i 7
22
3
7
2
x e x p y C / + Ј i C c h y c l­E C sh 2
Ј,,{[­2y>d s
3
5
3
­ a, (cj ­;/,) ­ 2Ci ej rf,]sin ( ­ I u? /j t
/ + | f f c o S y f i / + C s i n y u /jj
+ j ^ z i | c c o s y r f / ­ C T s i n y d l^ + E 3
s i n у fi?]
+ 32
s
3
2
y C / = 0, 3
D RGANI A CIĘ GN
A W PŁASZCZYŹ NI
E ZWISU 409
+ [2y>c, + Ci (cf ­ df) ­ 2(7, c, d,] cos ( ­ у </, / j j exp | ­ ~ c , l j + (3.34) [cd.] + Ł , j [2y>c, + С i (cf ­ Й
72
2
) ­ 2(7, c, U',] sin | ­ ­~ d / j + {
+ [2ipd + (7, (cf ­ dj) + 2C, c, rf, ] cos | ­ у d I j Jexp j ­ у j c , / + 1
t
+ Ј 2 1 | [ ­ 2 ^ / ­ о ­ ( с | ­ й ' | ) ­ 2 С з c « / j s i n | ­ y r f / J + 2
3
2
2
2
+ [2yc + C (cf ­ o'!) ­ 2(7 c <r/ ]cos | ­ у uf / j jexp | ­ у c / j + 2
3
3
2
2
2
2
+ E 2 j [2y>c + C (c\ ­ d\) ­ 2(7 c d ]sin j ­ у rf /1 + 2
2
3
3
2
2
2
+ [ 2 ^ + ( 7 ( c | ­ ( / ) + 2 C c u ' ] c o s | ­ y ^ / j j e x p j ­ y C / ) + 2
2
3
2
+ Ł
V
(7, (cf ­ 2
2
2
2 y c s h | ­ у c / | + C c | s h | ­ y c
3
3
5
/ | 3
+ 3 2^)c ch + Ј з Ł , , [ ­ 2 (/, ­ 3
2
c / ­ C c s h ( ­
3
3
c / 5
0, 3
72
o ) ­ 2f, c, </, ] sin ­ cf, / + 1 1 1 • jej
+ [(2yc, + С , (cf ­ </?) ­ 2(7, c, (/, ] cos ­­d I j e
+ 2 t
+ Ј , 2 j [2yc, + С , (cf ­ Й
72
) ­ 2(7, c, (/,]sin у rf, / + 1 1 4­
+ [2^6?, + o­,(cf ­df)+2Ci c, rf,]cos у U', / j e 2
+ 2
+ Ł , I [­2fd ­a (:cl­d )­2C c d ]sm^­d l+ + + [2г р с + C ( c | ­ df) ­ 2 c c d ) cos у d 1 j e 2
2
2
3
3
3
3
2
2
+ Ј 2 2 j [2yc + C ( c | ­d )­ 2
2
2
2
2
2
2cr c J ] sin ~d l 3
3
2
2
+ 2
+ [2y>d + a (c\ ­ dl) + 2C c d ] cos — d 1 \ e 2
3
3
+ Ј 3 1 + Ј 3 2 2
2
+ 2
2%pc sh у c / + C c\ ch у c / + 3
3
5
3
1 2ipc ch у c / ­ C c | s h y c j | = 0. 3
3
5
b ' ] J. NIZIOŁ, A . PIENIĄ ŻK E
• 40
1 Wielkoś ci co wyznaczamy podobnie, jak poprzednio. Mając io moż emy wyznaczyć n
n
stałe Efj.
Dla okreś lonej czę stoś i c co„ postacie drgań głównych we współrzę dnych u i v są na­
stę pują e : c
H„ (.V) = E [(y)ctjS-y)a w n
n
1
w
+ CiW id)^diS
lc
+
Cl
+ (1 -
fC s+ipC w +fo w )cosd s]e '+
l
l
lc
1
td
1
+ E" [(l ~wCiS+y>CiW + yeti
2
w )sind s+
lc
ld
1
c>
+ (-y)cr s
!
+ fa w ~ipCiW )cosd s]e '
1
1
ic
lll
+
l
+ E\, [(v»o­ s - y><7 w + tpC w a) sin d s +
3
3
2c
3
2
2
c
s
+ (l-y>C s + y)t; w + y)03 w ) cos d s] e * +
3
3
2c
2d
2
+ E" [ (1 ­ y>C s + у C и 'г с + fo w d) sin d s +
22
3
3
3
3
2c
2
c
+ (-y>cr s + y)o w -y>C
3
2
2d
2
(1 -y>C s)chc s+ \y>C
+ E"
5
3i s
w ) cosd s]e * +
3
s
+ s
(3.36) + E
ch c s + (1 + Cs ¥>•?) sh c s
32 3
n
ClS
v„(s) = E [(—o —fw )smd s+(y)s+C —
il
1
ld
1
3
yiw )cosd s]e + 1
lc
1
ClS
+ E" [(ips + Ci — fWiJsind,
s + (a + ipw )cosd s]e t
12
id
+ 1
2S
+ E i [( ­ °з ­ W Wid) sin d s + (ys + f ­ y>w ) cos d s] e° + 2
3
2
2c
2
й
c
s
+ Ј 2 2 [(V + С з ­ Vw ) sin д " + (o­ + y>w ) cos d s] e * + 2c
+ E
2
3
2
2d
1 V>—J shc s+(ips+C )ć
3
31 + E"
32 s
hcs\
+
3
(y>s—C )shc s—y) —— c h c j s
3
3
C
3 W powyż szych wzorach, dla skrócenia zapisu, oznaczyliś my przez w , w wyraż enia: ic
di
c;
W i c
cf+df
Wii
~cf+dr
id
i = l , 2 . Po podstawieniu znalezionych postaci drgań własnych do (3.26) otrzymamy poszukiwane rozwią zania. Przypadek II. Rozpatrzymy pierwszą moż liwoś : ć gdy dwa pierwiastki równania cha­
, a cztery rzeczywiste, co ogólnie zapiszemy: rakterystycznego są zespolone, sprzę ż one
П = 4 +ifi, (3.37) r = e,
3
2
rs = e , 3
r =e ­ifi, 2
x
r* =
~e ,
r =
-e .
0
2
3
D RGANI A CIĘ GN
A W PŁASZCZYŹ NIE ZWISU 411 Całki ogólne układu równań (3.10) napiszemy od razu w postaci trygonometrycznej: e,s
eiS
I = G , , e c o s f s + G e s'mf s+G she s l2
l
(3.38) e
1
3
s
+ G .che s + G she s + G che s, 2
4
2
5
e
tj = (G & +G d )e i cosf s­(G d ­G & )e ^smf s 11
i
i2
1
1
li
1
12
1
3
6
3
+ 1
+ G x sh e s — G x ch e s + G x sh e s — G x ch e s, 3
3
4
2
3
2
5
5
3
6
s
3
gdzie 2
(H+\)rf + l(iq
Pj Gj = xj = ftj + iój, 2-L f
(3.39) . / = X
J = ®J>
3
J -
4
5
6
> > >
C
/ G
GJ = у ( ­ > + > 2
~ j'f+firf
W
+ S/iq
1 , 2 , '
G = I ( G , , ­ 2
iG ), 22
P , , Gj dla y' = 3, 4, 5, 6 są stałymi rzeczywistymi. Po analogicznych obliczeniach, jak w poprzednich przypadkach, otrzymamy nastę pu­
ją ce postacie drgań własnych: u (s) = G" [(y>d s—fd w n
11
1
1
le
+ y>& w )smf s 1
lf
1
+ ei
+ (l—yy& s+ip& w + ip<)\ w )cos f s]e " 1
1
+ Gi 2 [(1 lf
le
+ 1
+ f®i w + у д у w ) sin / 1 s + t e
s + f&i w
+ ( — lf
eiS
— ip&yW )cos le
f s]e if
+ 1
*3 + G?"з [( j (1 — ipx s)sh.e s + y- — c h e j j + 3
3
2
2
'> I " Y > ^ she .?­l­(l­ y* .s')che .yj+ 2
r
3
2
+ G ( l ­ ^ s ^ s h e s J + v + 5
4 b t ) (3.40) she .?­f (1 +y>x s)che s 5
3
3
e i S
*)„(.$) = G ^ t ( ­ v ) W i ­ ó ) s i n / J + (^j + ^ ­ v n ' ) c o s / j ] e + 1
/
1
1
1
l e
1
е
+ G" [ ( ^ 5 + ­ ywi ) s i n / ! J + (o, + y>w ) c o s / 5] е »* + 2
e
lf
x
+ G3 (y)s + x )she s­ •y>— che s\ + 3
2
2
e
2 J + GI — rp— she s + (rps — >t: )che .sj + 2
3
+ G 5 j (rps + x )sh.e s — 5
+ G\ 3
— che ^ J + she s+(rps— 3
2
3
x )che s\. s
3
J . N I ZI OŁ, A . PIENIĄ ŻK E
412 W celu uzyskania rozwią zań należy powyż sze postacie u„ i v podstawić do wzorów (3.26). We wzorach (3.40) oznaczono: n
fi Vfi„ = el+fi ei+fi 4. Drgania wymuszone W celu rozpatrzenia drgań wymuszonych weź miemy pod uwagę układ (2.13). Postę­
pując tak samo, jak przy analizie drgań swobodnych, układ ten przekształcimy do nastę pują ce
j postaci, wygodnej w dalszych rozważ aniach: 2
A
3
2
2
. d u I d v I d v d v dv (M+l)
+ f s ­ ^ r + ­
3 ­ + W
­ + W­
d
s
2
J
I
T
s
d s 2
Ъ
a7 „ M d u ~А Ё 8jr =
Ms,0,
(4.1) 2
d u 3
d u ę y
1 yts
A ds
r ds
д и ds 2
2
d v I d*v A ds ds* ­ 3 2
M d v ^AElh
=
2 fi(.s,t). Całki ogólne układu równań jednorodnych zostały wyznaczone w poprzednim rozdziale. Całek szczególnych bę dziemy poszukiwać metodą rozkładu według postaci drgań wła­
snych (np. [4]), w nastę pują ce
j formie: u(s, t) = yju„(s)S (t.), n
(4.2) 20 v(s,t) = £v„(s)S„(t). Po podstawieniu (4.2) do (4.1) otrzymamy: 00 M + ­j yiv'„" + j "~ipsv / ~AE
(ц +1)и ' ' + ipv'„ + ipsv'n
п
1
S
3
UnS
•• 1 ")
= /
l
(
'
M
)
' 00 1
r
ipsu / + ~ fu'„" ­ — v* + rpsu, 3
V
= S
• ­AE » " fz(s,t), gdzie apostrofami oznaczono róż niczkowanie czą stkowe po s, kropkami zaś róż niczko­
wanie po t. W celu wyznaczenia niewiadomych funkcji S (t), pierwsze równanie układu (4.3) pomnoż ymy stronami przez u , drugie przez v , a nastę pnie dodamy je stronami. W ten sposób otrzymujemy: n
k
k
0 0 (/л + 1)и ' ' u + y>v'„u + ipsv' ' u + A­y, ' " + п
(4.4) k
k
+ 1­ • ę
n
k
v n
Uk
su]
v + ~y>u' "®к ­­д
y
k
n
L3 — М и
п
l
v
^­y>sv „ u + y)su' 'v + k
v
v' Vk + У
n
> п Щ + № п 'щ и
„ М и + 3— v v S„\ к
n
k k
=fiu +f v . k
2
k
D RGANI A CIĘ GN
A W PŁASZCZYŹ NI
E ZWISU 4 1 3 Funkcje u„, v„ spełniają układ równań jednorodnych (3.8). Mnoż ąc jak poprzednio pierwsze równanie tego układu przez щ , drugie przez v otrzymamy: k
(4.5) v
y
0 +1) u'„' Uk+~ y>sv' u + — %pv'ń щ ' + fsv'ń u + fo'„ u + — y>su'„ v + n
k
k
+ ^Wn"^-^v7vk k
+ fsu'ń v + ^ v +[iv'ń v k
n
k
k
k
2
= ­3fiq (u„u + v„v ). k
k
Jak widać, pierwsze wyraż enie w nawiasie kwadratowym w (4.4) jest równe prawej stronie równania (4.5). Uwzglę dniając to i wyłą czając wspólny czynnik przed nawias otrzymamy: 00 (4.6) 2
У (u„u +v„v )I k
— 3fiq S„ —— k
S ) =fiU +f v . n
k
2
k
Po obustronnym prż ecałkowaniu po długoś ci / i wykorzystaniu warunku ortogonal­
noś ci (3.27) otrzymamy 3M • • 2
(4.7) ­3fiq S ­ — n
S = K„(t),
n
gdzie i Ut)
= -°—
.
2
2
/ (u +v )ds o >
Równanie (4.7) przekształcimy do postaci 2
*. _ . (4.7a) • • uq AE _ Ą + ^ L _ Ą= ­
AE „ , . « . ( 0 . W
Rozwią zanie równania (4.7a) przy identycznych warunkach brzegowych, jak dla drgań swobodnych i warunkach począ tkowych (4.8) S (0) = 0, n
Ś (0) = 0 n
ma nastę pują ą c postać: t (4­9) З Д = ­ ~ ] /
~ J ^ ( r ) s i n K ( r ­ т ) ] Л = AE ­ J 7Ś T(T) sin [co (i ­ T) ] dr.
3Mco„ N
6 Mechanika teoretyczna n
J . N I ZI OŁ, A . PIENIĄ ŻK E
4 1 4 Zatem całki szczególne układu (4.1) (drgania wymuszone cię gna) wyraż ają się nastę­
pują co: OO CO
« 0 , 0 = ^u„(s)S„(t) = ­ ^
n = l I
u„ JK ( r ) ń n [ c o( t ­ x ) ] d r , ^ 3
n = l a
" n
0 4.10 00 oo
»0> O = ^v„(s)S„(t) = ­ ^
n ­ l I
^ 3
л = 1 ^„ j " ^ „ ( ^ s i n K ^ ­ T ) ] ^ . O Całki ogólne układu (4.1) (drgania całkowite cię gna) mają nastę pują ą c postać: 00 (4.11) ( u(s, t) = У 00 u (s)^C„cosco„t+D sxaw t­ n
Ф
n
B
^
m
f t , O = ^ v„ Q ) j C„ cos co„ t + Z>„ sinft)„ Г ­ f
K x)ń n[co(t­r)]dr^, n
n
f А Г „ (т ) sin [co„ (t ­ т )] J r j , gdzie za и „ i w„ bierzemy cią gi funkcji, uwzglę dniając przy tym odpowiedni przypadek rozwią zania równania charakterystycznego. 5. Zakoń czenie Zaproponowana w pracy metoda znajdowania drgań wymuszonych liny z uwzglę dnie­
niem jej sztywnoś ci na zginanie jest metodą ogólną. Ze wzglę du na duże trudnoś ci rachun­
kowe uzyskanie efektywnych rozwią zań jest moż liwe jedynie przy uż yciu maszyn cyfro­
wych. Dotyczy to wyznaczania pierwiastków równania charakterystycznego. W pracy przedstawiono ogólną analizę ze wzglę du na uzyskanie rozwią zań w zależ noś i c
od parametrów liny. Uwzglę dniona sztywność gię tna utrudnia wprawdzie tę analizę i nie pozwala na znalezienie rozwią zań analitycznych w formie zamknię tej, ale daje moż liwoś i c
zbadania jej wpływu zarówno na czę stoś i cdrgań własnych, jak i na kształt funkcji własnych. Przy znajomoś ci funkcji własnych, przez zastosowanie uogólnionej ortogonalizacji, pro­
blem znalezienia amplitud drgań wymuszonych nie przedstawia trudnoś ci. Literatura cytowana w tekś cie 1. А
. А
. А Н А Н Е В , К
р а с ч е т у к а н а т о в п р е д х р а н и т е л ь н ы х с е т е й п о д в е с н ы х к а н а т н ы х д о р о г , Л
П
И
, 1949. 2. В
М
. В
. Б о л о т и н , О в и б р а ц и я х Е И , М
о с к в а 1959 ( в ы
п р о в о д о в в о зд у ш н ы х л и н и й э л е к т р о п е р е д а ч и и б о р б е с н и м и , И з д а т . п . 32). 3. J . H AJ DUK, J . OSIECKI, Ustroje cię gnowe — teoria i obliczanie, W N T , Warszawa 1970. 4. S. K ALI SKI i wspуłautorzy, Drgania i fale, P W N , Warszawa 1966. 5. G . KIRCHHOFF, Vorlesungen iiber Mechanik, Leipzig 1897. 6. Z . O NI SZCZUK, Drgania poprzeczne układu dwóch belek połą czonych elementem sprę ż ystym,
Mech. Teoret. i Stos. 1, 12 (1974). 7. A . SIMPSON, On the oscillatory motions of translating elastic cables, J . Sound Vibr., 20, 2 (1972). 415 D RGANI A CIĘ GN
A W PŁASZCZYŹ NIE ZWISU Р
К О Л Е Б А Н И Я П
Р О
В О
е з ю
м
е Д А В П Л О С К О С Т И С В И С А С У Ч Е Т О
М Е Г О Ж
Е С Т К О С Т И Н А И З Г И Б В р а б о т е р а с с м о т р е н ы с в о б о д н ы е и в ы н у ж д е н н ы е к о л е б а н и я п р о в о д а . П
р и э т о м у ч т е н ы : ж е с т к о с т ь н а и з г и б , с о с т а в л я ю щ а я с и л ы К о р и о л и с а и ц е н т р о б е ж н а я и н е р ц и о н н а я с и л а . К о л е б а н и я п о р о ж д а ю т с я п е р е м е н н о й в о в р е м е н и р а с п р е д е л е н н о й н а г р у з к о й . З а д а ч а с в е д е н а к с и с т е м е д в у х д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й в ч а с т н ы х п р о и з в о д н ы х ч е т ­
в е р т н о г о п о р я д к а . Д
л я р е ш е н и я э т и х у р а в н е н и й и с п о л ь з о в а н ы с л е д у ю щ и е м е т о д ы : л и н е а р и з а ц и я , р а з д е л е н и е п е р е м е н н ы х и р а з л о ж е н и е п о г л а в н ы м ф о р м а м к о л е б а н и й . А н а л и з п р о в е д е н с т о ч к и з р е н и я п о д б о р а г е о м е т р и ч е с к и х п а р а м е т р о в п р о в о д а . Т а к о й п о д х о д б у д е т п о л е з е н п р и р е ш е н и й с л е д у ю щ е й п р о б л е м м ы : д и н а м и ч е с к о г о д е м п ф и р о в а н и я к о л е б а н и й к а б е л ь н ы х э н е р г е т и ч е с к и х с и с т е м . S u m m a r y V I B R A T I O N S O F C A B L E IN T H E S A G ­ S P A N P L A N E W I T H R E G A R D ITS B E N D I N G S T I F F N E S S In this paper the free and forced vibrations of cables are analysed, bending stiffness of the cable, the Coriolis and ccntripedial components of the force of inertia, are taken into consideration. Vibrations are excited by continuous time­dependent loads. The problem is described by a set of the two partial dif­
ferential equations of fourth order. The following methods of solution arc applied: linearization, separation of variables and expansion into the series of free vibration forms. The analysis was performed from point of view of the proper choice geometrical parameters of cables. This approach will be useful in considering other problems like that of dynamical damping the cables sets. POLI TECHNI KA KRAKOWSKA Praca została złoż ona w Redakcji dnia 29 paź dziernika 1975 r. \