Zestaw zada« nr 4

Zestaw zada« nr 4
RACHUNEK PRAWDOPODOBIE‹STWA I STATYSTYKA
4.1. Okazuje si¦, »e rozkªad prawdopodobie«stwa uzyskania ocen z RPS (X ) i MD (Y ) przez tego samego studenta
w pewnej szkole przedstawia si¦ nast¦puj¡co.
X
4,5
Y
(a) Wyznacz warto±¢ staªej
a,
5
4
4,5
5
a
2a
0,1
0,1
0,2
0,3
by powy»sza tabelka rzeczywi±cie okre±laªa rozkªad prawdopodobie«stwa.
X i Y.
(X, Y ). Oblicz
(b) Znajd¹ rozkªady brzegowe zmiennych losowych
(c) Znajd¹ posta¢ dystrybuanty zmiennej losowej
(d) Sprawd¹, czy zmienne losowe
korelacji
%(X, Y ).
X
i
Y
warto±¢
F (4,5; 4,5).
s¡ niezale»ne. Wyznacz kowariancj¦ tych zmiennych oraz ich wspóªczynnik
%(X, Y ).
Podaj interpretacj¦ otrzymanej warto±ci
4.2. Inny raport podaje, »e w s¡siedniej szkole rozkªad prawdopodobie«stwa uzyskania ocen z RPS (R) i MD (M )
przez tego samego studenta przedstawia si¦ jak ni»ej.
R
Y
4
4,5
5
4
1/32
1/32
1/16
4,5
3/32
3/32
3/16
5
1/8
1/8
1/4
(a) Znajd¹ rozkªady brzegowe zmiennych losowych
(b) Sprawd¹, czy zmienne losowe
korelacji
RiM
R i M.
s¡ niezale»ne. Wyznacz kowariancj¦ tych zmiennych oraz ich wspóªczynnik
%(R, M ).
(c) Podaj interpretacj¦ otrzymanej warto±ci
%(R, M ).
4.3. Gor¡czka analiz probabilistycznych ogarn¦ªa wszystkie dziekanaty! Co ciekawe, w jeszcze innej szkole rozkªad
prawdopodobie«stwa uzyskania ocen z Filozoi Bytu (F ) i Wychowania Fizycznego (W ) przez tego samego studenta
przedstawia si¦ nast¦puj¡co.
F
W
2
3
4
5
2
0
0,01
0,1
0,2
3
0,01
0,05
0,03
0,1
4
0,1
0,03
0,05
0,01
5
0,2
0,1
0,01
0
(a) Znajd¹ rozkªady brzegowe zmiennych losowych
(b) Sprawd¹, czy zmienne losowe
korelacji
%(F, W ).
F
i
W
F
i
W.
s¡ niezale»ne. Wyznacz kowariancj¦ tych zmiennych oraz ich wspóªczynnik
Podaj interpretacj¦ otrzymanej warto±ci
4.4. Z talii 52 kart wylosowano 1 kart¦. Niech zmienna losowa
%(F, W ).
A opisuje liczb¦ wylosowanych asów, a K liczb¦
(A, K). Czy te zmienne s¡ niezale»ne? Oblicz ich
kierów. Wyznacz rozkªad prawdopodobie«stwa zmiennej losowej
wspóªczynnik korelacji.
4.5. Sªawek jest studentem informatyki. Otrzymuje stypendium naukowe w wysoko±ci 500 zª miesi¦cznie. Dodatkowo
zarabia na zleceniach; w miesi¡cu wykonuje ±rednio 10 stron internetowych i udziela przeci¦tnie 20 godzin korepetycji,
z odchyleniami standardowymi równymi odpowiednio 3 i 4. Za stron¦ otrzymuje 50 zª, a za godzin¦ korepetycji
pobiera 30 zª. Wspóªczynnik korelacji mi¦dzy liczb¡ wykonanych witryn i liczb¡ godzin dydaktycznych wynosi
0,6.
Oblicz oczekiwany miesi¦czny dochód i jego odchylenie standardowe.
4.6. Pewna piekarnia wytwarza dwa rodzaje specjalnego pieczywa. Chleba Janosik sprzedaje dziennie ±rednio 100
sztuk (z odchyleniem standardowym 10), a buªki Pokusa przeci¦tnie 90 sztuk (z wariancj¡ 49). Wspóªczynnik
korelacji mi¦dzy liczb¡ zagrabionych Janosików a nieodpartych Pokus wynosi 0,3. Oblicz oczekiwany dzienny dochód
z tytuªu sprzedanych ww. specjaªów, je±li wiadomo, »e pierwszy produkt kosztuje 2,99 zª, a drugi 3,49 zª. Ponadto,
wyznacz odchylenie standardowe dochodu.
4.7. Prawdopodobie«stwo, »e w czasie
podobie«stwo, »e w czasie
t
t
jedna »arówka przestanie ±wieci¢ jest równe
0,2.
Oblicz przybli»one prawdo-
spo±ród 150 przestanie ±wieci¢ od 20 do 35 sztuk. Zakªadamy, »e »arówki przepalaj¡ si¦
niezale»nie od siebie.
4.8. Przyjmuje si¦, »e
1%
populacji choruje na schizofreni¦. Oblicz prawdopodobie«stwo, »e w±ród losowo wybranych
1000 osób b¦dzie wi¦cej ni» 12 cierpi¡cych na to zaburzenie.
4.9. (PG) Agencja turystyczna Lataj¡cy Holender dysponuje bogat¡ ofert¡ i sprzedaje wycieczki niemal na caªy
±wiat. W ubiegªym roku 10% spo±ród klientów tej agencji wybraªo si¦ do Ameryki Poªudniowej, 5% na Hawaje, 20%
do krajów Dalekiego Wschodu, a pozostali w rejon Morza ‘ródziemnego. Wedªug szacunków agencji, w tym roku uda si¦
Ostatnia aktualizacja: 30 listopada 2010.
c
[email protected].
WSiSIZ/IZ/RPS/1011z/zadania-04, s. 1
jej sprzeda¢ okoªo 1000 wycieczek. Zakªadaj¡c, »e preferencje klientów nie zmieni¡ si¦, jakie jest prawdopodobie«stwo
tego, »e agencji uda si¦ sprzeda¢ od 40 do 70 wycieczek na Hawaje?
4.10. Prawdopodobie«stwo znalezienia wybrakowanego towaru wynosi
p.
Kontrola sprawdza liczb¦ braków spo±ród
n
losowo wybranych sztuk towaru. Wyznacz wzór ogólny na rozkªad prawdopodobie«stwa tej zmiennej losowej.
(a) Je±li
(b) Je±li
(c) Je±li
p = 0,1, a n = 10, jakie jest prawdopodobie«stwo, »e kontrola nie napotka wi¦cej ni» 1 braku?
p = 0,1, a n = 1000, oszacuj prawdopodobie«stwo (z CTG), »e kontrola napotka od 50 do 100 braków.
p wynosi zaledwie 0,001, a n = 5000, oszacuj prawdopodobie«stwo (z tw. Poissona), »e kontrola napotka
co
najmniej dwa braki.
4.11. (PG) Dziennikarze pewnej gazety twierdz¡, »e wielu posªów z pewnej partii obawia si¦, i» gdyby rozpisano przed-
terminowe wybory, mogliby nie znale¹¢ si¦ ponownie w parlamencie, a tym samym utraciliby immunitet. Dziennikarze
bowiem dotarli do materiaªów, z których wynika, i» prawdopodobie«stwo tego, i» losowo wybrany poseª z tej partii
0,2.
ma czyste sumienie, wynosi zaledwie
Zakªadaj¡c, »e posªowie stanowi¡ reprezentatywn¡ próbk¦ czªonków swo-
jego ugrupowania, oblicz prawdopodobie«stwo, »e w licz¡cej 5000 czªonków partii znajdziemy cho¢ 1200 rzeczywi±cie
uczciwych obywateli.
4.12? Pewien zacny i a» nadto znany z zapaªu do pracy swej profesor przeprowadza egzamin ustny z RPS. Dostaª
jednakowo» od dziekana pozwolenie na przepytanie jednego dnia tylko (sic!) 50 osób. Wie on z do±wiadczenia, i»
z powodu ró»nych (niezrozumiaªych) okoliczno±ci tylko 80% studentów przybywa na wyznaczony termin sprawdzianu.
Ile maksymalnie osób powinien zaprosi¢, by mógª mie¢ 99% pewno±ci, i» »aden ucze« nie zostanie odprawiony z pust¡
kart¡ egzaminacyjn¡?
4.13? Dana jest nast¦puj¡ca funkcja.
cxy
0
f (x, y) =
(a) Znajd¹ staª¡
c∈R
tak¡, »eby
f
x ∈ [0, 2], y ∈ [0, 1],
dla
(1)
w p. p.
byªa g¦sto±ci¡ dwuwymiarowej zmiennej losowej
(X, Y ).
(b) Znajd¹ rozkªady brzegowe tej zmiennej losowej.
(c) Podaj warto±¢ jej dystrybuanty w punkcie
(1; 0,5)
oraz
(1; 2).
Oblicz
P (X ∈ [1; 1,5], Y ∈ [0,25, 0,75])
oraz
P (X ¬ 1).
(d) Sprawd¹, czy te zmienne losowe s¡ niezale»ne. Wyznacz kowariancj¦
Cov(X, Y )
oraz wspóªczynnik korelacji
%(X, Y ).
4.14? Dana jest nast¦puj¡ca funkcja.
f (x, y) =
(a) Znajd¹ staª¡
k∈R
tak¡, »eby
f
kxy
0
0 < y < x < 1,
dla
(2)
w p. p.
byªa g¦sto±ci¡ dwuwymiarowej zmiennej losowej
(b) Podaj warto±¢ jej dystrybuanty w punkcie
(X, Y ).
(2; 0,75).
(c) Sprawd¹, czy te zmienne losowe s¡ niezale»ne. Wyznacz wspóªczynnik korelacji
%(X, Y ).
4.15? Dana jest funkcja:
f (x, y) =
(a) Znajd¹ staª¡
a∈R
tak¡, »eby
f
exp(−ax − ay)
0
dla
x > 0 i y > 0,
(3)
w p. p.
byªa g¦sto±ci¡ dwuwymiarowej zmiennej losowej
(X, Y ).
(b) Sprawd¹, czy te zmienne losowe s¡ niezale»ne.
(c) Wyznacz dystrybuant¦.
(d) Wyznacz kowariancj¦
Cov(X, Y )
oraz wspóªczynnik korelacji
%(X, Y ).
4.16? Dana jest nast¦puj¡ca funkcja.
f (x, y) =
(a) Znajd¹ staª¡
k∈R
tak¡, »eby
f
kx
0
dla
0 < x < y < 1,
(4)
w p. p.
byªa g¦sto±ci¡ pewnej dwuwymiarowej zmiennej losowej
(b) Podaj warto±¢ jej dystrybuanty w punkcie
(c) Sprawd¹, czy te zmienne losowe s¡ niezale»ne. Wyznacz wspóªczynnik korelacji
Ostatnia aktualizacja: 30 listopada 2010.
c
(X, Y ).
(0,25; 0,5).
[email protected].
%(X, Y ).
WSiSIZ/IZ/RPS/1011z/zadania-04, s. 2