lista zadań - Politechnika Wrocławska

Analiza Matematyczna I
Informatyka, WPPT, Politechnika Wrocławska
1
Wprowadzenie
1—
ści:
1.
2.
3.
(2 godziny ćwiczeń)
Pokaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzą nierówno|a · b| = |a| · |b|,
|a + b| ¬ |a| + |b|,
|a| − |b| ¬ |a − b| ¬ |a| + |b|.
2 — Uprość wyrażenia
a+b+|a−b|
,
2
a+b−|a−b|
.
2
3 — Napisz następujące wyrażenia w równoważnej formie nie zawierającej
wartości bezwzględnej:
1. a + b + 2c + |a − b| + |a + b − 2c + |a − b||,
2. a + b + 2c − |a − b| − |a + b − 2c − |a − b||.
4 — Korzystając
z tego, że sin2 (x) + cos2 (x) = 1 pokaż, że |sin(x) +
√
2cos(x)| ¬ 5 dla każdego x ∈ R.
5 — Zapoznaj się z wybranym pakietem matematycznym:
Mathematica www.wolf ram.com,
Maxima maxima.sourcef orge.net.
Naucz się w pakiecie wykonywać proste obliczenia, rysować wykresy funkcji.
Wskazówka: P lot[F [x], {x, a, b}] plot2d(f (x), [x, a, b]);
1
2
Liczby naturalne, wymierne i rzeczywiste
(2 godziny ćwiczeń)
6 — Pokaż metodą indukcji matematycznej, że 1 + 3 + 5 + . . . + (2n + 1) =
(n + 1)2 .
7 — Rozważmy następujacą pętlę
1: for i=1 to n do
2:
for j=i to n do
3:
Op(i,j)
4:
end for
5: end for
Ile razy jest wykonywana operacje Op?
8 — Pokaż, że 12 + 22 + . . . + n2 =
Mathematica wpisz polecenie
1
n(n
6
+ 1)(2n + 1). W programie
Sum[k 2 , {k, 0, n}].
9 — Korzystając ze wzoru dwumianowego Newtona pokaż, że
2n oraz
Pn
k=0
n
k
Pn
k=0
n
k
=
(−1)k = 0.
10 — Pokaż, że zbiór liczb wymiernych jest zamknięty na dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie przez liczbę różną od 0.
11 — Narysuj wykres wartości
20
k
dla k = 0, . . . , 20. Która z tych liczb
jest największa? Uogólnij to spostrzeżenie dla ciągu liczb (
dowolnego n.
Wskazówka: Skorzystaj z polecenia programu Mathematica
n
k
)k=1,...,n dla
DiscreteP lot[Binomial[20, k], {k, 0, 20}].
* 12 — Sformułuj samodzielnie pojęcie kresu dolnego podzbioru A zbioru
liczb rzeczywistych - oznaczmy go przez inf(A). Pokaż, że inf(A) = − sup(−A),
gdzie −A = {−a : a ∈ A}. Wywnioskuj z tego, że każdy ograniczony z dołu
podzbiór R ma kres dolny.
13 — Niech x1 , . . . , xn ­ −1 będą liczbami o tym samym znaku. Pokaż,
że
n
n
Y
(1 + xi ) ­ 1 +
i=1
X
i=1
2
xi .
Wskazówka: Wzoruj się na dowodzie nierówności Bernoulliego.
14 — Pokaż, że
liczb a1 , . . . an zachodzi nierówność
√ dla2 dowolnego2 ciągu
1
2
a1 + . . . + an ¬ n(a1 + . . . + an ) . Wskazówka: Skorzystaj z nierówności
Cauchy’ego-Schwarza.
15 — Korzystając z powyższego zadania pokaż, że dla dowolnych dodatnich x, y, z zachodzi nierówność
s
x+y
+
x+y+z
s
x+z
+
x+y+z
3
s
√
y+z
¬ 6.
x+y+z
3
Ciągi liczbowe
(4 godziny ćwiczeń)
16 — Oblicz granice następujących ciągów:
2n2 +n+3 n3 +n+3 2n2 +n+3
,
,
.
n2 +3n+1 n2 +3n+3 n5 +3n+2
17 — Oblicz granice następujących ciągów:
(n2 ) (n+3
(n4 )
3 )
,
,
.
n2
n3
n4
√
18 — Oblicz granicę limn→∞ ( n2 + n − n).
19 — Oblicz granice limn→∞
1+2+...+n
n2
oraz limn→∞
12 +22 +...+n2
n3
* 20 — Dla dowolnego k ∈ N oblicz granicę limn→∞
1k +2k +...+nk
.
n(k+1)
21 — Niech ciągi (an ) i (bn ) będę zbieżne. Udowodnij, że
lim (an · bn ) = lim (an ) lim (bn ).
n→∞
n→∞
n→∞
22 — Niech ciągi (an ) i (bn ) będę zbieżne. Niech bn 6= 0 dla wszystkich
n ∈ N oraz limn→∞ (bn ) 6= 0. Udowodnij, że
lim (
n→∞
limn→∞ (an )
an
)=
.
bn
limn→∞ (bn )
23 — Wiadomo, że ze zbieżności ciągu (an ) wynika zbieżność ciągu (|an |).
Czy prawdziwe jest twierdzenie odwrotne?
Wskazówka: Rozważ ciąg an = (−1)n
24 — Udowodnij, że jeśli limn→∞ an = 0 oraz ciąg (bn ) jest ograniczony to
limn→∞ an bn = 0.
25 — Pokaż, że jeśli |a| < 1 to limn→∞ (1 + a + . . . + an ) =
26 — Oblicz granice ciągów
n+(−1)n
,
2n+1
√
n
1
.
1−a
√
nn + 1, n n2n + n.
27 — Ustalmy liczbę a. Wyznacz granicę ciągu [na]
.
n
Wskazówka: Skorzystaj z nierówności x − 1 < [x] ¬ x i z Twierdzenia o 3
ciągach.
28 — Niech a0 = 1 oraz an+1 = 12 (an + 4). Pokaż, że ciąg (an ) jest ograniczony z góry przez liczbę 4 oraz rosnący. Z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym wywnioskuj, że jest zbieżny. Znajdź jego granicę.
4
29 — Załóżmy, że 0 ¬ a ¬ b. Pokaż zbieżność i wyznacz granicę ciągu
√
n
an + b n .
* 30 — Ustalmy liczbę a > 0. Niech x0 = a oraz xn+1 = 12 (xn + xan ).
√
Pokaż, że limn→ ∞ xn = a. Zastosuj
√ ten wyniki dla a = 2. Który wyraz tak
zbudowanego ciągu rózni się od 2 o mniej niż 10−3 ?
31 — Wyznacza punkty skupienia ciągów an = cos
nπ
2
, bn = 1 +
(−1)n n
n
32 — Ustalmy dodatnią liczbę naturalną C. Niech an = (n mod C) + n1 .
Wyznacz punkty skupienia ciągu (an ).
33 — Oblicz granicę następujących ciągów (1 + n1 )3n+1 , (1 − n1 )2n+1 , (1 +
1 n2
) , ( n+1
)n+1 , (1 + n12 )n .
n
n+1
5
.
4
Szeregi
(2 godziny ćwiczeń)
34 — Oblicz sumy
P∞
3
n=0 ( 2n
+
P∞
1
),
3n
n=1
P4
n
k=2
1
k
∞
1
1
35 — Oblicz sumy ∞
n=1 n(n+2) ,
n=1 n(n+3) . Wskazówka: Znajdź liczby A
B
1
= An + n+2
. Możesz skorzystać z polecenia Apart programu
i B takie, że n(n+2)
Mathematica.
P
P
36 — Zbadaj zbieżność następujących szeregów:
1
n­1 n2 ,
P
P
1 P
√1
n­1 n3 , n­1 n .
37 — Zastosuj kryterium zbieżności d’Alamberta do zbadania zbieżności
P
P
n
(n!)2
, n­1 (2n)!
.
szeregów n­1 23n +1
+1
38 — Zastosuj kryterium zbieżności Cauchy’ego do zbadania zbieżności
szeregów
P
n­1
n+1
n
n 2 P
,
n10
n­1 π n .
39 — Dla dowolnej liczby rzeczywistej x oblicz granicę ciągu limn→∞
40 — Zbadaj zbieżność szeregu
bezwzględnie?
P
n­1
6
n
(−1)
√ .
n
xn
.
n!
Czy szereg ten jest zbieżny
5
Granice Funkcji
(2 godziny ćwiczeń)
41 — Niech f, q : R → R będą funkcjami rosnącymi. Pokaż, że złożenie
f ◦ g jest funkcją rosnącą.
42 — Niech f, q : R → R będą funkcjami malejącymi. Czy złożenie f ◦ g
jest funkcją malejącą? Odpowiedz uzasadnij.
43 — Pokaż, że każda funkcja f : R → R jest sumą funkcji parzystej i
(−x)
(−x)
nieparzystej. Wskazówka: f (x) = f (x)−f
+ f (x)+f
2
2
44 — Oblicz limx→1
x2 −1
,
x3 −1
limx→1
x3 −1
.
x2 −1
45 — Oblicz granice wielomianu postaci w(x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . +
a1 x + a0 w nieskończoności. Wskazówka: Rozważ oddzielnie przypadek n
parzystego oraz n nieparzystego
46 — Oblicz limx→−∞ 1 −
1
x2
, limx→∞
2|x|
.
1+x
47 — Pokaż, że granica limx→−∞ sin(x) nie istnieje.
* 48 — Pokaż, że limh→0
sin h
h
= 1.
49 — W zależności od naturalnego parametru p zbadaj istnienie granic
limx→x+0 (x−x1 0 )p , limx→x−0 (x−x1 0 )p .
50 — W zależności od rzeczywistego parametru α zbadaj istnienie granicy
.
limx→∞ sin(x)
|x|α
51 — oblicz limx→0+
x+|x|
,
x
limx→0−
x+|x|
.
x
** 52 — Niech f będzie funkcją ograniczoną w każdym skończonym prze=
dziale. Pokaż, że z warunku limx→∞ (f (x+1)−f (x)) = g wynika, że limx→∞ f (x)
x
g.
7
6
Ciągłość funkcji
(2 godziny ćwiczeń)
53 — Korzystając z definicji Cauchy’ego pokaż, że suma dwóch funkcji
ciągłych w punkcie x0 jest ciągła punkcie x0 .
54 — Korzystając z definicji Heinego pokaż, że funkcja f (x) = x3 jest
ciągła.
55 — Pokaż, że funkcja



−1 : x < 0
0 : x=0
sgn(x) =


1 : x>0
nie jest ciągła w punkcie 0. Wyznacz punkty ciąglości funkcji sgn.
56 — Wyznacz punkty
funkcji f (x) = sgn(sin(x)), g(x) = sgn(cos(x)),
k
j ciągłości
1
h(x) = bxc oraz a(x) = x .
57 — Niech
(
f (x) =
1 : x∈Q
0 : x∈R\Q
Pokaż, że funkcja f nie jest ciągła w żadnym punkcie.
58 — Załóżmy, że funkcja f jest ciągła. Pokaż, że fukcja g(x) = |f (x)| jest
również ciągła. Wskazówka: Skorzystaj z tego, że złożenie funkcji ciągłych
jest funkcją ciągłą .
59 — Załóżmy, że fukcje f i g są ciągłe. Niech h(x) = max{f (x), g(x)}.
Pokaż, że h jest funkcją ciągłą.
* 60 — Pokaż, że każda funkcja ciągła f : R → R spełniająca warunek
f (x + y) = f (x) + f (y) jest postaci f (x) = a · x dla pewnej stałej a. Wskazówka: Przyjmij a = f (1) i pokaż najpierw, że f (x) = a · x dla wszystkich
x∈Q.
61 — Pokaż, że każdy wielomian (traktowany jako funkcja z R w R) stopnia nieparzystego ma pierwiastek. Wskazówka: Skorzystaj z zadania 45.
x
, y = x − bxc,
62 — Narysuj wykresy funkcji zadanych wzorami y = x−1
1
1
1
1
2
y = x sin( x ), y = x sin( x ), y = x sin( x ) oraz wyznacz ich granice w punkcie
0.
8
63 — Naszkicuj wykresy funkcji zadanych wzorami y =
2
3
y = x2x−1 , y = x2x−1 .
1
,
x2 −1
y =
x
,
x2 −1
* 64 — Niech n > 0. Naszkicuj wykres funkcji zadanej wzorem
f (x) =
1
.
x(x − 1) · · · (x − n)
Wskazówka: Rozważ oddzielnie przypadek n parzystego i n nieparzystego .
9
7
Różniczkowanie część I
(3 godziny ćwiczeń)
65 — W jakich punktach funkcja f (x) = |x − 1| + |x + 1| jest różniczkowalna?
66 — Udowodnić, że jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x, to
f (x + h) − f (x − h)
.
h→0
2h
f 0 (x) = lim
Podaj przykład funkcji, dla której powyższa granica istnieje, pomimo że funkcja nie jest różniczkowalna w punkcie x.
0
67 — Pokaż, że (cos x) = − sin x Wskazówka: Skorzystaj z tożsamości
cos α − cos β = −2 sin α+β
sin α−β
.
2
2
68 — Udowodnij wzór
1
f (x)
!0
0
−f (x)
=
.
(f (x))2
69 — Oblicz pochodne funkcji rzeczywistych zadanych następującymi wzo2
rami: y = 2+3x+x3 , y = 1+x+x2 +. . .+xn , y = (x+1)/(x−1), y = x x+x+1
3 −1
y = x2 ex , y = x sin(x).
0
70 — Oblicz [f −1 (y)] dla podanych funkcji we wskazanych punktach f (x) =
x + ln x, y0 = e + 1; f (x) = x3 + x5 + x7 , y0 = 3.
71 — Oblicz pochodne
zadanych następującymi wzo√ funkcji rzeczywistych
1
x2
2
√
rami: y = e , y = 2 − x y = 1+x2 , y = sin(cos(x)), y = ln tg(x)),
y = sin(cos(sin(x))), y = arc sin(x2 ), y = arc tg(ex ).
* 72 — Mówimy, że funkcja f : R → R spełnia warunek Lipschitza jeśli
istnieje stała C taka, że (∀x, x0 )(|f (x) − f (x0 )| ¬ C|x − x0 |). Pokaż, że jeśli
f spełnia warunek Lipschitza, to jest ciągła. Pokaż, że jeśli funkcja posiada
ograniczoną pochodną, to spełnia warunek Lipschitza.
73 — Podaj przykład funkcji parzystej dla której f 0 (0) = 0, pomimo, że
w punkcie 0 funkcja nie posiada ekstremum właściwe.
√
74 — W jakich przedziałach funkcje y = x(1 − x)2 , y = x 2 − x2 , y =
xe−x , y = x2 e−x są rosnące?
10
75 — Pokaż, że
x
1+x
¬ ln(1 + x) ¬ x dla wszystkich x > −1.
2
76 — Znajdź ekstrema funkcji y = xe−x , y = x(a − x), y = x(a − x)2 ,
0
** 77 — Udowodnij, że funkcja f (x) posiada własność Darboux.
11
8
Różniczkowanie część II
(3 godziny ćwiczeń)
78 — Korzystając z reguł de l’Hospitala oblicz następujące granice:
xe2x −x
√x ,
limx→0 1−cos(3x)
, limx→∞ ln
x
√
3
√
2
limx→∞ (lnxx) , limx→0 1−x−x 1−x ,
1
limx→∞ (ex + 1) x , limx→0+ x3 ln x,
1
.
limx→∞ (ln x) x , limx→0 ln(cos(x))
x2
79 — Oblicz granicę:
limx→0
ex −
xk
k=0 k!
n+1
x
Pn
.
80 — Korzystając z reguł de l’Hospitala oblicz następujące granice:
α
, limx→∞ ln(x)
.
limx→∞ (ln(x))
x
xα
81 — Niech f g jeśli f = O(g) dla f, g : N → R+ . Pokaż, że relacja jest zwrotna i przechodnia.
√
82 — Porównaj tempa zbieżności następujących ciągów: an = n,bn = n,
cn = nn , dn = nln n , en = n2 , fn = 2n , gn = ln n, hn = (ln n)n , in = (ln n)ln n .
83 — Oszacuj dokładność wzorów przybliżonych:
π
,
sin(x) ≈ x, |x| < 10
√
x
1 + x ≈ 1 + 2 , |x| < 18 ,
3
2
1
.
log(1 + x) ≈ x − x2 + x3 |x| < 64
84 — Dla następujących funkcji zbadaj istnienie ekstremów lokalnych w
punkcie x0 = 0:
3
f (x) = x2 ex , f (x) = x3 e( x2 ),
3
f (x) = x2 sin3 (x) + x2 cos(x), f (x) = 1+x
.
1+x2
85 — Znajdź pole największego prostokąta wpisanego w elipsę o równaniu
x2 /a2 + y 2 /b2 = 1.
86 — Pokaż, że ze wszystkich prostokątów o ustalonym obwodzie kwadrat
ma największą powierzchnię.
87 — Pokaż, że ze wszystkich trójkątów o ustalonym obwodzie i o ustalonej podstawie trójkąt równoramienny ma największą powierzchnię.
88 — Pokaż, że ze wszystkich trójkątów o ustalonym obwodzie trójkąt
równoboczny ma największą powierzchnię.
12
89 — Zbadaj wykresy funkcji y =
x
,
1+x2
y=
x
(x−1)(x−2)
* 90 — Udowodnij wzór
1
dn n−1 1 x e x = (−1)n x−n−1 e x .
n
dx
13
.
9
Całkowanie
(3 godziny ćwiczeń)
91 — Wyznacz stosując wzór f (ax + b)dx = a1 F (ax + b) + C, gdzie F
jest Rfunkcją pierwotną
do Rf następujące całki nieoznaczone:
R
1
(a) x−a dx, sin(nx)dx, e−kx dx,
R
R
(b) √a21−x2 dx, ax+b
dx.
cx+d
R
92 — Wyznacz stosując metodę całkowania przez części oblicz następujące
całkiR nieoznaczone: R
R
(a) R x cos(x)dx, R x2 cos(x)dx, R x3 cos(x)dx,
(b) R x sin(x)dx,
x2 sin(x)dx,
x3 sin(x)dx,
R
R
(c) R xex dx,
x2 ex dx,
xR3 ex dx,
R 2
(d) x ln xdx,
x ln xdx,
x3 ln xdx.
Spróbuj samodzielnie uogólnić powyższe obliczenia.
93 — Pokaż, że
lim
n→∞
1
1
1
+
+ ...
= ln(2)
n+1 n+2
2n
94 — Niech a > 1. Pokaż, że
lim
n→∞
1a + 2a + . . . + na
1
=
.
a+1
n
a+1
Porównaj ten wzór z dokładnymi wzorami na 1a +2a +. . .+na dla a = 1, 2, 3.
95 — Założmy, że f jest funkcją różniczkowalną oraz, że g jest funkcją
ciągłą. Niech
F (x) =
Z f (x)
g(t)dt .
a
Wyznacz F 0 (x). Wskazówka: D[Integrate[G[t], {t, a, F [x]}], x]
96 — Wyznacz stosując metodę całkowania przez podstawienie oblicz następujące całki nieoznaczone:
R
R x
R √
1.
sin(3x + 1)dx,
dx,
x 1 + x2 dx (podstaw t = 1 + x2 ),
x+1
R
R
R√
1
√ 1
2.
dx,
dx,
1 − x2 dx (podstaw x = sin(t)),
2
2
1+2x
1−3x
3.
R
2
xe−x dx,
R
4.
sin(ln x)dx (podstaw u = ln x, zastosuj dwukrotnie całkowanie przez
części)
5.
R
tg xdx
14
97 — Oblicz następujące całki nieoznaczone z funkcji wymiernych:
1.
R
2x+3
dx,
(x−2)(x+5)
2.
R
3.
R
1
dx
x3 +x
1
dx,
1+x2
R
1
dx,
(1+x2 )2
R
1
dx
(1+x2 )3
98 — Wyznacz pole następujących obszarów:
1. A = {(x, y) ∈ R2 : 0 ¬ x ¬ 1 ∧ x2 ¬ y ¬
√
x}
2
2. B = {(x, y) ∈ R : 0 ¬ x ¬ π ∧ |y| ¬ sin x},
3. C = {(x, y) ∈ R2 : |x| ¬ 1 ∧ |y| < e−x }.
4. Obszar ograniczony parabolą o równaniu y = 2x2 − 6x i osią OX
* 99 — Udowodnij nierówność Schwarza dla całek
Z b
a
!2
f (x)g(x)dx
¬
Z b
2
f (x)dx
!
2
g (x)dx .
a
a
Wskazówka: Skorzystaj z nierówności
dzi dla każdego c.
! Z
b
Rb
15
2
a (f (x) + cg(x)) dx
­ 0, która zacho-
10
Całki niewłaściwe
(1 godzina ćwiczeń)
100 — Oblicz następujące
całki
niewłaściwe:
R1 x
R0
x
, −∞ x2 +1 dx , 0 √1−x2 dx.
0
R ∞ −x
e sin(x)dx
101 — Zbadaj zbieżność następujących
całek niewłaściwych:
R ∞ 1+cos2 (x)
R π2 sin(x)
dx , 1
dx , 0 √x dx.
e
x
x2 +1
R ∞ ln(x)+sin(x)
√
102 — Zbadaj zbieżność szeregów:
P
P
1
1
1
n>0 np ,
n>1 n(ln(n))p ,
n>2 n ln n(ln ln(n))p .
P
** 103 — Oblicz sumę 11 n0 − 13 n1 +
R
Wskazówka: Oblicz całkę 01 (1 − x2 )n dx.
16
1 n
5 2
− ··· ±
n
1
2n+1 n