MBM Arkusz 1 - powtórzenie i algebra Zadanie 1. Wyznaczyć

MBM Arkusz 1 - powtórzenie i algebra
Zadanie 1. Wyznaczyć dziedziny następujących funkcji:
√
a) f (x) =
−10x2 +9x−2
,
log2 (4−|3−x|)
b) f (x) = arc sin( 2+4x
), c) f (x) =
x−2
1
,
arc cos( 3−x
)
x+3
d) f (x) = arc tg
√
x2 −1 1
log 1−( )x
3
,
), f ) f (x) = log3 (x3 − 2x2 + 2x − 4).
e) f (x) = arc sin(2 − x) + arc tg( √πx
x−2
Zadanie 2. Rozłożyć następujące funkcje wymierne na ułamki proste (o ile to możliwe):
2
2x
1
; 2+4x ; 2+4x ; 2+4x ;
; 2x +2 ; 2x−1 , 36x+18
, 2x−3 , 2x+1 .
x3 +1 x2 −2x+1 x2 −2x+2 x2 −2x−3 (x2 +2)(x2 −16) x3 +x2 +x x3 +2x2 +x
x3 −9x x3 +2x2 −3x x3 +4x2 +2x
Zadanie 3. Narysować na płaszczyźnie punkty spełniające równania
x2 − 4x + y 2 + 6y + 9 = 0,
xy = −2, x2 y = 4, y = x3 , y =
−1
.
x2
Zadanie 4. Rozwiązać równania lub nierówności:
√
√
2
,
2
√
− 22 ,
sin(x) = −
sin(x) =
cos(x) = −
3
,
2
| sin(x − π)| < 0, cos(2 − x) ≥ −1, cos(x) > 0, dla x ∈ [0, 2π],
q
2
1
cos(2x) = − 2 , cos( π4 − x2 ) ≤ 1, | sin(x3 + 3)| ≥ 0, dla x ∈ [−π, π].
√
Zadanie 5. Obliczyć arc sin(cos( 34 π)), arc tg(−1), arc sin(cos( 74 π)), arc cos(sin( 45 π)), arc ctg(− 3).
Zadanie 6. Rozwiązać nierówności : a ) x12 (log2 (x) − 4) ≥ 0, b) x1 (3 − log 1 (x)) ≤ 0.
2
2
Zadanie 7. Zaznaczyć na płaszczyźnie A × B, gdy a) A = {x ∈ R : |x| ≤ 1}, B = {y ∈ R : 4y −5y+6 = 1};
2
b) A = {x ∈ R : 3x −2x−4 = 31 }, B = {y ∈ R : |1 − 2y| ≤ 1}.
√
√
Zadanie 8. Znaleźć część rzeczywistą i urojoną liczb zespolonych: (2−3i)(1+i);
√
√
(1+i)22
3 20
√
) , (1−i
.
Zadanie 9. Wykonać działania (1 + i 3)1978 , ( 1+i
1−i
3)6
Zadanie 10. Narysować następujące zbiory na płaszczyźnie zespolonej:
1−i (1−i)2 −i ( 3+i)(−1+i 3)
;
;
.
2+i (1+i)2 +i
(1+i)2
A = {z ∈ C : (|z| ≤ 2 ∨ |z| > 4) ∧ | Arg(z)| ≤ π4 }, B = {z ∈ C : |z − 2 + 3i| < 2 ∧ Re(z − 2) ≤ 1},
C = {z ∈ C : 1 ≤ |iz + 2 + 2i| ≤ 2 ∧ Im(z + 3i) ≥ 2 + 2 Re(z − 1)}, D = {z ∈ C : Re( 4iz ) ≥ 2},
E = {z ∈ C : |z − 1 + 3i| ≤ 2 ∧ 4 Re(1 + 2i − z) ≥ Im(4z + 3i) + 1},
F = {z ∈ C : Im( 8iz ) ≤ −4 ∧ | Arg(z)| ≥ π4 }.
p
√
√
√
√
√
12,
−2
+
3i,
49,
−49,
−49i,
Zadanie
11.
Obliczyć
pierwiastki
w
zbiorze
liczb
zespolonych
2
−
i
√
√
√
√
3
4
3
4
−27, 27i, −81, 81.
Zadanie 12. Rozwiązać równania w zbiorze liczb zespolonych:
1) z 2 + 4z + 5 = 0, 2) z 3 + 8 = 0, 3) z 2 + (1 + 4i)z − (5 − 2i) = 0, 4) (z 2 + 1)(z 2 − i)(z 3 − 2z 2 + 5z) = 0,
5) (z 4 − 16)(z 4 + 81)(4iz − 8) = 0, 6) (z 2 − 9i)(z 2 − 2z − 3) = 0, 7) (iz 2 − (4 − i)z − 2 − 4i)z 32 = 0.
Zadanie 13. Znaleźć rozwiązania równania w zbiorze liczb zespolonych (z 2 −4)((2+i)z 2 −(2−2i)z −2) = 0
spełniające warunki: a) Im(z) < 3; b) |z − 3 + 2i| < 3.
Zadanie 14. Rozwiązać równania w zbiorze liczb rzeczywistych
2
x


x
1
0
2 x + 2 −1 3 2
1
3 −1 x 1 = 0.


−2
1
−2 = 0, det −1 1
= 0, 1
0
1
2
0
5 −3
2 1 (x + 1)
x 2 1 2 4 1
Zadanie 15. Wyznaczyć rzędy macierzy:


 
 

1
1 1 2
1 −1
0 2 1
2 3 −1
1
 2
 2 5 7 ,  3
1
1 3 2 ,  4 2
0
5 , 
 4
0 2 2
−1 −3 −1 1 0
0 4 −2 −3
1



2
3


1 −2 
, 


5
4


3
4
2
1
1
1
1
1
1
3
1
1
2
1
1
1
4
1
3
1
1
1
1
5
4
1




.



Zadanie 16. Znaleźć macierze odwrotne do następujących (o ile to możliwe):


1 2 −3
2 ,
A= 0 4
0 0 −1


1
1 −1
B =  1 −1 −1 
−1 −1 −1
T
1 2 1
C =  −3 1 0  .
0 1 2

Zadanie 17. Rozwiązań następujące układy równań (tam gdzie to możliwe rozwiązać metodą macierzową):






x − 3y + 2z = 0
3x + 2y + z = 5
x + y + 2z = −1
,
,
x−y+z =0
2x + 3y + z = 1
2x − y + 2z = −4 ,






2x + y − 3z = 0
2x + y + 3z = 11
4x + y + 4z = −2

6x + 3y + z + 2t = 5



5x + 7y + 2z + 7t = 9

7x − y − 3t = 1



4x + 11y + 3z + 12t = 13
,

2x + y − z − u + t = 1



x − y + z + u − 2t = 0

3x + 3y − 3z − 3u + 4t = 2



4x + 5y − 5z − 5u + 7t = 3
.
Zadanie 18. Podać liczbę rozwiązań następujących układów równań w zależności od parametru α:




(α
−
1)x
−
z
=
1

x − αy + 2z = α
,
.
αx − y + αz = 0
αx + y = 1




(2 + α)x + y + αz = −1
2x − αy + 3z = 0
2
Arkusz - badanie własności funkcji
Zadanie 1. Wyznaczyć dziedzinę funkcji, a następnie obliczyć granice na krańcach określoności:
x
; c) f (x) = arc sin( √ x 2 ).
a) f (x) = √ ln(x) ; b) f (x) = ln(3−x)
1+x
4−ln(x)
Zadanie 2. Obliczyć pochodne:
a)f (x) =
1
x
d)f (x) = xe
h)f (x) =
x
b)f (x) = ln( 3−x
);
+ 4 arc tg(x);
−1
x ;
e)f (x) = x1 e−x ;
2x
c)f (x) = arc sin( 1+x
2 );
ln(2x)
;
x
f )f (x) =
g)f (x) =
2
e−x ;
x+1
2
x3 ln(x)
√ ,
3+ln( π)
i)f (x) = xe x+1 ;
j)f (x) = arc sin(−2x);
m)f (x) = arc sin( −3
);
x2
l)f (x) = x arc tg(16x);
p)f (x) = x ln(x + x1 );
r)f (x) =
4 arc sin(x)
;
x
2 (12x)
u)f (x) = √ ln(x) ;
w)f (x) = e−3x cos
ln(x)+2
k)f (x) =
n)f (x) = (ln(x))sin(x) ;
s)f (x) = sin5 (2x);
;
y)f (x) =
p
arc tg(3x);
o)f (x) = (arcctg(2x))x
t)f (x) =
x2
;
ln(x)
sin2 (x)
.
cos(2x)
Zadanie 3. Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x0 , f (x0 )), gdy:
b)f (x) = (2 − x)e−x
a) f (x) = ( x1 )sin(x) , x0 = π;
2 +4
, x0 = −2;
1
c) f (x) = ln2 (−x) + 3 ln(−x), x0 = −1;
d) f (x) = (cos(x)) 1−x , x0 = 2π.
−4
Zadanie 4. Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji: √
a) f (x) = xe x ;
b)
2 ln(x)
x
x
x−2
2
f (x) = x2 ;
c) f (x) = 4−ln(x) ;
d) f (x) = √
;
e) f (x) = 2 4x − x − arc sin( 2 );
2−ln(x)
3
1
;
x
2
e) f (x) = arcctg(x) −
g) f (x) = ln (x) − 3 ln (x) + 7.
Zadanie 5. Używając drugiego warunku wystarczającego wyznaczyć ekstrema lokalne następujących
funkcji: a) f (x) = 4 cos3 (x) − sin2 (x) − 2 cos(x) + 2, x ∈ (0, π); b) f (x) = x2 + 2(x3 − 3x) arc tg(x) +
4 ln(1 + x2 ) + eπ .
3−x
), x ∈ [−1; 2];
Zadanie 6. Wyznaczyć ekstrema globalne funkcji: a) f (x) = arc tg( 3+x
3
2
2
2 −2x2
b) f (x) = ln (x) − 3 ln (x) + 4, x ∈ [e, e ];
c) f (x) = x e
, x ∈ [−2, 2].
Zadanie 7. Wyznaczyć
wklęsłości i punkty przegięcia funkcji: a)f (x) = xe2x ;
√ przedziały wypukłości,
2
1
x
x
−x
b) f (x) = ln (x)−3x+ π;
c) f (x) = 2−x ·e ;
d) f (x) = 3−ln(x)
; e) f (x) = ln( 1+x
2 )+2x arc tg(x);
2
2
e) f (x) = x − 4 arc tg(x);
g)f (x) = x(ln (x) − 4 ln(x) + 2);
h) f (x) = ln(9 + x ).
Zadanie 8. Obliczyć granice:
a) lim+
x→0
ln(x)
;
ctg(x)
1
f ) lim ( ln(x)
−
x→1
j) lim ( x1 −
x→0
b) lim−
x→1
x
);
ln(x)
1
);
sin(x)
ex −e−x
;
x→0 sin(x)
ln(x)
√
;
1−x2
c) lim
1
g) lim x x ;
x→+∞
d) lim
x→0
h) lim+ (tg(x))tg(x) ;
x→π
k) lim ( x12 − ctg2 (x));
x−sin(x)
;
x3
x→( )−
2
x→+∞
ln(ln(x))
;
x
i) lim(1 − e2x ) ctg(x);
x→
l) lim
(sin(x))tg(x) ;
π
x→0
e) lim
1
m) lim− x3 e− x .
x→0
Zadanie 9. Wyznaczyć wszystkie asymptoty wykresów funkcji: a) f (x) = 4x arc tg(x);
x arc tg(4x);
3x ln(x)+1
;
ln(x)
c) f (x) =
−1
xe x2 ;
d)
g) f (x) = x − 2 arcctg(x);
1−x
f (x) = arc sin( 1+x
);
x
h) f (x) = xe 3−2x ;
−1
x
e) f (x) = x + ln( 2−x
);
√2
i) f (x) = xe x .
b) f (x) =
f) f (x) =
x
Zadanie 10. Naszkicować wykresy funkcji: a) f (x) = xe x ; b) f (x) = ln(x)
; c) f (x) = x − 4 arc tg(x).
Ponadto zadania dotyczące tych zagadnień z podręcznika „Matematyka 1“ K. Dobrowolska,
W. Dyczka, H. Jakuszenkow.
3