Wskazówka do zadania 5. z listy 3. z Analizy Numerycznej

Wskazówka do zadania 5. z listy 3. z Analizy Numerycznej
Czyli jak skorzystać ze wzoru podanego (dwa razy)
h
i
przy interpolacji arcusa sinusa poza przedziałem − 12 , 12 .
1. Przekształcenie wzoru tak, aby był wzorem na arcus sinus, a nie sinus.
h
i
h
h
i
√ i
√
Niech t ∈ − π4 , π4 i oznaczmy x := sin(t) ∈ − √12 1, 2 oraz y := 1 − x2 ∈ √12 , 1 .
y=
q
1 − sin2 (t) = cos(t) = sin(
π
− t) (wzór z zadania)
2
Nakładając obustronnie arc sin dostajemy:
arc sin(y) = arc sin(sin(
π
π
π
− t)) = − t = − arc sin(x).
2
2
2
h
i
Podobnie będzie wyglądał wzór na arcus sinus dla argumentów y z przedziału −1, − √12 :
arc sin(y) = −
π
+ arc sin(x).
2
2. Jak to wykorzystać do interpolacji.
h
i
Niech w(x) będzie wielomianem interpolującym funkcję arc sin(x) na przedziale − √12 , √12 .
h
i
Wartości funkcji w1 (x), ekstrapolującej wartości funkcji arc sin(x) na przedziale √12 , 1
liczymy ze wzoru:
π
w1 (y) = − w(x),
2
h
i
√
1
gdzie y = 1 − x2 , a x ∈ 0, √2 (jak w 1. punkcie).
hPodobnie,i wartości funkcji w2 (x), ekstrapolującej wartości funkcji arc sin(x) na przedziale
−1, − √12 liczymy ze wzoru:
w2 (y) = −
π
+ w(x).
2
(Te wzory, to oczywiście wzory z 1. podpunktu z arc sin podmienionym na funkcję
interpolującą).