Zadania domowe

Funkcje i ich własności
1. Pojęcie funkcji.
1. W trójkąt prostokątny o podstawie b i wysokości h wpisano prostokąt (jeden bok opiera się na podstawie). Wyrazić pole prostokąta jako funkcję jego boku (dwie możliwości).
Naszkicować wykres otrzymanej funkcji.
2. Dany jest trójkąt ABC, gdzie AC = b, BC = a, a kąt x przy wierzchołku C się zmienia.
Wyrazić pole trójkąta jako funkcję x. Naszkicować wykres.
3. Wyrazić objętość walca wpisanego w kulę o promieniu R jako funkcję: a) r; b) h; c) kąta
α między promieniem kuli a wysokościa walca.
2. Znaleźć
p dziedzinę,pprzeciwdziedzinę i naszkicować wykresy funkcji.
a) y = √ (x + 2)2 + (x − 1)2
b) y = √ 1 − cos2 x + sin x
c) y = px2 − 4
d) y = ln(x2 − 4)
e) y = ln cos x.
3. Parzystość i nieparzystość funkcji.
1. Funkcja f (x) jest nieparzysta i ma dziedzinę R. Co
a) kf (x); b) f (kx); k=const?
2. Uzupełnić definicję

 2x + 1 dla
dla
f (x) =

dla
można powiedzieć o funkcji:
x>0
x=0
x<0
tak, aby otrzymać: a) funkcję parzystą; b) funkcję nieparzystą.
3. Czy funkcja f (x) jest parzysta lub nieparzysta?
x
a) f (x) = ap
+ a−x
p
3
3
2
2
b) f (x) = (x + 1)
√ − (x − 1)
2
c) f (x) = log(x + 1 + x )
4.
1)
a)
2)
Okresowość funkcji.
Narysować wykres funkcji okresowej o okresie 1, która pokrywa się z funkcją y = x2 :
na [0, 1); b) na [− 12 , 12 ].
Funkcję Dirichleta określamy wzorem:
(
1 dla x ∈ Q
f (x) =
0 dla x 6∈ Q.
Czy jest to funkcja okresowa?
3) Wykazać, że jeśli funkcja f ma okres T , to funkcja g zdefiniowana wzorem g(x) = f (3x)
ma okres 31 T .
5. Wykresy funkcji.
1. Sporządzić wykresy funkcji:
a) y = cos(x + π4 ) − 1
b) y = log3 (3 − x)
c) y = 2x+3
d) y = 2 sin x2 .
6. Funkcja złożona.
1. Określić funkcje złożone f ◦ f ,f ◦ g,g ◦ f ,g ◦ g, jeżeli:
a) f (x) = x1 , g(x) = x2 ;
b) f (x) = log2 x, g(x) = 2x .
1
c) f (x) = x−1
, g(x) = x2 + 2x;
3
b) f (x) = x , g(x) = 2x .
7. Funkcja odwrotna.
1. Wykazać, że funkcja dana poniższym wzorem jest różnowartościowa i znaleźć funkcję
odwrotną:
a) y = 3x + 4;
b) y = 10x ;
c) y = log log√x;
d) y = x + 2 x + 1.
2. Funkcja dana poniższym wzorem nie jest różnowartościowa w całej dziedzinie, ale jest różnowartościowa w pewnych przedziałach. Podać przedział w jakim istnieje funkcja odwrotna,
wyznaczyć ją i naszkicować wykres.
a) y = x12 ;
1
b) y = 1+x
2;
2
c) y = x − 4x + 3.
d) y = x2 − 2x + 3
e) y = 3x + 3−x
8. Funkcje cyklometryczne.
1. Obliczyć √
√
a) arc cos(− 23 ) + arc sin 1 + arctg 3.
b) 2 arc cos(− 12 ) + arctg(tg 78 π) − arctg 1.
c) 3 arc sin(−0,4) + arc cos 0,9 − arctg 3,2 + 2 arcctg 4,1.
2. Wykazać tożsamości
a) arc sin x + arc cos x = π2 dla x ∈ [−1, 1]
√
b) cos(arc sin x) = 1 − x2 dla x ∈ [−1, 1]
c) arctg x = arcctg x1 dla x ∈ R \ {0}
x+y
dla xy < 1.
d) arctg x + arctg y = arctg 1−xy
3. Znaleźć dziedzinę, przeciwdziedzinę i naszkicować wykresy funkcji.
a) y = arc sin(x − 2)
b) y = 3 + arctg(x + 2)
c) y = 1 + 12 arc cos(2x − 1)
9. Funkcje hiperboliczne.
1. Wykazać, że sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y.
10. Wyznaczyć granice funkcji:
x2 − 4
,
x→2 x2 − 3x + 2
lim
x2 − 3x + 2
x→1 x2 − 4x + 3
1
3 −
lim
x→1 1 − x
1 − x3
√
x−1
lim
x→1 x − 1
√
2− x−3
lim
x→7
x2 − 49
sin 3x
lim
x→0 2x
tg x
lim
x→0 3x
1+x
sin 2x
lim
x→0
x
x2
x+1
lim
x→∞ 2x + 1
lim