Lista 5

Lista 5
Pochodne
Zadanie 1 Proszę zróżniczkować następujace funkcje:
1
,
x
√
x2
,
sin(x)
·
x2 + 1, sin(ln(x2 + 1))
x3 − x2 + 1
x2 + 3x + 5
1
x
, tg
, √
, xsin x
3
7
2
2
x −1
x +2
x +1
Zadanie 2 Proszę wyznaczyć parametry a, b ∈ R, aby funkcja:
(
x2
dla x ≤ 1
f (x) =
ax + b dla 1 < x,
była różniczkowalna na R.
Zadanie 3 Wyznacz równanie stycznej do funkcji f wpunkcie (x0 , f (x0 )):
1. f (x) = 5 + (2x + x2 ) ln(2x + x2 ) i x0 = 14 ,
2. f (x) = (x + e)ln(x+1) i x0 =
1
.
10
Zadanie 4 Niech f, g będą funkcjami różniczkowalnymi w x0 . Proszę udowdnić, że g(x) = max{f (x), g(x)}
jest funkcją ciągłą w x0 . Czy funkcja h musi być różniczkowalna w x0 ? Odpowiedź uzasadnić.
Zadanie 5 Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej, proszę wyznaczyć:
0
a) (f −1 ) (0), gdzie f (x) = x + sin x,
0
b) (f −1 ) (2), dla f (x) = ex + e5x ,
0
c) (f −1 ) (4), gdzie f (x) = xx ∧ 1 ≤ x.
Zadanie 6 Proszę wyznaczyć przedziały monotoniczności oraz ekstrema lokalne dla zadanych funkcji:
2
a) xe−x ,
b)
x
,
1 − x3
1
c) x2 e x2 ,
2
d) (x2 + x + 1)e−x , x x2 .
Zadanie 7 Proszę wyznaczyć następujące granice funkcji:
sin 3x
;
x→π cos 5x
a) lim
π − 2arctg x
;
x→∞ ln(1 + 12 )
x
b) lim
c)
sin ln(2x + 1)
;
x→−∞ sin ln(3x + 1)
lim
c) lim+ xln(x−1) .
x→1
wsk. Można zastosować regułe de L’Hospitala.
Zadanie 8 Wyznacz wartość największą i najmniejszą funkcji f na przedziale I:
3
2
1. f (x) = 2x − 9x + 12x − 4 oraz I = 34 , 3 ,
1
3
2. f (x) = x − 3x − 1 oraz I =
−
3 3
,
2 2
.
Zadanie 9 Proszę udowodnić, że wśród wszystkich prostokątów o ustalonym obwodzie, kwadrat ma
największe pole.
Zadanie 10 Proszę wyznaczyć punkty leżące na prostej o równaniu x − y − 5, które leżą najbliżej
paraboli y = x2 . Wskazówka. odległość punktu (x0 , y0 ) od prostej ax+by+c = 0 dane jest następującym
0 +c|
wzorem |ax√0a+by
.
2 +b2
Zadanie 11 Proszę wykazać, że poniższe tożsamości są prawdziwe:
√
(∀x ∈ (−1, 1))( sin(arc cos x) = 1 − x2 ),
x
1
(∀x ∈ (−1, 1)) arcsin √
= arc cos √
,
1 + x2
1 + x2
oraz
π
).
(∀x ∈ [−1, 1])( arcsin x + arc cos x =
2
Wskazówka. Zróżniczkować obie strony równania i skorzystać z faktu, że jeśli f 0 = g 0 na przedziale I,
to jest stała c ∈ R, taka że f = g + c na przedziale I.
Zadanie 12
?
Proszę udowodnić:
(∀x ∈ R)(0 < x −→
x
≤ ln(1 + x) ≤ x).
1+x
oraz
(∀x ∈ R)(0 < x −→ 1 + x < ex ).
Zadanie 13 ?? Niech f, g : [a, b] → R będą ciągłe na [a, b] oraz różniczkowalne na (a, b), takie że
f (a) = g(a) i f (b) = g(b). Prosze udowodnić. że jest ξ ∈ (a, b) dla którego mamy f 0 (ξ) = g 0 (ξ). Jest to
twierdzenie o koniach wyścigowych.
Robert Rałowski
2