Sprawozdanie 1 z kursu „Modele matematyczne niezawodności

Sprawozdanie 1 z kursu „Modele matematyczne niezawodności systemów”
termin oddania: pierwsze zajęcia po nowym roku
1
Wprowadzenie
Załóżmy, że obserwujemy komponenty Ki o czasach życia Ti , i = 1, . . . , n. Zmienne Ti są niezależne o jednakowym
rozkładzie. Zakładamy, że Ti należy do rodziny rozkładów wykładniczych z transformowanym czasem, czyli
gęstość zmiennej losowej Ti jest postaci
fλ (t) = λs0 (t)e−λs(t) ,
t ­ 0,
gdzie s(t) jest pewną znaną, rosnącą, różniczkowalną funkcją rosnącą taką, że s(0) = 0 oraz lim s(t) = ∞.
t→∞
Rodzina ta zawiera wiele znanych rozkładów, takie jak rozkład Weibulla, rozkład wykładniczy, rozkład
Gompertza, przesunięty do zera rozkład Pareto i wiele innych.
1.1
Generowanie obserwacji
Realizacje zmiennych losowych Ti możemy generować jedną z trzech metod.
1.1.1
Przez funkcję odwrotną
Załóżmy, że znamy funkcję s−1 . Wtedy możemy obliczyć
P (s(Ti ) ¬ t) = P (Ti ¬ s−1 (t)) = 1 − e−λt ,
wobec czego zmienna losowa s(Ti ) ma rozkład wykładniczy o intensywności awarii λ. Odwrotność dystrybuanty
rozkładu wykładniczego to
− log(1 − p)
F −1 (p) =
.
λ
Wobec tego, jeśli Ui jest zmienną losową z rozkładu jednostajnego U(0, 1), to zmienna losowa
Xi =
− log(Ui )
λ
ma rozkład wykładniczy o intensywności awarii λ, natomiast zmienna losowa
− log(Ui )
Ti = s−1
λ
ma rozkład opisywany przez funkcję gęstości fλ .
1.1.2
Przez funkcję intensywności awarii
Funkcja intensywności awarii zmiennej losowej o gęstości fλ to
λ(t) = R ∞
t
fλ (t)
= λs0 (t).
fλ (x)dx
Załóżmy, że istnieje takie x > 0, że dla każdego t ­ 0 zachodzi s0 (t) ¬ x. Wtedy funkcja intensywności awarii
jest ograniczona przez λx.
Generujemy pary liczb z rozkładu jednostajnego. Oznaczmy je (Uj , Vj ), Uj ∼ U(0, 1) oraz Vj ∼ U(0, 1).
Wprowadźmy oznaczenie
− log(Vj )
Xj =
λx
(zmienna Xj ma rozkład wykładniczy o intensywności awarii λx). Generujemy ciąg takich par (Uj , Vj ) tak długo,
aż spełniony będzie warunek
P
n
s0
j=1 Xj
.
Un ¬
x
Po wygenerowaniu
P


n


s0
j=1 Xj
N = inf n : Un ¬


x
1
par (Uj , Vj ), zmienna losowa
Ti =
N
X
Xj
j=1
ma szukany rozkład o gęstości fλ .
1.1.3
Przez rozwiązywanie równań
Jeśli nie znamy odwrotności funkcji s(t) ani ograniczenia na funkcję s0 (t), zawsze możemy wykorzystać numeryczne
obrócenie funkcji s(t).
Jeśli Ui jest zmienną losową z rozkładu jednostajnego U(0, 1), to zmienna losowa
Xi =
− log(Ui )
λ
ma rozkład wykładniczy. Wystarczy rozwiązać równanie
s(Ti ) = Xi
ze względu na Ti .
Z własności funkcji s(t) wiadomo, że takie rozwiązanie istnieje. Wiadomo też, że funkcja s(t) jest ściśle
rosnąca i Xi > 0. Rozważmy następujący algorytm znajdowania rozwiązania z dokładnością do :
1. L = 0,
2. R = 1,
3. jeśli s(R) > Xi , skaczemy do punktu 7, w przeciwnym razie kontynuujemy,
4. L = R,
5. R = 10R,
6. wracamy do punktu 3,
7. C =
L+R
2 ,
8. jeśli R − L < , skaczemy do punktu 12, w przeciwnym razie kontynuujemy,
9. jeśli s(C) < Xi , to L = C, w przeciwnym razie R = C,
10. wracamy do punktu 7,
11. kończymy procedurę przyjmując Ti = C.
Po wykonaniu tego algorytmu (wariant algorytmu bisekcji), zawsze znajdziemy przybliżenie rozwiązania (z
zadaną dokładnością).
2
Zadanie
1. Zaimplementuj trzy omawiane metody generowania zmiennych losowych z rodziny rozkładów wykładniczych
z transformowanym czasem.
2. Zaproponuj metodę generowania zmiennych losowych dla:
√
(a) s1 (t) = t,
(b) s2 (t) = 1 + t − e−t ,
√
(c) s3 (t) = 1 + t − e−t .
Wykorzystaj wszystkie trzy zaimplementowane algorytmy.
3. Wylosuj próbę przykładowo n = 100 elementów z każdego z tych rozkładów przy użyciu zaimplementowanych metod.
4. Narysuj histogramy i porównaj je z gęstościami teoretycznymi.
5. Na podstawie symulacji, uszereguj metody w kolejności od najszybszej do najwolniejszej. Czy uszeregowanie
to jest takie samo dla każdego n?
2