Wykład 2.8

Długo
łuku krzywej
b
Krzywa ( L) : [a, b] ∋ x → f ( x) ∈ , klasy C , ma długo
1
L=
1 + ( f ′( x) )2 dx .
a
Je li dane jest równanie wektorowe krzywej t α ; tβ
x = x(t )
∋t→
, przy czym funkcje x(t ) , y (t ) oraz ich
y = y (t )
pochodne x(t ) , y (t ) s ci głe w przedziale t α ; tβ oraz łuk nie ma cz
ci wielokrotnych, to długo
łuku
tβ
[ x(t )]2 + [ y (t )]2 dt .
wyra a si wzorem L =
tα
β
[r (ϕ)]2 + [ ddrϕ ] 2 dϕ .
We współrz dnych biegunowych: L =
α
łuku sinusoidy y = sin x , x ∈ [0, π] .
Przykład 19. Obliczymy długo
π
π
1 + [(sin x) ′] 2 dx =
L=
0
1 + cos 2 x dx ≈ 3,8202 .
0
Całk obliczono na komputerze!
Przykład 20. Obliczymy długo
Dla funkcji y = 1 − x
2
krzywej y = 1 − x
mamy y′ =
1
2
−x
1 − x2
2
, gdzie x ∈ [0, 12 ] .
. Zatem
1 + [ f ' ( x)] dx =
L=
0
Przykład 21. Obliczymy długo
1
2
2
1+
x(t ) = a cos 3 t
y (t ) = a sin 3 t
asteroidy [0, 2π] ∋ t
dx =
1− x2
0
1
2
2
−x
0
dx
1
1− x2
= [arcsin x]02 = 16 π
.
a
-a
a
-a
tβ
[ x(t )]2 + [ y (t )]2 dt =
L=
tα
2π
2π
[3a cos 2 t ⋅ (− sin t )]2 + [3a sin 2 t ⋅ cos t ] 2 dt = 3a
=
0
2π
0
1
π
2
= 32 a
sin 2t dt +
0
3
π
2
π
− sin 2t dt +
1
π
2
π
− sin 2t dt =
3
π
2
3
2
a sin 2t dt =
0
2π
sin 2t dt +
2π
cos 2 t ⋅ sin 2 t ⋅ [sin 2 t + cos 2 t ] dt = 3a sin t ⋅ cos t dt =
3
2
a − 12 cos 2t
1
π
2
0
+ 12 cos 2t
π
1
π
2
− 12 cos 2t
St. Kowalski, Wykłady z matematyki (dla studentów kierunku Mechanika) – wykład 2 – 7
0
3
π
2
π
+ 12 cos 2t
2π
3
π
2
= 6a
1
b
Niech f (t ), a ≤ t ≤ b , b dzie pr dko ci
(intensywno ci ) wpływu towarów w chwili t do magazynu. Wówczas
f (t ) dt jest
a
zapasem towarów w magazynie po upływie czasu od a do b .
Niech funkcja z (t ) opisuje zysk, jaki przynosi urz dzenie U w chwili t , niech funkcja k (t ) opisuje koszt eksploatacji urz dzenia
U w chwili t . Funkcja f (t ) = z (t ) − k (t ) opisuje rzeczywisty zysk osi gany z zainstalowania urz dzenia U w chwili t ; niech a oznacza
b
chwil
uruchomienia urz dzenia U , b – maksymalny czas eksploatacji. Wówczas
f (t ) dt jest równa zyskowi, jaki dało nam
a
zainstalowanie urz dzenia U .
[ ]
We my funkcj
f : a, b → ci gł
obrotow , której obj to liczymy ze wzoru
[a, b] .
na przedziale
b
Vol = π
Obracaj c wykres funkcji f
dookoła osi x , otrzymujemy brył
( f ( x))2 dx
a
za pole powierzchni b
Pole = 2π f ( x ) 1 + ( f ′( x) )2 dx
a
Przykład 22. Obliczymy obj to
i pole powierzchni kuli o promieniu r.
Kula taka powstaje przez obrót krzywej y = r 2 − x 2 , −r ≤ x ≤ r , wokół osi odci tych. Dlatego
b
Vol = π
( f ( x))2 dx
r
= π (r 2 − x 2 )dx = π[ r 2 x − 13 x 3 ] xx == r− r = 43 πr 3
−r
a
b
r
Pole = 2π f ( x ) 1 + ( f ′( x) )2 dx = 2π
Przykład 23. Obliczymy obj to
b
( f ( x) )2 dx
π
(
= π sin 2 x dx = π − 12 sin x ⋅ cos x + 12 x
a
)0π = 12 π 2
0
π
cos x = t
Pole = 2π f ( x ) 1 + ( f ′( x) )2 dx = 2π sin x 1 + cos 2 x dx =
a
−r
i pole powierzchni powstałej przez obrót wykresu funkcji f ( x ) = sin x, 0 ≤ x ≤ π , wokół osi x .
Vol = π
b
dx = 2π r dx = 4πr 2
r 2 − x2
−r
a
r
x2
r 2 − x2 ⋅ 1 +
− sin x =
0
x 2 + k dx =
= π t t 2 + 1 + ln t + t 2 + 1
1
1
2
dt
dx
cos π= −1
x x 2 + k + k ln x + x 2 + k
(
1
1 + t 2 dt =
− 1 + t 2 dt = 2π
= 2π
cos 0 =1
−1
+C
) (
= π 2 + ln(1 + 2 ) − (− 2 + ln( 2 − 1) = 2π 2 + ln(1 + 2 )
−1
)
I. Oblicz długo ci krzywych:
1. y =
4. y =
ex +1
ex −1
3≤x≤2 2
3. y = 1 − ln cos x , 0 ≤ x ≤
1
4
π
x
, 2≤ x≤3
II. Oblicz obj to
1. y =
2. y = ln x ,
5 − x2
5 − x2
2
5. ( y − arcsin x ) = 1 − x
2
6. y =
cos x dx
− 12 π
i pole powierzchni powstałej przez obrót wykresu funkcji f , wokół osi x .
2. y = cos x , −
1
2
π ≤ x ≤ 12 π
2
3. x ≤ y ≤
St. Kowalski, Wykłady z matematyki (dla studentów kierunku Mechanika) – wykład 2 – 7
x , 0 ≤ x ≤1
2
Całki niewła ciwe
∞
b
f ( x)dx = lim
b →∞
a
Je li granica jest wła ciwa, całk
f ( x)dx
a
nazywamy zbie n ; w przeciwnym przypadku mówimy, e
niewła ciw
całka niewła ciwa jest rozbie na.
∞
•
1
∞
•
1
dx
x
3
b
= lim
b →∞
1
dx
x
= lim −
3
b →∞
b
b
1
2x
[
= lim −
2
b →∞
1
1
2b 2
+
1
1
=
2
2
]1b = blim
(ln b − ln 1) = ∞
→∞
dx
dx
= lim
= lim ln x
x b → ∞ x b →∞
1
b
b
f ( x)dx = lim
Je li granica jest wła ciwa, całk
f ( x)dx
a → −∞
−∞
niewła ciw
a
nazywamy zbie n ; w przeciwnym przypadku mówimy, e
całka niewła ciwa jest rozbie na.
0
•
−∞
−1
•
dx
1 + x2
dx
3
−∞
x
0
= lim
a → −∞
−1
= lim
b → −∞
a
dx
3
b
dx
1 + x2
x
= lim [arctgx ] 0a = lim (0 − arctga ) =
a → −∞
[
3 3
(
b →∞ 2
= lim
x )2
a → −∞
]
−1
b
= lim
b →∞
π
2
3 3 3 2
− ⋅ b = −∞
2 2
∞
∞
b
f ( x)dx =
−∞
f ( x)dx +
−∞
f ( x)dx
b
Je li obie całki niewła ciwe po prawej stronie wzoru istniej , całk
przeciwnym przypadku mówimy, e całka niewła ciwa jest rozbie na.
niewła ciw
nazywamy zbie n ; w
Funkcja jest nieograniczona w lewostronnym s siedztwie górnej granicy całkowania.
b −ε
b
f ( x)dx = lim+
ε →0
a
Je li granica istnieje, całk
f ( x)dx
a
nazywamy zbie n ; w przeciwnym przypadku mówimy, e całka
niewła ciw
niewła ciwa jest rozbie na.
Funkcja jest nieograniczona w prawostronnym s siedztwie dolnej granicy całkowania.
b
b
f ( x)dx = lim+
ε →0
a
Je li granica istnieje, całk
f ( x)dx
a+ε
nazywamy zbie n ; w przeciwnym przypadku mówimy, e całka
niewła ciw
niewła ciwa jest rozbie na.
Funkcja jest nieograniczona na s siedztwie punktu c poło onego wewn trz przedziału całkowania, to
przyjmujemy
b
c
f ( x)dx =
a
b
f ( x)dx +
a
f ( x)dx
c
St. Kowalski, Wykłady z matematyki (dla studentów kierunku Mechanika) – wykład 2 – 7
3
∞
1
1
dx
x2
0
2
−∞
3
3
0
b
dx
= lim
b →∞
1
b →∞
0
dx
4+ x
x2
= lim −
dx
= lim
2
a →−∞
4+ x
a
2
1
x
b
= lim −
b →∞
1
= lim
[
1
a → −∞ 2
1
+1 =1
b
arctg 2x
1
a
] 0a = alim
0 − arctg
→ −∞
2
2
π
4
=
dx
(x − 1) 2
Funkcja f ( x ) =
1
( x − 1) 2
nie jest ograniczona w s siedztwie punktu c = 1 . Mamy
3
0
1− ε
dx
(x − 1)
= lim+
2
ε →0
0
( x − 1) 2
0
dx
( x − 1)
= lim+
2
3
dx
=
( x − 1) 2
0
1
1
dx
ε→0
+
1
−1
x −1
dx
( x − 1) 2
1− ε
0
= lim+ (−
ε →0
1
− 1) = ∞
ε
Poniewa jest ona rozbie na, wi c badana całka jest równie rozbie na – nie obliczamy drugiej całki.
∞
4
2
dx
x ⋅ ln x
1
dx =
x ⋅ ln x
ln x = t
1 = dt
x
dx
dx
=
dt
x
=
1
dt = ln t + C = ln ln x + C
t
Korzystamy z definicji całki niewła ciwej na półprostej:
∞
2
dx
= lim
x ⋅ ln x A→∞
A
2
dx
= lim [ln | ln x |] 2A = ∞
x ⋅ ln x A→∞
Wyj ciowa całka jest rozbie na.
∞
5
1
arctgx
1+ x2
dx
arctgx
1 + x2
arctgx = t
1
1+ x 2
1
1+ x 2
dx =
=
= t dt = 12 t 2 + C = 12 (arctgx) 2 + C ;
dt
dx
dx = dt
Korzystamy z definicji całki niewła ciwej na półprostej:
∞
1
arctgx
1+ x
2
A
dx = lim
A→∞
1
arctgx
1 + x2
dx = lim [ 12 (arctgx) 2 ]1A = lim [ 12 (arctgA) 2 ] − [ 12 (arctg1) 2 ] =
A→∞
A→∞
1
2
( 14 π 2 − 161 π 2 ) =
3
32
π2
Wyj ciowa całka jest zbie na.
∞
6
2
x ⋅ dx
x2 −1
Korzystamy z definicji całki niewła ciwej na półprostej:
∞
2
x ⋅ dx
x2 −1
A
= lim
A→∞
2
x ⋅ dx
x2 −1
A
= lim
1
A→ ∞ 2
2
2 x ⋅ dx
x2 −1
= lim [ 12 ln | x 2 − 1 |] 2A = ∞
A→ ∞
Wyj ciowa całka jest rozbie na.
∞
2
xe − x dx
7
0
St. Kowalski, Wykłady z matematyki (dla studentów kierunku Mechanika) – wykład 2 – 7
4
− x2 = t
2
xe − x dx =
2
− 12 e t dt = − 12 e t + C = − 12 e − x + C
dt
− 2 x = dx
=
1
x dx = − 2 dt
Korzystamy z definicji całki niewła ciwej na półprostej:
∞
A
2
2
xe − x dx = lim
A→∞
0
2
xe − x dx = lim [− 12 e − x ]0A = 0 − (− 12 ) =
A→∞
0
1
2
Wyj ciowa całka jest zbie na.
∞
2 x ⋅ dx
8
−∞
x2 +1
Korzystamy z definicji całki niewła ciwej na prostej:
∞
0
2 x ⋅ dx
=
2
−∞
∞
x +1
A→ ∞
2
−∞
x +1
2 x ⋅ dx
= lim
2
0
x +1
A
2 x ⋅ dx
2 x ⋅ dx
x2 +1
0
∞
2 x ⋅ dx
+
x2 +1
0
= lim [ln | x 2 + 1 |] 0A = ∞
A→ ∞
Poniewa całka ta jest rozbie na, wi c wyj ciowa całka jest rozbie na (w takim przypadku nie musimy oblicza drugiej całki).
∞
dx
9
−∞
x 2 + 2x + 2
∞
−∞
∞
−1
−1
A
dx
( x + 1) 2 + 1
−∞
A→ ∞
−1
= lim
( x + 1) 2 + 1
10
( x + 1) 2 + 1
−1
dx
∞
dx
= lim
B→ − ∞
B
∞
dx
x 2 + 2x + 2
−∞
∞
dx
( x + 1) 2 + 1
∞
A→∞
+
dx
2
dx
( x + 1) 2 + 1
= lim [arctg( x
B → −∞
+ 1)] −B1
−∞
= π
1
2
x + 2z + 2
−1
dx
( x + 1) 2 + 1
.
=π,
dx
x + 4x + 9
∞
dx
−∞
A
dx
= lim
2
( x + 2) + 5
A→∞
dx
( x + 2) 2 + 5
dx
( x + 2) 2 + 5
−2
−2
= lim
A→ −∞
A
x + 4x + 9
= lim [
A→∞
dx
( x + 2) 2 + 5
A→ − ∞
0
f ( x) dx , je li f ( x) =
( x + 2) + 5
0
5
=
2
−∞
( x + 2) + 5
π
1
2 5
∞
−∞
π
−2
dx
( x + 2) 2 + 5
dx
x 2 + 4x + 9
=
1
5
.
π,
x > 1.
∞
1
−1
1
Do wyznaczenia funkcji pierwotnej dla funkcji podcałkowej zastosowano wzór
dla
1
1 − x 2 dx + 0 ⋅ dx =
0 ⋅ dx +
−∞
0
+
x < −1,
−1
f ( x ) dx =
∞
∞
dx
dla − 1 ≤ x ≤ 1,
dla
∞
−∞
1
2 5
arctg x + 2 ] −A2 =
1
5
dla
1 − x2
−∞
−∞
5
= lim [
∞
11 Obliczymy
2
arctg x + 2 ] −A2 =
1
5
−2
dx
=
2
−∞
( x + 1) 2 + 1
=
= lim [arctg( x + 1)] −A1 = 12 π
∞
−2
−2
−∞
−1
dx
2
−∞
∞
=
1 − x 2 dx =
1
2
π
−1
a 2 − x 2 dx =
1
x
x a 2 − x 2 + a 2 arcsin
2
a
+C .
x < 0,
f ( x) dx , je li f ( x) = cos x dla 0 ≤ x ≤ 12 π,
12 Obliczymy
−∞
0
dla
x > 12 π.
St. Kowalski, Wykłady z matematyki (dla studentów kierunku Mechanika) – wykład 2 – 7
5
∞
f ( x ) dx =
−∞
0 ⋅ dx +
f ( x) dx , je li f ( x ) =
1
π
2
1
π
cos dx = [sin x]02 = 1
0
x < 1,
dla 1 ≤ x ≤ 8,
0 dla
x > 8.
1
7
∞
1
f ( x) dx =
−∞
1
0 ⋅ dx =
0
0 dla
−∞
1
π
2
∞
cos x dx +
−∞
∞
13 Obliczymy
1
π
2
0
∞
8
0 ⋅ dx +
−∞
8
dx + 0 ⋅ dx =
1
7
1
dx = 1
1
7
8
1
dx
14
x
0
Funkcja podcałkowa nie jest ograniczona w prawostronnym s siedztwie dolnej granicy całkowania. W takim przypadku – zgodnie z definicj
– mamy
1
dx
x
0
1
dx
15
1− x2
0
1
dx
= lim+
ε→0
= lim+ [2 x ]1ε = 2 .
x
ε
ε →0
.
Funkcja podcałkowa nie jest ograniczona w lewostronnym s siedztwie górnej granicy całkowania. W takim przypadku – zgodnie z definicj
– mamy
1
1− ε
dx
1− x
0
2
dx
= lim+
ε →0
1− x2
0
= lim+ [arcsin x ]10−ε =
ε →0
1
2
π.
1
π
4
ctgx dx .
16
0
Funkcja podcałkowa nie jest ograniczona w prawostronnym s siedztwie dolnej granicy całkowania. W takim przypadku – zgodnie z definicj
– mamy
1
π
4
1
π
4
ctgx dx = lim+
ε →0
0
1
π
ctgx dx = lim+ [ln | sin x |] ε4 = ∞ .
ε →0
ε
Całka jest rozbie na.
1
17
1
2
x dx
1− x2
.
Funkcja podcałkowa nie jest ograniczona w lewostronnym s siedztwie górnej granicy całkowania. W takim przypadku – zgodnie z definicj
– mamy
1
1− ε
x dx
1− x
1
2
2
= lim+
ε →0
x dx
1
D f = (−1; 1) , wi c | D | =
−1
dx
1 − x2
ε →0
1
18 Oblicz pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji f ( x ) =
Poniewa
= lim+ [ − 1 − x 2 ]10−ε = 1 .
1 − x2
1
2
i osi odci tych.
1 − x2
.
Funkcja podcałkowa nie jest ograniczona w lewostronnym s siedztwie górnej granicy całkowania, ani w prawostronnym s siedztwie dolnej
granicy całkowania W takim przypadku – zgodnie z definicj – mamy
0
0
dx
−1
1
0
1− x
ε→0
2
−1+ ε
1− x
1− ε
dx
1− x
dx
= lim+
2
= lim+
ε→0
1
|D| =
−1
0
1− x
dx
1 − x2
0
dx
2
2
=
−1
= lim+[arcsin x]0−1+ ε =
1
2
= lim+[arcsin x]10− ε =
π,
ε →0
ε →0
1
dx
1− x
2
+
0
dx
1 − x2
1
2
π,
=π.
St. Kowalski, Wykłady z matematyki (dla studentów kierunku Mechanika) – wykład 2 – 7
6
1
19 Oblicz pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji f ( x) =
, gdzie 1 < x ≤ e , i osi odci tych.
x ln x
e
|D| =
1
dx
x ln x
Funkcja podcałkowa nie jest ograniczona w prawostronnym s siedztwie dolnej granicy całkowania W takim przypadku – zgodnie z definicj
– mamy
e
|D| =
1
3
20 Oblicz
0
dx
(x − 1) 2
e
dx
dx
= lim+
x ln x
ε →0
1+ ε
x ln x
= lim+ [2 ln x ]1e+ ε = 2 .
ε →0
.
Rozwi zanie.
Funkcja podcałkowa nie jest okre lona w punkcie x = 1 . W takim przypadku post pujemy nast puj co
3
0
1
dx
( x − 1) 2
3
dx
=
( x − 1) 2
0
+
1
dx
( x − 1) 2
.
Teraz funkcja podcałkowa w pierwszej całce jest nieograniczona w lewostronnym s siedztwie górnej granicy całkowania, funkcja
podcałkowa w drugiej całce jest nieograniczona w prawostronnym s siedztwie dolnej granicy całkowania. Poniewa
1
0
1−ε
dx
( x − 1) 2
= lim+
ε →0
0
dx
= lim+
( x − 1) 2
ε →0
−1
x −1
1− ε
=∞,
0
wi c wyj ciowa całka jest rozbie na (w takim przypadku nie musimy oblicza drugiej całki).
1
x ⋅ ln x dx
21
0
Funkcja podcałkowa nie jest ograniczona w prawostronnym s siedztwie dolnej granicy całkowania W takim przypadku – zgodnie z definicj
– mamy
1
1
x ⋅ ln x dx = lim+
0
1
x
0
dx
∞
6.
0
2.
2 3
x 2 + 2x + 2
3 − x2
x e
11.
[
1
4
x (2 ln x − 1)
3
1
x2 + 4
dx
dx
0
e
7.
0
16. Charakter zmian nat
−x
dx
3
−2
12.
dx
13.
2
2
x −1
0
ε
2
2
ln
x
−
1
= − 14 − lim+
= − 14 − lim+ x = − 14
1
ε→0
ε →0 − 8
4⋅ 2
x
x3
dx
e dx
e
x
0
9.
−∞
∞
x
2x
2
1
4.
dx
+1
14.
0
1
x 2 + 4 x + 13
2x − x 2
dx
∞
dx
x dx
e
1
5.
1
3
x+2
∞
dx
2
1
8.
1
∞
dx
9− x
3
2
]
1
1
1
3.
∞
1
∞
ε→0
ε
∞
1
1.
x ⋅ ln x dx = lim+
ε →0
2
x
e − x sin 3 x dx
10.
0
∞
15.
dx
2
−∞
4x + 9
enia pr du elektrycznego pewnego impulsu wywołanego w obwodzie jest okre lony zale no ci
i = 5te t .
∞
Wyznaczy całkowity ładunek elektryczny q =
i dt , jaki przepłynie w obwodzie wskutek wywołania jednego impulsu.
0
St. Kowalski, Wykłady z matematyki (dla studentów kierunku Mechanika) – wykład 2 – 7
7