1 Definicja całki oznaczonej

1
Definicja całki oznaczonej
Niech dana będzie funkcja y = g(x) ciągła w przedziale [a, b].
Przedział [a, b] podzielimy na n podprzedziałów punktami
a = x0 < x1 < x2 < . . . x0 < xn−1 < xn = b
Długość i−tego podprzedziału oznaczymy ∆xi = xi − xi−1 , a cały zbiór n podprzedziałów oznaczymy ∆n . Podziałowi ∆n możemy przyporządkować liczbę δn = max ∆xi ,
nazywaną średnicą podziału.
Możemy rozpatrywać ciąg podziałów (∆n ). Taki ciąg nazywamy normalnym, gdy
lim δn = 0.
n→∞
Dla danego podziału ∆n wybieramy w każdym podprzedziale liczbę ξi , xi−1 ¬ ξ ¬ xi i
tworzymy sumę
n
X
σn =
f (ξi )∆xi .
(1)
i=1
Jeżeli dla każdego ciągu normalnego podziałów przedziału [a, b] każdy ciąg sum (σn ) dąży
do granicy skończonej (niezależnej od wyboru punktów ξi ), to granicę tę nazywamy całką
oznaczoną funkcji f (x) w przedziale [a, b] i oznaczamy przez
Z
b
f (x) dx.
a
Pojedyncze składniki sumy (1) są polami prostokątów o podstawie ∆xi i wysokości f (ξi ).
Suma tych pól przybliża pole figury ograniczonej od dołu osią Ox, od góry wykresem
funkcji f (x), a z boków odcinkami prostych x = a, x = b (taką figurę nazywamy trapezem krzywoliniowym). Przybliżenie to jest coraz dokładniejsze gdy n rośnie. Wartość
graniczna, czyli całka oznaczona, jest polem trapezu krzywoliniowego.
Uwaga. Powyższe określenie całki dotyczy przypadku gdy a < b. Przyjmujemy ponadto,
że
Z b
Z a
Z a
f (x) dx = −
f (x) dx dla a < b.
f (x) dx = 0,
a
b
a
Twierdzenie 1 (własności całki)
2.
Rb
3.
Rb
a (f (x)
a
± g(x)) dx =
f (x) dx =
Rc
a
Rb
a
1.
f (x) dx ±
f (x) dx +
Rb
c
Rb
a
Rb
a
Af (x) dx = A
Rb
a
f (x) dx;
g(x) dx;
f (x) dx dla a < c < b;
4. Jeżeli f (x) ¬ g(x) dla x ∈ [a, b], to
Rb
a
f (x) dx ¬
Rb
a
g(x) dx.
Przykład Obliczymy z definicji całkę 01 x dx. W tym celu rozpatrzymy ciąg podziałów
na n równych części:
2
n
1
0 < < < · · · < = 1.
n
n
n
Punkty ξi wybierzemy jako środki odpowiednich odcinków:
R
ξi = xi−1 +
1
i−1
1
2i − 1
=
+
=
.
2n
n
2n
2n
1
Wtedy
σn =
n
X
2i − 1 1
i=1
2n n
n
1 X
1 1 + (2n − 1)
1
(2i − 1) = 2 ·
·n= .
2
2n i=1
2n
2
2
=
Ciąg jest stały, więc
1
1
x dx = lim σn = .
n→∞
2
0
Zauważmy, że dla innego wyboru liczb ξi , np. ξi = xi−1 =
Z
σn =
n
X
i−11
i=1
n n
=
i−1
n
otrzymamy
n
1 X
1 0 + (n − 1)
n−1
(i
−
1)
=
·
·
n
=
.
n2 i=1
n2
2
2n
Tym razem ciąg nie jest stały, ale granica jest taka sama:
lim
n→∞
n−1
1
= .
2n
2
Jeszcze inaczej: gdy ξi = xi = ni , to otrzymamy
σn =
n
X
i1
i=1
=
nn
n
1 X
1 1+n
n+1
i= 2 ·
·n=
.
2
n i=1
n
2
2n
I znowu granica jest taka sama:
n+1
1
= .
n→∞ 2n
2
lim
Twierdzenie 2 (o istnieniu całki) Jeżeli funkcja f (x) jest ograniczona na [a, b] i ma
na tym przedzialeR skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego rodzaju, to istnieje
całka oznaczona ab f (t) dt.
Mówimy wtedy, że funkcja f (x) jest całkowalna na [a, b].
Całka oznaczona jest liczbą, a całka nieoznaczona — zbiorem funkcji. Niemniej te dwa
pojęcia są blisko ze sobą związane. Następujące twierdzenia, wyjaśniające ten związek,
są podstawowymi twierdzeniami rachunku całkowego.
Twierdzenie 3 (o całce ze zmienną górną granicą)R Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła
na [a, b], to dla każdego x ∈ [a, b] istnieje całka oznaczona ax f (t) dt. Można więc określić
funkcję
Z x
F (x) =
f (t) dt.
a
Funkcja F (x) jest różniczkowalna na [a, b] i F 0 (x) = f (x).
Twierdzenie 4 (Newtona-Leibniza) Jeżeli F (x) jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f (x) ciągłej na [a, b], to
Z
b
f (t) dt = F (b) − F (a).
a
2
Zamiast F (b) −RF √
(a) piszemy F (x)|ba lub [F (x)]ba .
8 3
Przykłady
1. 1 x dx;
R2
3
2
2. R1 (2x + x3 ) dx;
3. 0π√(2 sin x − 3 cos x) dx.
R
dx
4. 1 3 1+x
2.
Następujące twierdzenia ułatwiają obliczanie całek.
Twierdzenie 5 (o całkowaniu przez podstawienie) Jeżeli funkcja f (t) jest ciągła
na zbiorze wartości funkcji t = ϕ(x) ciągłej i mającej ciągłą pochodną w [α, β] oraz jeżeli
ϕ(α) = a, ϕ(β) = b, to
Z
β
f (ϕ(x)) ϕ0 (x) dx =
α
Przykłady 1.
R
dx
2. 01 ex +e
−x ;
3.
R π/2
0
R9
4
b
Z
f (t) dt.
a
√dx ;
x−1
cos2 x sin x dx.
Twierdzenie 6 (o całkowaniu przez części) Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają w przedziale [a, b] ciągłe pochodne, to
Z
b
0
u(x)v(x)|ba
u(x)v (x) dx =
a
−
Z
b
v(x)u0 (x) dx.
a
Przykłady
1. 12 ln x dx;
R1 x
2. R0 xe dx;
π
3. −π
x sin x dx.
R
2
2.1
Zastosowanie całek w geometrii
Obliczanie pól
Pole trapezu krzywoliniowego ograniczonego od dołu osią Ox, od góry wykresem funkcji
f (x) ­ 0, a z boków odcinkami prostych x = a, x = b wynosi:
P =
Z
b
f (x) dx.
a
Gdy funkcja ograniczająca z góry ma równania parametryczne x = x(t), y = y(t), α ¬
t ¬ β, to:
Z β
P =
|y(t)x0 (t)| dt.
α
Jeżeli obszar jest ograniczony od dołu wykresem funkcji g(x), od góry wykresem funkcji
f (x) ­ 0, a z boków odcinkami prostych x = a, x = b, to wzór na pole ulega modyfikacji
i ma postać:
Z
b
(f (x) − g(x)) dx.
P =
a
Przykłady Obliczyć pola figur ograniczonych krzywymi:
3
1
1. xy = 1, y = 0, x = 10
, x = 10.
2
2. y = 4x + 4, y = 2 − x.
2
2
3. xa2 + yb2 = 1 (elipsa).
4. x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), 0 ¬ t ¬ 2π, y = 0 (łuk cykloidy).
Jeżeli w biegunowym układzie współrzędnych mamy obszar określony nierównościami:
α ¬ ϕ ¬ β, 0 ¬ ρ ¬ ρ(ϕ),
gdzie ρ(ϕ) jest pewną krzywą (taki obszar jest trójkątem krzywoliniowym), to jego pole
obliczamy stosując wzór
1Z β 2
P =
ρ (ϕ) dϕ
2 α
Przykłady Obliczyć pola figur ograniczonych krzywymi:
π
1. ρ = 2ϕ
√ dla 0 < ϕ < 2 ;
2. ρ = a cos 2ϕ, gdzie a > 0 (lemniskata Bernoullego)
2.2
Długość łuku
Jeżeli chcemy obliczyć długość łuku krzywej y = f (x) dla a ¬ x ¬ b, to stosujemy wzór
l=
b
Z
q
1 + f 0 (x)2 dx.
a
Przykłady Obliczyć długości łuków krzywych:
1. f (x) = 1 − ln cos x, 0 ¬ x ¬ π4 ;
2. x2/3 + y 2/3 = a2/3 , gdzie a > 0 (asteroida).
Jeżeli krzywa jest określona parametrycznie: x = x(t), y = y(t) dla α ¬ t ¬ β, to wzór
jest inny:
Z
β
l=
q
(x0 (t))2 + (y 0 (t))2 dt.
α
Przykłady Obliczyć długości łuków krzywych:
1. x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), 0 ¬ t ¬ 2π (łuk cykloidy).
2.x = et sin t, y = et cos t, 0 ¬ t ¬ π2
W biegunowym układzie współrzędnych, dla krzywej ρ = ρ(ϕ), α ¬ ϕ ¬ β:
l=
Z
β
q
(ρ(ϕ))2 + (ρ0 (ϕ))2 dϕ.
α
Przykłady Obliczyć długości łuków krzywych:
1. ρ = a sin3 ϕ3 , ϕ ∈ [0, 3π];
2. ρ = 2a sin ϕ, a > 0, ϕ ∈ [0, π].
2.3
Objętość i pole powierzchni brył obrotowych
W układzie Oxy rozpatrujemy krzywą o równaniu y = f (x), a ¬ x ¬ b, i obracamy ją
dokoła osi Ox. Krzywa zakreśla wtedy powierzchnię. Po ”zamknięciu” tej powierzchni
płaszczyznami x = a i x = b otrzymujemy bryłę, której objętość wynosi:
V =π
Z
b
f 2 (x) dx,
a
4
a pole powierzchni bocznej
S = 2π
Z
b
q
f (x) 1 + (f 0 (x))2 dx.
a
W przypadku równań parametrycznych x = x(t), y = y(t) dla α ¬ t ¬ β, odpowiednie
wzory to:
Z
β
V =π
y 2 (t)|x0 (t)| dt,
α
S = 2π
Z
β
q
|y(t)| (x0 (t))2 + (y 0 (t))2 dt.
α
Przykłady 1. Objętość bryły powstałej przez obrót elipsy
x2 y 2
+ 2 =1
a2
b
dokoła osi odciętych.
2. Objętość bryły powstałej z obrotu jednego łuku cykloidy
x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t),
0 ¬ t ¬ 2π
dokoła osi odciętych.
3. Pole powierzchni powstałej przez obrót dokoła osi Ox krzywej y = sin x, 0 ¬ x ¬ π.
Wsk.: zastosować wzór:
Z √
√
a
x√ 2
x2 + a dx = ln |x + x2 + a| +
x +a+C
2
2
4. Pole powierzchni powstałej przez obrót asteroidy x = a cos3 t, y = a sin3 t, a > 0
dokoła osi Ox.
3
Całki niewłaściwe
Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła w (a, b] i jest nieograniczona w otoczeniu punktu a, to
określamy całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju:
b
Z
f (x) dx = lim
a
b
Z
ε→0 a+ε
f (x) dx.
Analogicznie określamy całkę z niewłaściwością w granicy górnej:
Z
b
a
f (x) dx = lim
Z
b−ε
ε→0 a
f (x) dx.
Jeżeli powyższe granice istnieją i są skończone, to całki nazywamy zbieżnymi; w przeciwnym przypadku (tj. gdy granice nie istnieją lub są niewłaściwe) całki nazywamy
rozbieżnymi. R
Przykłady 1. 01 √1x dx = 2;
√
R
2. 12 x√dxln x = 2 2;
R
dx
3. 01 (x−1)
2 (rozbieżna).
5
Czasem wystarcza informacja, czy całka jest zbieżna, czy nie. Można wtedy zastosować
kryterium porównawcze:
R
R
Jeżeli f (x) ¬ g(x) w (a, b) i całka ab g(x) dx jest zbieżna, to ab f (x) dx też jest zbieżna.
Całkami niewłaściwymi drugiego rodzaju nazywamy całki po przedziale nieograniczonym:
Z
Z
b
b
f (x) dx = lim
a→−∞ a
−∞
Z
∞
f (x) dx = lim
∞
f (x) dx = lim
−∞
b
b→∞ a
a
Z
Z
Z
f (x) dx,
f (x) dx,
c
a→−∞ a
f (x) dx + lim
Z
b→∞ c
Przykłady
1. 0∞ e−x dx = 1;
R ∞ dx
2. 1 x2 +x = ln 2;
R0
3. R−∞
sin x dx (rozbieżna).
∞
dx
4. −∞
x2 +2x+2
R
6
b
f (x) dx.