Wzory do drugiego kolokwium z matematyki

Wzory do drugiego kolokwium z matematyki
Wa»ne granice wyra»e« nieoznaczonych
1.
2.
3.
lim
√
n
n→∞
n=1
1
lim (1 + x) x = e,
lim (1 +
x→∞
x→0
1 x
) = e,
x
sin x
= 1,
x→0 x
lim
4.
ln(1 + x)
= 1,
x→0
x
5.
ex − 1
= 1,
x→0
x
6.
(1 + x)r − 1
=r
x→0
x
8.
1
(arccos x)0 = − √
,
1 − x2
9.
(arctgx)0 =
lim
lim
lim
dla dowolnego
Pochodne funkcji elementarnych
1.
c0 = 0
2.
(xr )0 = rxr−1
3.
(sin x)0 = cos x,
4.
(tgx)0 =
5. (ax )0
6.
7.
(pochodna funkcji staªej jest równa 0),
=
dla dowolnego
(cos x)0 = − sin x,
1
,
cos2 x
ax ln a,
r ∈ R,
(ctgx)0 = −
(ex )0
=
1
sin2 x
ex ,
1
1
0
, (ln x) = ,
x ln a
x
1
,
(arcsin x)0 = √
1 − x2
(loga x)0 =
1
,
1 + x2
1
,
1 + x2
10.
(arcctgx)0 = −
11.
(shx)0 = chx, (chx)0 = shx,
12.
(thx)0 =
1
1
0
2 , (cthx) = − 2 .
ch x
sh x
Reguªy ró»niczkowania
1. Pochodna sumy i ró»nicy
4. Pochodna ilorazu
(f ± g)0 (x) = f 0 (x) ± g 0 (x).
f 0
g
o ile
2. Wyci¡ganie staªej przed pochodn¡
(cf )0 (x) = cf 0 (x),
gdzie
c ∈ R.
(x) =
f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x)
g 2 (x)
g(x) 6= 0.
5. Pochodna funkcji zªo»onej
(g ◦ f )0 (x) = g 0 (f (x))f 0 (x).
3. Pochodna iloczynu
6. Pochodna funkcji odwrotnej
(f · g)0 (x) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x).
(f −1 )0 (f (x)) =
1
f 0 (x)
.
Wyra»enia wykªadniczo-pot¦gowe
g(x)
f (x)
= eg(x) ln f (x) .
Wzór Taylora i szeregi Maclaurina dla funkcji
f 0 (x0 )
1! (x
2
x
x3
f (x) = f (x0 ) +
− x0 ) +
f (2) (x0 )
(x
2!
n−1
x
− x0 )2 + ... +
ex , sin x, cos x
f (n−1) (x0 )
(n−1)! (x
x
x4
xn c
+
+
+
+ ...
+
e
1!
2!
3!
4!
(n − 1)!
n!
x3 x5 x7 x9
x2n−1
sin x = x −
+
−
+
+ ... + (−1)n+1
cos c
3!
5!
7!
9!
(2n − 1)!
x2 x4 x6 x8
x2n
cos x = 1 −
+
−
+
+ ... + (−1)n
cos c.
2!
4!
6!
8!
(2n)!
ex = 1 +
− x0 )n−1 +
f (n) (c)
(x − x0 )n .
n!
r ∈ R.