III lista zadań z UŻ 12

III Lista zadań z Ubezpieczeń Życiowych 2012
Zadanie 17.
Korzystając z kolumny qx tablic życia dla mężczyzn dla każdego z trzech założeń o
umieralności w ciągu roku obliczyć 1/2p35.
Zadanie 18.
Jeśli q70 = 0,04 i q71 = 0,05, obliczyć prawdopodobieństwo, że (70) umrze między 70 i ½ a 71
i ½ przy założeniu
a) jednostajności rozkładu śmierci,
b) stałej intensywności umieralności w ciągu roku.
Zadanie 19.
1000 par mąż-żona spotkało się 31.12.2000r. Wszyscy mężowie są urodzeni 01.10.1960r., a
wszystkie żony 01.10.1970r. Ile par spotka się najprawdopodobniej 31.03.2031r., jeśli jedyną
przyczyną nieobecności może być tylko śmierć. Wiemy, że:
mężowie:
q40 = 0,001 q70 = 0,005
29p41 = 0,9
żony: 29p31 = 0,95 q30 = 0,0005 q60 = 0,003.
Zakładamy liniowy rozkład umieralności w ciągu roku.
Zadanie 20.
Dla życia (x) dane są prawdopodobieństwa śmierci dla trzech kolejnych lat:
q x = 0 .1
q x +1 = 0.2
q x + 2 = 0 .3 .
Przy założeniu jednostajnego rozkładu zgonów w ciągu roku podaj wartość oczekiwanej
liczby lat, którą przeżyje w trzyletnim okresie życie (x).
Zadanie 21.
o
o
Zakładając jednostajny rozkład zgonów w ciągu roku, wyraź e x + u przez e x oraz q x , gdzie x
jest całkowitą liczbą lat, a u ∈ (0, 1) .
Zadanie 22.
20. Niech x – całkowity wiek. Załóżmy stałe natężenie wymierania osób z danego rocznika
(µx+k+0,5 oznacza poziom natężenia wymierania w przedziale wiekowym (x+k, x+k+1)).
Udowodnić, że
∞
p q
E (T ( x)) = ∑ k x x + k .
k =0
µ x + k + 0,5
Zadanie 23.
Jaka jest oczekiwana liczba osób z populacji miliona 35-latków, które umrą po ukończeniu 36
lat i 4 miesięcy życia i przed ukończeniem 37 lat i 8 miesięcy? Przyjmujemy założenie
Balducciego dotyczące umieralności w okresach ułamkowych. Dane są również:
q35 = 3 ⋅ 10 −3
q36 = 6 ⋅ 10 −3
q37 = 9 ⋅ 10 −3
Przyjmij, że 1 miesiąc to 1/12 roku.