Programowanie liniowe - Katedra Badań Operacyjnych

Programowanie liniowe
Schemat postępowania w badaniach operacyjnych
decydent
sytuacja decyzyjna
decyzje
zadanie decyzyjne
zmienne decyzyjne
decyzje dopuszczalne
niedopuszczalne
warunki ograniczające
zbiór rozwiązań dopuszczalnych
(ZRD)
kryterium wyboru
funkcja celu (kryterium)
Sytuacja decyzyjna
Model matematyczny
Rozwiązanie zadania
Interpretacja wyników
Analiza wrażliwości
Przykład 1. Ustalanie struktury produkcji
Warsztat produkuje dwa wyroby A i B, do produkcji których potrzebne są stal (1 kg na wyrób A i 4
kg na wyrób B) oraz siła robocza (odpowiednio 2 rh i 3 rh). Warsztat dziennie może wykorzystać
14 kg stali, i 13 h pracy zatrudnionych pracowników. Ustalić plan produkcji maksymalizujący
łączny przychód ze sprzedaży, przy założeniu, że cena wyrobu A wynosi 1000 zł/szt, a wyrobu B
2000 zł/szt.
Tabela parametrów
Wyszczególnienie
Jedn.
Zapas
1
Zmienne
Model matematyczny
ZPL - zadanie programowania liniowego
f(x) = c1x1 + c2x2 → max
a11 x1 + a12 x2 ≤ b1
a21 x1 + a22 x2 ≤ b2
x1 , x2 ≥ 0
 
c= 
 

A=

 
b= 
 



 
x= 
 
Postać macierzowa ZPL
f(x) = cTx → max
Ax≤b
x ≥0
x - wektor zmiennych
c - wektor współczynników funkcji celu (wag)
A - macierz współczynników (kombinacji równoważnej)
b - wektor wyrazów wolnych (prawa strona - RHS)
Rozwiązanie zadania – metoda geometryczna
2
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Interpretacja wyników
Analiza wrażliwości
Analiza
Analiza
wrażliwości
wrażliwości
Analiza
wektorowa
Co się zmieni w rozwiązaniu, jeżeli
zmienimy cały wektor parametrów?
Analiza
parametryczna
Jak może się zmieniać wybrany parametr,
przy niezmienionych pozostałych parametrach,
aby rozwiązanie optymalne pozostało stabilne.
3
Przykład: Co się stanie, jeżeli cena zarówno wyrobu A, jak i B wzrośnie o 1 tys. zł?
x2
6
5
4
C
3
(1)
2
1
D
0
1
2
3
4
5
6
x1
(2)
Przykład: W jakich granicach może zmieniać się cena wyrobu A, nie zmieniając rozwiązania
optymalnego?
x2
6
5
4
C
3
(1)
2
1
0
D
1
2
3
4
5
6
x1
(2)
4
c1 = 1
Dopuszczalny spadek = 1/2
Dopuszczalny wzrost = 1/3
c2 = 2
Dopuszczalny spadek = 1/2
Dopuszczalny wzrost = 2
Przykład W jakich granicach może zmieniać się zapas stali, by zachować stabilność rozwiązania?
x2
6
5
4
C
3
(1)
2
1
0
D
1
2
3
4
5
6
x1
(2)
x2
6
5
4
C
3
(1)
2
1
0
D
1
2
3
4
5
6
x1
(2)
5
b1 = 1
Dopuszczalny spadek = 7 1/2
Dopuszczalny wzrost = 3 1/3
b2 = 2
Dopuszczalny spadek = 2 1/2
Dopuszczalny wzrost = 15
Wrażliwość na zmiany wartości parametrów
c
b
ZRD
Nie
Tak
Gradient
Tak
Nie
Współrzędne punktu
optymalnego
Wartość funkcji celu
Nie
Tak
Tak
Tak
Rozwiązanie
szczegółowe
Rozwiązanie
ogólne
Badanie stabilności
Zadanie dualne
ZP - zadanie prymalne
ZD - zadanie dualne
f(x) = cTx → max g(y) = bTy → min
yAT ≥ c
Ax≤b
yi ≥ 0 dla ∀i : ∑ a x ≤ b
x≥ 0
yi ≤ 0 dla ∀i : ∑ a x ≥ b
yi ∈R dla ∀i : ∑ a x = b
n
j =1
ij
j
i
ij
j
i
n
j =1
n
j =1
ij
j
i
6
Typy rozwiązań ZPL
Rozwiązanie ZPL
Istnieje
rozwiązanie
optymalne
Jedno
Brak
rozwiązania
optymalnego
Wiele
Układ
sprzeczny
x2
Niemożność wskazania
rozwiązania
optymalnego
x2
f(x)-> max
f(x)-> max
(1)
x1
x2
x1
x2
ZRD ∈ ∅
f(x)-> max
x1
x1
7
(2)
Rozwiązanie zadania w arkuszu Excel
A
Stan wyjściowy
B
x
c
(1)
(2)
Rozwiązanie końcowe
0
1
1
2
A
x
c
(1)
(2)
Microsoft Excel 8.0 Raport wyników
B
2
1
1
2
0
2
4
3
8
14
13
3
2
4
3
14
13
8
14
13
14
13
Komórka celu (Maks)
Wartość końcowa
Komórka NazwaWartość początkow
$D$4
c
0
8
Komórki decyzyjne
Wartość końcowa
Komórka NazwaWartość początkow
$B$3
xA
0
2
$C$3
xB
0
3
Warunki ograniczające
Komórka Nazwa Wartość komórki
formuła
$D$5
(1)
14 $D$5<=$E$5
$D$6
(2)
13 $D$6<=$E$6
$B$3
xA
2 $B$3>=0
$C$3
xB
3 $C$3>=0
Status
Wiążące
Wiążące
Nie wiążące
Nie wiążące
Luz
0
0
2
3
Microsoft Excel 8.0 Raport wrażliwości
Komórki decyzyjne
Komórka Nazwa
$B$3
$C$3
xA
xB
Wartość
końcowa
Przyrost
krańcowy
Współczynnik
funkcji celu
2
3
0
0
1
2
Wartość
końcowa
Cena
dualna
Prawa strona
w. o.
14
13
0,2
0,4
14
13
Dopuszczalny Dopuszczalny
wzrost
spadek
0,3333333
2
0,5
0,5
Warunki ograniczające
Komórka Nazwa
$D$5
$D$6
(1)
(2)
Dopuszczalny Dopuszczalny
wzrost
spadek
3,3333333
15
7,5
2,5
8
Przykład 2. Zagadnienie diety
Stwierdzono, że należy spożywać co najmniej 60 g białka i co najmniej 120 g węglowodanów. Ser
zawiera (w 100 g) po 2 gramy białka i węglowodanów. Z kolei w chlebie założono, że jest 1 gram
białka i 3 gramy węglowodanów. Ustalić najtańszą możliwą dietę, zakładając, że ser kosztuje 30
zł/kg, a chleb 20 zł/kg.
Literatura
1. M.Anholcer, H.Gaspars, A.Owczrkowski Przykłady i zadania z badań operacyjnych i
ekonometrii AE Poznań’2003 (skrypt nr 140)
2. E.Ignasiak (red.) Badania operacyjne PWE’2000
3. B.Guzik (red.) Ekonometria i badania operacyjne. Zagadnienia podstawowe, (skrypt AE
Poznań)
4. B.Guzik (red.) Ekonometria i badania operacyjne. Uzupełnienia z badań operacyjnych, (skrypt
AE Poznań)
5. K.Kukuła (red.) Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN
6. T.Trzaskalik Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem, PWE 2003
9